【素養(yǎng)目標】
1.了解解二元一次方程組的“消元”思想，體會學習數(shù)學中的“化未知為已知”，“化復雜為簡單”的化歸思想.
2.了解代入消元法的概念，掌握代入法的基本步驟.
3.會用代入消元法求簡單的二元一次方程組的解.
【教學重點】了解代入法的一般步驟，會用代入法解簡單的二元一次方程組.
【教學難點】對代入消元法解方程組的過程的理解.
【教學過程】
活動一：回顧舊知，新課導入
[設計意圖]
回顧上節(jié)課的內(nèi)容，為引入新課做準備.
在上節(jié)課中，我們探究了教材P87的問題，通過設租用的大型采棉機的臺數(shù)為x，小型采棉機的臺數(shù)為y，結(jié)合問題中的相等關系，列出了二元一次方程組x＋y＝6，2x＋y＝8.①②之后我們又結(jié)合未知數(shù)的實際意義，通過逐一嘗試的方法，找出了方程組的解.
很明顯這種方法較為受限且求解過程比較煩瑣，那有沒有一種簡單的方法解方程組呢？
這節(jié)課我們繼續(xù)研究怎樣解二元一次方程組.
[教學建議]教師直接列舉不適合列表求公共解的實際問題，激發(fā)學生探究方程組其他解法的興趣.
活動二：問題引入，自主探究
[設計意圖]
將解二元一次方程組與解一元一次方程相比較，引入將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的“消元”思想，總結(jié)出用代入消元法解二元一次方程組的步驟.
探究點 用代入法解簡單的二元一次方程組
問題1 對于教材P87的租用大、小型采棉機問題，你能否列一元一次方程求解？
設這個種棉大戶租用了大型采棉機x臺，則租用了小型采棉機(6－x)臺.
根據(jù)題意，得2x＋(6－x)＝8.③
解得x＝2.
則6－x＝4.
這個種棉大戶租用了大型采棉機2臺，小型采棉機4臺.
問題2 對于教材P87的問題，采用不同的設未知數(shù)的方法，由問題中的相等關系，可以分別列出二元一次方程組和一元一次方程③.你能由所列出的二元一次方程組得到所列出的一元一次方程③嗎？
方程①可以寫為y＝6－x，因為方程①②中的y都表示租用小型采棉機的臺數(shù)，所以可以通過等量代換，把方程②中的y換為6－x，即可得到方程③.解方程③，得x＝2.把x＝2代入y＝6－x，得y＝4，從而得到這個方程組的解.
概念引入：
將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想.
把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解. 這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法.
例1 (教材P92例1)用代入法解方程組 問題1 選擇哪個方程進行變形會比較簡便，為什么？
選擇方程①進行變形會比較簡便，因為方程①中x，y的系數(shù)的絕對值都是1.
問題2 用含y的式子表示x，寫出解答過程.
問題3 問題2中的方程③可以代入方程①嗎？為什么？
不能.把方程③代入方程①后，會得到不含未知數(shù)的恒等式3＝3，無法繼續(xù)求解.方程③由方程①變形得到，不能代入原方程.
問題4 問題2中的y＝－1代入方程①或方程②，能求得x的值嗎？
能.代入方程①，②還需要進一步變形才能求得x的值，代入方程③更簡便.
問題5 方程①能否用含x的式子表示y來求解？試試看.能.
解：由①，得y＝x－3.③
把③代入②，得3x－8(x－3)＝14.解這個方程，得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝－1.所以這個方程組的解是x＝2，y＝－1.
例2 (教材P92例2)用代入法解方程組3x－5y＝3，①2x－y＝16. ②
分析：方程②中y的系數(shù)是－1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比較簡便.
解：由②，得y＝2x－16.③
把③代入①，得3x－5(2x－16)＝3.
解這個方程，得x＝11.
把x＝11代入③，得y＝6.
所以這個方程組的解是x＝11，y＝6.
[對應訓練]
教材P93練習第1，2題.
[教學建議]學生分組討論合作完成問題，感悟探究過程中所蘊含的化歸思想.教師適時予以提示或指導，最終引導學生得出代入消元法的概念.
[教學建議]教師注意規(guī)范學生的解題格式，并強調(diào)二元一次方程組的解是一對，應寫成x＝a，y＝b的形式.
在用代入法解二元一次方程組時，若未知數(shù)的系數(shù)比較復雜，可將求得的解回代入方程組進行檢驗.
活動三：重點突破，提升探究
[設計意圖]
將二元一次方程組的解與解二元一次方程組結(jié)合，加深對概念的理解，強化解方程組的方法的應用.例3 已知x＝2，y＝1是二元一次方程組mx＋ny＝8，nx－my＝1的解，求m，n的值.
解：把x＝2，y＝1代入原方程組中，
得到關于m，n的二元一次方程組2m＋n＝8，2n－m＝1.①②
由②，得m＝2n－1.③
把③代入①，得2(2n－1)＋n＝8.解這個方程，得n＝2.
把n＝2代入③，得m＝3.
所以這個方程組的解為m＝3，n＝2.
所以m的值為3，n的值為2.
[對應訓練]
已知x＝2，y＝1是二元一次方程組ax＋by＝7，ax－by＝1的解，求a－b的值.
解：把x＝2，y＝1代入原方程組中，
得到關于a，b的二元一次方程組2a＋b＝7，2a－b＝1.
解這個方程組，得a＝2，b＝3.
所以a－b＝2－3＝－1.
[教學建議]學生獨立思考完成，教師提醒學生，方程組的解必定滿足方程組中每一個方程，故將方程組的解回代，即可得到關于其他字母的方程(組).
活動四：隨堂訓練，課堂總結(jié)
[課堂總結(jié)]師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：
1.解二元一次方程組的基本思想是什么？
2.用代入法解二元一次方程組的一般步驟是怎樣的？
3.用代入法解二元一次方程組時，有哪些技巧？(以變形和代入兩方面為例)
【作業(yè)布置】
1.教材P99習題10.2第2(1)(2)，4，8題.

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10.2.1 代入消元法

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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