知識(shí)點(diǎn)01 平行線的性質(zhì)
平行線的性質(zhì)：
【即學(xué)即練1】
1．如圖，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝72°，則∠D的大小為（ ）
A．98°B．108°C．118°D．144°
【即學(xué)即練2】
2．一塊含30°角的直角三角板，按如圖所示方式放置，頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若直線a∥b，∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
【即學(xué)即練3】
3．如圖，把一張對(duì)邊互相平行的紙條折疊，EF是折痕，若∠EFB＝32°，則∠BFD′的度數(shù)為（ ）
A．112°B．116°C．138°D．148°
【即學(xué)即練4】
4．如圖，已知直線AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系是（ ）
A．∠α+∠β﹣2∠γ＝180°B．∠β﹣∠α＝∠γ
C．∠α+∠β+∠γ＝360°D．∠β+∠γ﹣∠α＝180°
【即學(xué)即練5】
5．將下面的推理過程及依據(jù)補(bǔ)充完整．
已知：如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，∠1＝∠2，求證：∠B＝∠C．
證明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠4（ ），
∴∠2＝∠4（等量代換）．
∴CE∥BF（ ）．
∴∠3＝ （兩直線平行，同位角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠B（ ）．
∴∠B＝∠C（ ）．
題型01 利用平行線的性質(zhì)求角度
【典例1】如圖，AB∥CD，射線AF交CD于點(diǎn)E，若∠1＝105°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．65°B．75°C．85°D．95°
【變式1】如圖，平行線AB，CD被直線EF所截，F(xiàn)G平分∠EFD，若∠EFD＝78°，則∠EGF的度數(shù)是（ ）
A．39°B．51°C．78°D．102°
【變式2】如圖，AB∥CD，AC∥DE，∠D＝30°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【變式3】如圖，AB∥CD，EF⊥AB于點(diǎn)E，EF交CD于點(diǎn)F，EM交CD于點(diǎn)M，已知∠1＝57°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．33°B．57°C．43°D．123°
題型02 平行線與直角三角板
【典例1】如圖，將一直角三角形放于一對(duì)平行線上，量得∠1＝63°，則∠2＝（ ）
A．143°B．147°C．153°D．157°
【變式1】如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1＝30°，∠2＝50°，則∠3等于（ ）
A．20°B．30°C．36°D．65°
【變式2】如圖，已知a∥b，曉玉把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1＝25°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
【變式3】已知直線m∥n，將一塊直角三角板按如圖所示方式放置，其中三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)分別落在直線m、n上，若∠2＝35°，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
題型03 平行線與折疊
【典例1】將一張長(zhǎng)方形紙片（足夠長(zhǎng)）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個(gè)三角形（△ABC），BC為折痕，若∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．48°B．58°C．60°D．69°
【變式1】如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，D、C分別落在D′，C′的位置上，ED′與BC交于G點(diǎn)，若∠EFG＝56°，則∠AEG＝ ．
【變式2】如圖，將矩形紙片ABCD沿BD折疊，得到△BC′D，C′D與AB交于點(diǎn)E．若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．20°B．30°C．35°D．55°
【變式3】如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕為EF，若∠ABE＝24°，那么∠DEF的度數(shù)為（ ）
A．66°B．60°C．57°D．55°
【變式4】如圖，矩形紙片ABCD沿EF折疊后，∠FEC＝30°，則∠AGE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．60°C．80°D．不能確定
題型04 平行線之間的拐點(diǎn)問題
【典例1】如圖，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，則∠APC的度數(shù)為（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【變式1】如圖，直線AB∥CD，E，M分別為直線AB、CD上的點(diǎn)，N為兩平行線間的點(diǎn)，連接NE、NM，過點(diǎn)N作NG平分∠ENM交直線CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)N作NF⊥NG，交直線CD于點(diǎn)F，若∠BEN＝160°，則∠MNG+∠NFG的度數(shù)為（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【變式2】如圖，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，則∠EFD的度數(shù)是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【變式3】如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，則∠3的度數(shù)為（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【變式4】如圖，AB∥CD，，，則∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．∠AEC＝3∠AFCB．∠AEC＝4∠AFC
C．∠AEC+3∠AFC＝360°D．∠AEC+4∠AFC＝360°
題型05 平行線的判定與性質(zhì)的綜合
【典例1】如圖，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，
試說明AB∥DE．請(qǐng)完善解答過程，并在括號(hào)內(nèi)填寫相應(yīng)的理論依據(jù)．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ ＝60°．（ ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代換）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ＝180°．（ ）
∴∠ ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性質(zhì)）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（ ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代換）
∴AB∥DE．（ ）
【變式1】已知：如圖，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）判斷GD與CA的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度數(shù)．
【變式2】如圖，已知∠BDC＝∠FEC，∠DBE+∠AFE＝180°．
（1）求證：AF∥BE；
（2）若BE平分∠FEC，F(xiàn)A⊥MC于點(diǎn)A，且∠BDC＝64°，求∠C的度數(shù)．
【變式3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、F在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)G在AC邊上，EF與GD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．
求證：（1）EH∥AD；
（2）∠BAD＝∠H．
【變式4】如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E在BC上，EF⊥AB，垂足為F．
（1）CD與EF平行嗎？為什么？
（2）如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度數(shù)．
1．如圖，直線l1∥l2，線段AB交l1，l2于D，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥AB交直線l1于點(diǎn)C，若∠1＝15°，則∠2＝（ ）
A．105°B．115°C．100°D．95°
2．如圖，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，則∠CBE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
3．將一個(gè)含30°角的直角三角板和一把等寬的直尺按如圖所示的位置擺放，其中∠C＝30°，若∠ADE＝50°，則∠FBC的度數(shù)是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
4．在同一平面內(nèi)，將直尺、含45°角的三角尺和木工角尺（DE⊥DF）按如圖方式擺放．若AB∥DF，則∠1的大小為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．如圖，直線AB∥CD∥EF，點(diǎn)O在直線EF上，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90°B．∠α﹣∠β+∠γ＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝90°D．∠α+∠β+∠γ＝180°
6．一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（ ）
A．155°B．125°C．115°D．65°
7．如圖，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，給出下面四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B＝∠BCD；④∠B+∠BCD＝180°．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②④
8．隨著科技發(fā)展，騎行共享單車這種“低碳”生活方式已融入人們的日常生活，如圖是共享單車車架的示意圖，線段AB，CE，DE分別為前叉、下管和立管（點(diǎn)C在AB上），EF為后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，則∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．43°B．53°C．67°D．70°
9．如圖，自行車的尾部通常會(huì)安裝一種塑料制成的反光鏡，夜間騎車時(shí)，在車燈照射下，能把光線按原來方向返回（即a∥b），根據(jù)光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如圖2所示，若∠1＝46°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．44°B．46°C．54°D．56°
10．如圖，AB∥CD，∠BAC與∠DCA的平分線相交于點(diǎn)G，GE⊥AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AC上的一點(diǎn)，且AF＝FC，GH⊥CD于點(diǎn)H．下列說法：①AG⊥CG；②∠BAG＝∠CGE；③S△AFG＝S△CFG；④若∠EGH：∠ECH＝2：7，則∠EGH＝40°．其中正確的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②④
11．如圖，已知∠1+∠2+∠3＝232°，AB∥DF，則∠2的度數(shù)為 度．
12．如圖，將一個(gè)矩形紙片按如圖折疊，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)是 ．
13．如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行．若∠1＝30°，∠2＝60°，則∠3的度數(shù)為 ．
14．抖空竹是我國(guó)的傳統(tǒng)體育，也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一、明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，則∠BAE的度數(shù)為 ．
15．如圖，AC∥EG，點(diǎn)B在AC上，點(diǎn)F在EG上，連結(jié)BF，BD平分∠ABE，EH平分∠BEF交BF于點(diǎn)H，∠EBF＝∠EFB．給出下面四個(gè)結(jié)論：①BD∥EH；②BF平分∠EBC；③∠BFE＝∠ABE；④∠BFG﹣∠BEH＝90°．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有 ．
16．補(bǔ)全推理過程：
如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上，EF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作直線DG交AC于點(diǎn)G，交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度數(shù)．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（ ）
∴∠2+∠EAD＝180°．（ ）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠ ．（同角的補(bǔ)角相等）
∴AE∥HG．（ ）
∴∠B＝∠BDH．（ ）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代換）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（ ）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定義）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性質(zhì)）
∵AD∥EF，（已證）
∴∠H＝∠1＝ °．（ ）
17．【問題】如圖，AB∥CD，點(diǎn)P在直線CD的下方，試說明∠BPD＝∠B﹣∠D．
【解決】請(qǐng)幫助榕榕完善下面的解題過程，在括號(hào)內(nèi)填上相應(yīng)的理由或數(shù)學(xué)式．
如圖，作PE∥AB，
則∠BPE＝∠B．（ ）
∵PE∥AB，AB∥CD，
∴PE∥CD．（ ）
∴∠DPE＝∠D．（ ）
∵∠BPD＝ ﹣∠DPE，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代換）
18．如圖，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，AB與EF交于點(diǎn)G，∠AGE＝∠CED，ED平分∠CEF．
（1）求證：AB∥DE；
（2）若∠F＝30°，∠AGE＝50°，求∠C的度數(shù)．
19．在物理學(xué)中，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，MN是平面鏡，若入射光線AO與水平鏡面夾角為∠1，反射光線OB與水平鏡面夾角為∠2，則∠1＝∠2．
（1）如圖2，入射光線AB經(jīng)過2次反射后與反射光線CD交于點(diǎn)E．若∠MON＝65°，求∠CEB的度數(shù)：
（2）如圖2，圖3，若∠MON＝α，入射光線AB經(jīng)過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD所在的直線相交于點(diǎn)E，∠BEC＝β，分別寫出α與β之間滿足的等量關(guān)系是 （直接寫出兩個(gè)結(jié)果）．
20．已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1，l2交于點(diǎn)C和D，點(diǎn)P是直線l3上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）猜想論證：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PAC，∠APB，∠PBD之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
請(qǐng)把下列過程補(bǔ)充完整：
猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD．
證明：過點(diǎn)P作PM∥l1．
∵l1∥l2，
∴ （如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．
又∵PM∥l1，PM∥l2，
∴∠APM＝∠PAC， ＝∠PBD（ ）．
∵∠APB＝∠APM+∠BPM，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（ ）．
（2）類比探究：
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出∠PAC，∠APB，∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠PAC，∠APB，∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫理由．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①平行線的性質(zhì)
掌握平行線的性質(zhì)，并能夠利用平行線的性質(zhì)熟練的求相關(guān)角的度數(shù)，結(jié)合平行線的判定證明角的關(guān)系。
性質(zhì)
文字語言
數(shù)學(xué)語言
性質(zhì)1
兩直線平行，同位角
∵
∴∠1 ∠2
性質(zhì)2
兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角
∵
∴∠1 ∠2
性質(zhì)3
兩直線平行，同旁內(nèi)角
∵
∴∠＋∠2＝

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7.2.3 平行線的性質(zhì)

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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