一、教學目標：
1.理解兩條直線相交的特征及鄰補角與對頂角的概念.
2.掌握鄰補角與對頂角的性質，并能運用它們的性質進行角的計算及解決簡單的實際問題.
二、教學重、難點：
重點：鄰補角、對頂角的概念，對頂角的性質與應用.
難點：理解對頂角相等的性質.
三、教學過程：
情境引入
你能在身邊找出一些相交線的實例嗎？
知識精講
思考：作過程，你能發(fā)現(xiàn)它的角有什么變化？如果把剪刀的構造看做兩條相交的直線，你們想想它是一種怎樣的幾何結構？
如果兩條直線有一個公共點，就說這兩條直線相交；公共點叫做這兩條直線的交點.
上圖的幾何描述為：直線AB、CD相交于點O.
探究：任意畫兩條相交的直線，在形成的四個角中，兩兩相配共能組成幾對角？各對角存在怎樣的位置關系？根據(jù)這種位置關系將它們分類.
形如∠1與∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線(∠1和∠2互補)，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角.
圖中還有哪些角也是鄰補角呢？
形如∠1與∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角.
圖中還有哪些角也是對頂角呢？
∠1 與∠3在數(shù)量上又有什么關系呢？
對頂角相等
∵ ∠1與∠2互補，∠3與∠2互補 (鄰補角的定義)
∴ ∠1=∠3 (同角的補角相等)
(注：“∵”表示“因為”，“∴”表示“所以”.)
典例解析
例1.下列四個圖形中，∠1和∠2是對頂角的是（ ）．
【分析】解：A.兩角只有一條邊互為反向延長線，另一條邊沒有互為反向延長線，不符合題意；
B.兩角沒有公共頂點，兩角也是只有一條邊互為反向延長線，另一條邊沒有互為反向延長線，不符合題意；
C.兩角只有一條邊互為反向延長線，另一條邊沒有互為反向延長線，不符合題意；
D.兩角有一個公共頂點，并且一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線的兩個角，符合題意；故選：D．
【針對練習】下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（ ）
例2.如圖，直線a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度數(shù).

解：由鄰補角的定義，得
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
由對頂角相等，得
∠3=∠1=40°
∠4=∠2=140°
【針對練習】如圖，取兩根木條a、b，將它們釘在一起，并把它們想象成兩條直線，就得到一個相交線的模型. 你能說出其中的一些鄰補角與對頂角嗎？如果∠α=35°，其他三個角各是多少度？如果∠α等于90°、115°、m°呢？

解：∠1與∠α，∠3與∠α，∠1與∠2，∠2與∠3是
鄰補角；∠1與∠3，∠2與∠α是對頂角.
當∠α=35°時，∠1=145°，∠2=35°，∠3=145°；
當∠α=90°時，∠1=90°，∠2=90°，∠3=90°；
當∠α=115°時，∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°；
當∠α=m°時，∠1=(180-m)°，∠2=m°，∠3=(180-m)°.
例3.如圖，直線AB、CD，EF相交于點O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數(shù).
解：∵∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
∴∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
又∵∠BOF＝∠2(對頂角相等)，
∴∠2＝70°(等量代換)．
【針對練習】1.如圖，直線AB、CD、EF相交，若∠1+∠5=180°,找出圖中與∠1相等的角.
解：∵ ∠1= ∠3（對頂角相等）
∠5+∠8=180 °且∠1 +∠5=180°
∴∠8= ∠1
∵ ∠8= ∠6（對頂角相等）
∴∠6= ∠1.
2.如圖，直線AB、CD、EF、MN相交，若∠2=∠5，找出圖中與∠2互補的角.
解：∵ ∠1+∠2=180°，∠2+∠3= 180°
∴∠2的補角有∠1和∠3
∵ ∠5+∠8=180°， ∠5+∠6=180 °且∠2=∠5
∴∠2的補角有∠6和∠8
例4.如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，∠DOE=28°，且OE⊥OF．求∠AOC和∠AOF的度數(shù)．
解：∵OE平分∠BOD，∠DOE=28°，
∴∠DOE=∠EOB=28°，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=∠DOE+∠EOB=28°+28°=56°，
∵EO⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-28°=62°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-62°=118°．
【針對練習】如圖，直線AB和直線CD相交于點O，OB平分∠DOE．若∠DOE：∠EOC=2：3，求∠AOC的度數(shù)．
解：∵∠DOE+∠EOC=180°，且∠DOE：∠EOC=2：3，
∴∠DOE=25×180°=72°，
∵OB平分∠DOE，
∴∠BOD=12∠DOE=36°，
∴∠AOC=∠BOD=36°．
課堂小結
1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？
【設計意圖】培養(yǎng)學生概括的能力。使知識形成體系，并滲透數(shù)學思想方法。
達標檢測
1.三條直線交于一點，則共有對頂角的對數(shù)為( )
A.4對 B.5對 C.6對 D.8對
2.直線AB、CD相交于點O.∠AOC:∠AOD=2:3，∠BOD的度數(shù)為( )
A.36° B.42 C.72° D.112°
3.直線AB、CD相交于點O，∠AOD與∠BOC的和是236°，則∠AOC的度數(shù)為( )
A.62 B.118° C.72° D.59°
4.如圖，∠1+∠2=( )
A.60 B.90° C. 110° D.180°
5.點O在直線AB上,射線OC平分∠DOB.若∠COB=35°∠AOD等于( )
A.35° B.70° C.110° D.145°
6.直線AB、CD相交于點O，因為∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2，其推理依據(jù)為( )
A.對頂角相等 B.同角的余角相等 C.等量代換 D.同角的補角相等
7.已知，∠1與∠2是對頂角，∠2與∠3是鄰補角，則∠1+∠3=_______.
8.如圖(2)，直線AC和BD相交于點O，那么∠AOD的對頂角是________，∠AOB的鄰補角是__________________.
9.如圖(3),直線a，b相交，∠1=32°，則∠2=______,∠3=____, ∠4=______.

10.如圖(4)，直線AB,CD相交于點O，∠AOE=90°，則∠AOC和∠BOD是_________， ∠AOC與∠AOD互為________，∠AOC與∠DOE的關系是___________.
11.直線AB、CD交于點O，OE是∠AOD的平分線,已知∠AOC=50°,求∠DOE的度數(shù).
12.如圖所示，三條直線AB,CD,EF相交于點O,∠AOF=3∠FOB,∠AOC=90°,求∠EOC的度數(shù).
【參考答案】
C
C
A
B
C
D
180°
∠BOC，AOD,∠BOC
148°，32°，148°
對頂角，鄰補角，互為余角
11.∠AOC=50°
∴∠AOD=180°-∠AOC
=180°-50°
=130°(鄰補角的定義)
∵OE平分∠AOD
∴∠DOE=12∠AOD=12×130°=65°(角平分線的定義)
12.∠AOF+∠FOB=180°(鄰補角定義)
∠AOF=3∠FOB
∴3∠FOB+∠FOB=180°
解得∠FOB=45°
∴∠AOE=∠FOB=45°(對頂角相等)
∴∠EOC=∠AOC-∠AOE
=90°-45°
=45°
四、教學反思：
本節(jié)課通過對學生身邊熟悉的事物引入，讓學生感受到生活中處處有數(shù)學，數(shù)學與我們的生活密不可分；學生經歷合作探究過程獲得新知，并能用所學的新知識來解決實際問題.這樣教學更能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提升學生的能力，促進學生的發(fā)展.

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7.1.1 兩條直線相交

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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