一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來同樣大小的新教具？能恢復(fù)三角形的原貌嗎？
怎么辦？可以幫幫我嗎？
1. 探索并正確理解三角形全等的條件“ASA”和“AAS”.
2. 會用三角形全等的條件“ASA”和“AAS”說明兩個三角形全等．
問題：如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？
“兩角和其中一角的對邊”
它們能判定兩個三角形全等嗎？
做一做: 如果“兩角及一邊”條件中的邊是兩角所夾的邊，比如三角形的兩個內(nèi)角分別是60°和80°，它們所夾的邊為2cm，你能畫出這個三角形嗎？你畫的三角形與同伴畫的一定全等嗎？
先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等).把畫好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔?br/>作法：（1）畫A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁畫∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于點(diǎn)C'.
想一想：從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”.
想一想： 如圖所示，AB 與CD 相交于點(diǎn)O，O 是 AB 的中點(diǎn)，∠A = ∠B，△AOC 與△BOD 全等嗎？為什么？
解：因?yàn)辄c(diǎn)O 是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)A = OB.又已知∠A = ∠B，且∠AOC = ∠BOD，所以△AOC ≌ △BOD.
例 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，試說明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共邊）， ∠ACB＝∠DBC（已知），
在△ABC和△DCB中，
所以△ABC≌△DCB（ASA ）.
如圖，已知點(diǎn)E，C在線段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.試說明：△ABC≌△DEF.
解：因?yàn)锳B∥DE,所以∠B＝∠DEF,因?yàn)锽E＝CF,所以BC＝EF.因?yàn)椤螦CB＝∠F,所以△ABC≌△DEF .（ASA ）
如果“兩角及一邊”條件中的邊是其中一角的對邊，情況會怎樣呢？你能將它轉(zhuǎn)化為具體的條件嗎？
若三角形的兩個內(nèi)角分別是60°和40°，且40°所對的邊為2cm，你能畫出這個三角形嗎?
這里的條件與“做一做”中的條件有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？你能將它轉(zhuǎn)化為“做一做”中的條件嗎？
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成 “角角邊”或“AAS ” .
例 在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC=EF.試說明：AC=DF．
所以△ABC≌△DEF（AAS ）.
∠A＝∠D， ∠B＝∠E.BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
如圖，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D,E.試說明：△BDA≌△AEC .
解：因?yàn)锽D⊥m，CE⊥m，所以∠ADB=∠CEA=90°，所以∠ABD+∠BAD=90°.因?yàn)锳B⊥AC，所以∠BAD＋∠CAE=90°，∠ABD=∠CAE.在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°， ∠ABD＝∠CAE,AB＝AC，
所以△BDA≌△AEC(AAS).
（2020?齊齊哈爾）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點(diǎn)A,B,E在同一條直線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個條件是_________________________．（只填一個即可）
∠D=∠C或∠ABD=∠ABC等
1. 在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=44°，∠B=67°，∠C′=69° ，∠A′=44°，且AC＝A′C′，那么這兩個三角形（　 ）A．一定不全等　 B．一定全等　 　C．不一定全等　　 D．以上都不對
2.如圖，已知：AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點(diǎn)F，BE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E.試說明：BE＝CF.
解：因?yàn)锳D為△ABC的中線，所以BD＝CD.因?yàn)锽E⊥AD，CF⊥AD，所以∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED與△CFD中，所以△BED≌△CFD(AAS)．所以BE＝CF.
3.如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,試說明：AD=AE.
解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A（公共角 ）， AC=AB（已知），∠C=∠B （已知 ），
所以 △ACD≌△ABE（ASA)，
已知：如圖， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 試說明：AB=AD.
解： 因?yàn)?AB⊥BC，AD⊥DC，
所以 ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC（AAS)，
已知：如圖，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD，A′ D′ 分別是△ABC 和△A′B′C′的高.試說明AD＝ A′D′ ，并用一句話說出你的發(fā)現(xiàn).
解：因?yàn)椤鰽BC ≌△A′B′C′ ，所以AB=A'B'（全等三角形對應(yīng)邊相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形對應(yīng)角相等）.因?yàn)锳D⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已證），∠ABD=∠A'B'D'（已證），AB=AB（已證），所以△ABD≌△A'B'D'（AAS）.所以AD=A'D'.
有兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成 “ASA”)
為證明線段和角相等提供了新的證法
注意“角角邊”、“角邊角”中兩角與邊的區(qū)別
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，（簡寫成 “AAS ” ）

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級下冊（2024）電子課本 新教材

2 全等三角形

版本： 北師大版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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