如圖,小勇要測(cè)量家門(mén)前河中淺灘B到對(duì)岸A的距離，他先在岸邊定出C點(diǎn)，使C，A，B在同一直線上，再沿AC的垂直方向在岸邊畫(huà)線段CD，取它的中點(diǎn)O，又畫(huà)DF⊥CD，觀測(cè)得到E，O，B在同一直線上，且F，O，A也在同一直線上，那么EF的長(zhǎng)就是淺灘B到對(duì)岸A的距離，你能說(shuō)出這是為什么嗎？
1. 能利用三角形的全等解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系.
2. 能在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行有條理的思考和表達(dá).
一位經(jīng)歷過(guò)戰(zhàn)爭(zhēng)的老人講述了這樣一個(gè)故事：
在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望.為了炸掉這個(gè)碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過(guò)河測(cè)量又沒(méi)有任何測(cè)量工具的情況下，一個(gè)戰(zhàn)士想出來(lái)一個(gè)辦法, 為成功炸毀碉堡立了一功.
他面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過(guò)帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，保持剛才的姿態(tài)，這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上；接著，他用步測(cè)的辦法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡間的距離．
這位聰明的八路軍戰(zhàn)士的方法如下：
由戰(zhàn)士所講述的方法可知：戰(zhàn)士的身高AH不變,戰(zhàn)士與地面是垂直的(AH⊥BC);視角∠HAC=∠HAB，戰(zhàn)士要測(cè)的是敵碉堡(B)與我軍陣地(H)的距離,戰(zhàn)士的結(jié)論是只要按要求(如圖)測(cè)得HC的長(zhǎng)度即可.(即BH=HC)
(1)戰(zhàn)士所講述的方法中，已知條件是什么？
（2）請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明BH=CH的理由.
解：在△AHB與△AHC中，
所以△AHB≌△AHC（ASA）.
想一想: 如圖，A，B 兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量 A，B 間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，一個(gè)叔叔幫他出了這樣一個(gè)主意：
先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá) A 點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接 AC 并延長(zhǎng)到 D，使CD= CA；連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE= CB，連接DE并測(cè)量出它的長(zhǎng)度，DE的長(zhǎng)度就是 A，B 間的距離.
小明是這樣想的：在△ABC 和△DEC 中，因?yàn)锳C = DC，∠ACB = ∠DCE，BC = EC，所以△ABC ≌ △DEC.所以 AB = DE.
1.你能設(shè)計(jì)出其他的方案來(lái)嗎？（構(gòu)建全等三角形）
2.已知條件是什么？結(jié)論又是什么？
3.你能說(shuō)明設(shè)計(jì)出方案的理由嗎？
在△ABC與△DEC中，已知：AB⊥BE，DE⊥BE，BC=EC，結(jié)論：AB=DE.
解:因?yàn)锳D∥CB，所以∠1＝∠2.在△ABD與△CDB中
如圖，先作三角形ABD,再找一點(diǎn)C，使BC∥AD，并使AD=BC，連結(jié)CD，量CD的長(zhǎng)即得AB的長(zhǎng).
所以△ABD≌△CDB(SAS).
如圖，找一點(diǎn)D，使AD⊥BD，延長(zhǎng)AD至C，使CD=AD，連結(jié)BC，量BC的長(zhǎng)即得AB的長(zhǎng).
所以△ADB≌△CDB(SAS).
所以BA = BC.
如圖，小明家有一個(gè)玻璃容器，他想測(cè)量一下它的內(nèi)徑是多少？但是他無(wú)法將刻度尺伸進(jìn)去直接測(cè)量，于是他把兩根長(zhǎng)度相等的小木條AB，CD的中點(diǎn)連在一起，木條可以繞中點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣只要測(cè)量A，C的距離，就可以知道玻璃容器的內(nèi)徑，你知道其中的道理嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：如圖所示：連接AC，BD，在△ODB和△OCA中，AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO，所以△ODB≌△OCA（SAS），所以BD=AC．故只要測(cè)量A，C的距離，就可以知道玻璃容器的內(nèi)徑．
（2019?南通）如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過(guò)池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B．連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CD=CA．連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=CB．連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A，B的距離．為什么？
解：量出DE的長(zhǎng)就等于AB的長(zhǎng)，理由如下：在△ABC和△DEC中， 所以△ABC≌△DEC（SAS），所以AB=DE．
1.如圖要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，先在AB 的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，可以證明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
2.山腳下有A，B兩點(diǎn)，要測(cè)出A，B兩點(diǎn)間的距離.在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A，B點(diǎn)的點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)到C，使AO=CO；連接BO并延長(zhǎng)到D，使BO=DO，連接CD.可以證△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，測(cè)得CD的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).判定△ABO≌△CDO的理由是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
3.如圖所示小明設(shè)計(jì)了一種測(cè)工件內(nèi)徑AB的卡鉗，問(wèn)：在卡鉗的設(shè)計(jì)中，AO,BO,CO,DO 應(yīng)滿足下列的哪個(gè)條件？（ ）A. AO=CO B. BO=DOC. AC=BD D. AO=CO且BO=DO
4.如圖所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，則A，B兩點(diǎn)間的距離( )A.大于100 m B.等于100 mC.小于100 m D.無(wú)法確定
如圖，公園里有一條“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F(xiàn)，M恰為BC的中點(diǎn)，且E，M，F(xiàn)在同一直線上，在BE道路上停放著一排小汽車(chē)，從而無(wú)法直接測(cè)量B，E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？請(qǐng)說(shuō)明其中的道理.
解：因?yàn)锳B∥CD,所以∠B=∠C.在△BME和△CMF中，∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.故只要測(cè)量CF即可得B，E之間的距離.
課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖，試說(shuō)明：△ADC≌△CEB．
解：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，所以∠ADC=∠CEB=90°.所以∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°，所以∠BCE=∠DAC.在△ADC和△CEB中，因?yàn)?∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=BC,所以△ADC≌△CEB（AAS）．
1.知識(shí)：利用三角形全等測(cè)距離的目的：變不可測(cè)距離為可測(cè)距離.依據(jù)：全等三角形的性質(zhì).關(guān)鍵：構(gòu)造全等三角形.2.方法：（1）延長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形；（2）垂直法構(gòu)造全等三角形.3.數(shù)學(xué)思想：樹(shù)立用三角形全等構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的思想.

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版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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