A．10B．12C．14D．15
2．（2023?長沙四模）下列變形中正確的是（ ）
A．由﹣2x＜1，得x＜?12B．由2x+1＞3x﹣1，得x＞﹣2
C．由2x+1＞x﹣1，得x＞2D．由x+2＜2x﹣2，得x＞4
3．（2023?鄖陽區(qū)模擬）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問客人有幾人？設(shè)客人有x人，則可列方程為（ ）
A．7x+4＝9x﹣8B．7x﹣4＝9x+8C．x+47=x?89D．x?47=x+89
4．（2023?長沙模擬）《九章算術(shù)》中記載：今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．問玉、石重各幾何？大意是：若有玉1立方寸，重7兩；石1立方寸，重6兩．今有石為棱長3寸的正方體（體積為27立方寸），其中含有玉，總重11斤（注：1斤＝16兩）．問玉、石各重多少？若設(shè)玉重x兩，石重y兩，則可列方程為（ ）
A．x+y=11，x7+y6=27B．x+y=176，x7+y6=27
C．x+y=11，7x+6y=27D．x+y=176，7x+6y=27
5．（2023?綏寧縣模擬）方程x2＝2023x的解是（ ）
A．x＝2023B．x＝﹣2023
C．x＝0或2023D．x＝2023或﹣2023
6．（2023?天元區(qū)模擬）已知a、b、c為常數(shù)，點(diǎn)P（a，c）在第二象限，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情況為（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法判斷
7．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一，書中記載：“今有人共買兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，問人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買兔，如果每人出七錢，那么多了十一錢；如果每人出五錢，那么少了十三錢．問：共有幾個(gè)人？”設(shè)有x個(gè)人共同買雞，依題意可列方程為（ ）
A．7x+11＝5x﹣13B．7x﹣11＝5x+13
C．5（x﹣11）＝7（x+13）D．5（x+11）＝7（x﹣13）
8．（2023?石峰區(qū)模擬）方程3x+3=1x?1的解為（ ）
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
9．（2023?長沙一模）在“雙減政策”的推動下，某初級中學(xué)校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長明顯減少．2021年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長為100min，經(jīng)過2021年下學(xué)期和2022年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2022年下學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長為70min．設(shè)該校平均每天作業(yè)時(shí)長這兩學(xué)期每期的下降率為x，則可列方程為（ ）
A．100（1﹣x2）＝70B．70（1+x2）＝100
C．100（1﹣x）2＝70D．70（1+x）2＝100
10．（2023?漣源市一模）在數(shù)軸上表示不等式組x＞?1x≤3的解集，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023?衡山縣校級一模）分式方程xx+1=32x+2的解是（ ）
A．x=32B．x=?32C．x=?23D．x=23
12．（2023?岳陽縣一模）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≤1且a≠0D．a(chǎn)＜1且a≠0
13．（2023?衡山縣校級一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．“其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是（ ）
A．x=y+512x=y?5B．x=y?512x=y+5
C．x=y+52x=y?5D．x=y?52x=y+5
二．填空題（共10小題）
14．（2023?長沙模擬）如果關(guān)于x的方程x2﹣6x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)k的值為 ．
15．（2023?零陵區(qū)模擬）若關(guān)于x的不等式組3x?2＜mx+1≥0有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
16．（2023?長沙四模）如果x＝﹣2是方程3x﹣m﹣1＝0的解，則m的值是 ．
17．（2023?綏寧縣模擬）已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一個(gè)根，那么該方程的另一個(gè)根是 ．
18．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式x1﹣2x1x2+x2的值為 ．
19．（2023?漣源市一模）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的兩個(gè)根，則α+β+αβ＝ ．
20．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）解分式方程1x+2=3x+4的解是 ．
21．（2023?零陵區(qū)模擬）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，則x1+x2的值是 ．
22．（2023?天元區(qū)模擬）一元二次方程x2﹣2x+m＝0配方后得（x﹣1）2＝n，則m+n的值是 ．
23．（2023?鳳凰縣模擬）已知方程2x﹣4＝0，則x＝ ．
三．解答題（共8小題）
24．（2023?長沙模擬）2022年秋季，中小學(xué)開始實(shí)施《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，傳遞了“雙減”背景下加強(qiáng)勞動教育的鮮明信號，某校準(zhǔn)備利用學(xué)校勞動實(shí)踐基地，開展勞動教育．現(xiàn)欲購進(jìn)甲、乙兩種菜苗供學(xué)生栽種．已知用300元購進(jìn)甲種菜苗的數(shù)量比用300元購進(jìn)乙種菜苗的數(shù)量多300棵，單獨(dú)購一棵甲種菜苗和一棵乙種菜苗共需1.5元．
（1）求購進(jìn)一棵甲種菜苗和一棵乙種菜苗各需要多少元；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)兩種菜苗共600棵，甲種菜苗不少于200棵，不多于320棵，則購買總費(fèi)用最少需要多少元？
25．（2023?漣源市一模）直播帶貨已經(jīng)成為年輕人的購物時(shí)尚．為回饋粉絲，直播帶貨達(dá)人甜甜姐推出促銷措施，在她的直播間按市場價(jià)購買火狐貍服裝，均可到線上客服處領(lǐng)取13%的補(bǔ)貼．粉絲麗麗因此購買了一件皮衣和一件毛衣，共花去6000元，已知皮衣單價(jià)比毛衣單價(jià)的2倍還多600元．
（1）麗麗所買皮衣與毛衣的單價(jià)各是多少元？
（2）麗麗可以到線上客服處領(lǐng)取多少元補(bǔ)貼？
26．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）直播購物逐漸走近了人們的生活，某電商在抖音上對一款成本價(jià)為70元的商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件110元銷售，每天可賣出20件，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品的售價(jià)每降低1元，日銷量增加2件，為盡快減少庫存，商家決定降價(jià)銷售，若要使得日利潤達(dá)到1200元，則每件商品應(yīng)定價(jià)多少進(jìn)行銷售？
27．（2023?天元區(qū)模擬）定義：如果關(guān)于x的方程a1x2+b1x+c1＝0（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與a2x2+b2x+c2＝0（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)），其中方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則稱這兩個(gè)方程互為“對稱方程”．例如：方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”是﹣2x2﹣3x﹣1＝0，請根據(jù)上述內(nèi)容，解決以下問題：
（1）直接寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”；
（2）若關(guān)于x的方程3x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣3x2﹣x＝﹣1互為“對稱方程”，求m、n的值及3x2+（m﹣1）x﹣n＝0的解．
28．（2023?零陵區(qū)模擬）隨著某市養(yǎng)老機(jī)構(gòu)建設(shè)的穩(wěn)步推進(jìn)，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加．
（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2018年底的2萬個(gè)增長到2020年底的2.88萬個(gè)，求該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；
（2）若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間（1個(gè)養(yǎng)老床位），雙人間（2個(gè)養(yǎng)老床位），三人間（3個(gè)養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t（10≤t≤30），且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍．設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個(gè)？
29．（2023?岳陽縣一模）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．
（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？
30．（2023?衡山縣校級一模）為了進(jìn)一步落實(shí)國務(wù)院《關(guān)于強(qiáng)化學(xué)校體育促進(jìn)學(xué)生身心健康全面發(fā)展的意見》的精神，提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校計(jì)劃購買籃球和排球，為學(xué)生課間體育鍛煉提供充足的器材．已知籃球的單價(jià)是排球的1.5倍，用3600元單獨(dú)購買籃球或排球，所購籃球的數(shù)量比排球少20個(gè)．
（1）籃球和排球的單價(jià)各是多少元？
（2）若該校計(jì)劃購買籃球和排球共200個(gè)，籌備資金不多于15700元，那么該校最多購買籃球多少個(gè)？
31．（2023?鳳凰縣模擬）某學(xué)校為開展“陽光體育”活動，計(jì)劃拿出不超過3000元的資金購買一批籃球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價(jià)比為8：3：2，且其單價(jià)和為130元．
（1）請問籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價(jià)分別是多少元？
（2）若要求購買籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的總數(shù)量是80個(gè)（副），羽毛球拍的數(shù)量是籃球數(shù)量的4倍，且購買乒乓球拍的數(shù)量不超過15副，請問有幾種購買方案？
2023年湖南省中考數(shù)學(xué)沖刺專題練——2方程和不等式
參考答案與試題解析
一．選擇題（共13小題）
1．（2023?漣源市一模）今年，鄭凱12歲，他爸39歲．x年后鄭凱年齡是他爸的一半，則x是（ ）
A．10B．12C．14D．15
【解答】解：由題意得：12+x=12(39+x)，
解得：x＝15．
故選：D．
2．（2023?長沙四模）下列變形中正確的是（ ）
A．由﹣2x＜1，得x＜?12B．由2x+1＞3x﹣1，得x＞﹣2
C．由2x+1＞x﹣1，得x＞2D．由x+2＜2x﹣2，得x＞4
【解答】解：A、原不等式的解集：x＞?12，不符合題意；
B、原不等式的解集：x＜2，不符合題意；
C、原不等式的解集：x＞﹣2，不符合題意；
D、原不等式的解集：x＞4，符合題意；
故選：D．
3．（2023?鄖陽區(qū)模擬）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問客人有幾人？設(shè)客人有x人，則可列方程為（ ）
A．7x+4＝9x﹣8B．7x﹣4＝9x+8C．x+47=x?89D．x?47=x+89
【解答】解：根據(jù)題意，得7x+4＝9x﹣8．
故選：A．
4．（2023?長沙模擬）《九章算術(shù)》中記載：今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．問玉、石重各幾何？大意是：若有玉1立方寸，重7兩；石1立方寸，重6兩．今有石為棱長3寸的正方體（體積為27立方寸），其中含有玉，總重11斤（注：1斤＝16兩）．問玉、石各重多少？若設(shè)玉重x兩，石重y兩，則可列方程為（ ）
A．x+y=11，x7+y6=27B．x+y=176，x7+y6=27
C．x+y=11，7x+6y=27D．x+y=176，7x+6y=27
【解答】解：∵石頭總重11斤，
∴x+y＝11×16，即x+y＝176；
∵石頭的體積為27立方寸，
∴x7+y6=27．
∴根據(jù)題意可列出方程組x+y=176x7+y6=27．
故選：B．
5．（2023?綏寧縣模擬）方程x2＝2023x的解是（ ）
A．x＝2023B．x＝﹣2023
C．x＝0或2023D．x＝2023或﹣2023
【解答】解：∵x2＝2023x，
∴x2﹣2023x＝0，
∴x（x﹣2023）＝0，
∴x＝0或2023．
故選：C．
6．（2023?天元區(qū)模擬）已知a、b、c為常數(shù)，點(diǎn)P（a，c）在第二象限，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情況為（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法判斷
【解答】解：∵點(diǎn)P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：B．
7．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一，書中記載：“今有人共買兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，問人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買兔，如果每人出七錢，那么多了十一錢；如果每人出五錢，那么少了十三錢．問：共有幾個(gè)人？”設(shè)有x個(gè)人共同買雞，依題意可列方程為（ ）
A．7x+11＝5x﹣13B．7x﹣11＝5x+13
C．5（x﹣11）＝7（x+13）D．5（x+11）＝7（x﹣13）
【解答】解：根據(jù)題意得：7x﹣11＝5x+13．
故選：B．
8．（2023?石峰區(qū)模擬）方程3x+3=1x?1的解為（ ）
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
【解答】解：去分母得：3（x﹣1）＝x+3，
去括號得：3x﹣3＝x+3，
移項(xiàng)得：3x﹣x＝3+3，
合并同類項(xiàng)得：2x＝6，
系數(shù)化為1得：x＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)得，x＝3是該方程的解，
故選：A．
9．（2023?長沙一模）在“雙減政策”的推動下，某初級中學(xué)校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長明顯減少．2021年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長為100min，經(jīng)過2021年下學(xué)期和2022年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2022年下學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長為70min．設(shè)該校平均每天作業(yè)時(shí)長這兩學(xué)期每期的下降率為x，則可列方程為（ ）
A．100（1﹣x2）＝70B．70（1+x2）＝100
C．100（1﹣x）2＝70D．70（1+x）2＝100
【解答】解：根據(jù)題意得100（1﹣x）2＝70．
故選：C．
10．（2023?漣源市一模）在數(shù)軸上表示不等式組x＞?1x≤3的解集，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：不等式組x＞?1x≤3的解集為﹣1＜x≤3，
在數(shù)軸上表示為
．
故選：C．
11．（2023?衡山縣校級一模）分式方程xx+1=32x+2的解是（ ）
A．x=32B．x=?32C．x=?23D．x=23
【解答】解：去分母得：2x＝3，
系數(shù)化為1得：x=32，
檢驗(yàn)：把x=32代入得：2（x+1）≠0，
∴分式方程的解為x=32．
故選：A．
12．（2023?岳陽縣一模）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≤1且a≠0D．a(chǎn)＜1且a≠0
【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a≠0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1且a≠0，
故選：D．
13．（2023?衡山縣校級一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．“其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是（ ）
A．x=y+512x=y?5B．x=y?512x=y+5
C．x=y+52x=y?5D．x=y?52x=y+5
【解答】解：設(shè)索長為x尺，竿子長為y尺，
根據(jù)題意得：x=y+512x=y?5．
故選：A．
二．填空題（共10小題）
14．（2023?長沙模擬）如果關(guān)于x的方程x2﹣6x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)k的值為 9． ．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣6x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝0，
即（﹣6）2﹣4×1×k＝0，
解得k＝9．
故答案為：9．
15．（2023?零陵區(qū)模擬）若關(guān)于x的不等式組3x?2＜mx+1≥0有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 m＞﹣5 ．
【解答】解：3x?2＜m①x+1≥0②，
解不等式①得：x＜m+23，
解不等式②得：x≥﹣1，
∵不等式組有解，
∴m+23＞?1，
∴m＞﹣5，
故答案為：m＞﹣5．
16．（2023?長沙四模）如果x＝﹣2是方程3x﹣m﹣1＝0的解，則m的值是 ﹣7 ．
【解答】解：∵x＝﹣2是方程3x﹣m﹣1＝0的解，
∴﹣6﹣m﹣1＝0，解得m＝﹣7．
故答案為：﹣7．
17．（2023?綏寧縣模擬）已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一個(gè)根，那么該方程的另一個(gè)根是 32 ．
【解答】解：設(shè)方程另一根為x2，
則﹣1×x2=?32，
解得：x2=32．
故方程的另一個(gè)根是32．
故答案為：32．
18．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式x1﹣2x1x2+x2的值為 2023 ．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝2025，x1x2＝1，
∴x1﹣2x1x2+x2＝x1+x2﹣2x1x2＝2025﹣2×1＝2023．
故答案為：2023．
19．（2023?漣源市一模）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的兩個(gè)根，則α+β+αβ＝ 2023 ．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的兩個(gè)根，
∴α+β＝2022，αβ＝1，
∴α+β+αβ＝2022+1＝2023．
故答案為：2023．
20．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）解分式方程1x+2=3x+4的解是 x＝﹣1 ．
【解答】解：1x+2=3x+4，
x+4＝3（x+2），
解得：x＝﹣1，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，（x+2）（x+4）≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
21．（2023?零陵區(qū)模擬）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，則x1+x2的值是 2 ．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝2．
故答案為：2．
22．（2023?天元區(qū)模擬）一元二次方程x2﹣2x+m＝0配方后得（x﹣1）2＝n，則m+n的值是 1 ．
【解答】解：∵x2﹣2x+m＝0，
∴x2﹣2x+1＝1﹣m，
∴（x﹣1）2＝1﹣m，
∴n＝1﹣m，
∴m+n＝1，
故答案為：1
23．（2023?鳳凰縣模擬）已知方程2x﹣4＝0，則x＝ 2 ．
【解答】解：2x﹣4＝0，
2x＝4，
x＝2，
故答案為：2．
三．解答題（共8小題）
24．（2023?長沙模擬）2022年秋季，中小學(xué)開始實(shí)施《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，傳遞了“雙減”背景下加強(qiáng)勞動教育的鮮明信號，某校準(zhǔn)備利用學(xué)校勞動實(shí)踐基地，開展勞動教育．現(xiàn)欲購進(jìn)甲、乙兩種菜苗供學(xué)生栽種．已知用300元購進(jìn)甲種菜苗的數(shù)量比用300元購進(jìn)乙種菜苗的數(shù)量多300棵，單獨(dú)購一棵甲種菜苗和一棵乙種菜苗共需1.5元．
（1）求購進(jìn)一棵甲種菜苗和一棵乙種菜苗各需要多少元；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)兩種菜苗共600棵，甲種菜苗不少于200棵，不多于320棵，則購買總費(fèi)用最少需要多少元？
【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)一棵甲種菜苗需要x元，則購進(jìn)一棵乙種菜苗需要（1.5﹣x）元，
根據(jù)題意得：300x?3001.5?x=300，
整理得：2x2﹣7x+3＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝0.5，x2＝3均為所列方程的解，x1＝0.5符合題意，x2＝3不符合題意，舍去，
∴1.5﹣x＝1.5﹣0.5＝1．
答：購進(jìn)一棵甲種菜苗需要0.5元，一棵乙種菜苗需要1元；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種菜苗m棵，購買總費(fèi)用為w元，則購買乙種菜苗（600﹣m）棵，
根據(jù)題意得：w＝0.5m+1×（600﹣m），
即w＝﹣0.5m+600．
∵﹣0.5＜0，
∴w隨m的增大而減小，
又∵200≤m≤320，
∴當(dāng)m＝320時(shí)，w取得最小值，最小值為﹣0.5×320+600＝440．
答：購買總費(fèi)用最少需要440元．
25．（2023?漣源市一模）直播帶貨已經(jīng)成為年輕人的購物時(shí)尚．為回饋粉絲，直播帶貨達(dá)人甜甜姐推出促銷措施，在她的直播間按市場價(jià)購買火狐貍服裝，均可到線上客服處領(lǐng)取13%的補(bǔ)貼．粉絲麗麗因此購買了一件皮衣和一件毛衣，共花去6000元，已知皮衣單價(jià)比毛衣單價(jià)的2倍還多600元．
（1）麗麗所買皮衣與毛衣的單價(jià)各是多少元？
（2）麗麗可以到線上客服處領(lǐng)取多少元補(bǔ)貼？
【解答】解：（1）設(shè)麗麗所買皮衣的單價(jià)是x元，毛衣的單價(jià)是y元，
根據(jù)題意得：x+y=6000x?2y=600，
解得：x=4200y=1800．
答：麗麗所買皮衣的單價(jià)是4200元，毛衣的單價(jià)是1800元；
（2）6000×13%＝780（元）．
答：麗麗可以到線上客服處領(lǐng)取780元補(bǔ)貼．
26．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）直播購物逐漸走近了人們的生活，某電商在抖音上對一款成本價(jià)為70元的商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件110元銷售，每天可賣出20件，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品的售價(jià)每降低1元，日銷量增加2件，為盡快減少庫存，商家決定降價(jià)銷售，若要使得日利潤達(dá)到1200元，則每件商品應(yīng)定價(jià)多少進(jìn)行銷售？
【解答】解：設(shè)每件定價(jià)為x元，則此時(shí)的日銷售量為[20+2（110﹣x）]件，
根據(jù)題意，列方程（x﹣70）[20+2（110﹣x）]＝1200，
解得x1＝100，x2＝90，
∵為盡快減少庫存，
∴x＝90．
答：每件定價(jià)為90元．
27．（2023?天元區(qū)模擬）定義：如果關(guān)于x的方程a1x2+b1x+c1＝0（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與a2x2+b2x+c2＝0（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)），其中方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則稱這兩個(gè)方程互為“對稱方程”．例如：方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”是﹣2x2﹣3x﹣1＝0，請根據(jù)上述內(nèi)容，解決以下問題：
（1）直接寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”；
（2）若關(guān)于x的方程3x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣3x2﹣x＝﹣1互為“對稱方程”，求m、n的值及3x2+（m﹣1）x﹣n＝0的解．
【解答】解：（1）由題意得：方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
（2）由﹣3x2﹣x＝﹣1，
移項(xiàng)可得：﹣3x2﹣x+1＝0，
∵關(guān)于x的方程3x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣3x2﹣x＝﹣1互為“對稱方程”，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+1＝0，
解得：m＝0，n＝1，
∴3x2+（m﹣1）x﹣n＝0化為3x2﹣x﹣1＝0，
∴x=?b±b2?4ac2a=1±(?1)2?4×3×(?1)2×3=1±1+126=1±136，
∴x1=1+136，x2=1?136．
28．（2023?零陵區(qū)模擬）隨著某市養(yǎng)老機(jī)構(gòu)建設(shè)的穩(wěn)步推進(jìn)，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加．
（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2018年底的2萬個(gè)增長到2020年底的2.88萬個(gè)，求該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；
（2）若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間（1個(gè)養(yǎng)老床位），雙人間（2個(gè)養(yǎng)老床位），三人間（3個(gè)養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t（10≤t≤30），且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍．設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個(gè)？
【解答】解：（1）設(shè)該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為x，
依題意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為20%．
（2）設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè)，
則y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．
∵k＝﹣4＜0，
∴y隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t＝10時(shí)，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（個(gè)）．
答：該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位260個(gè)．
29．（2023?岳陽縣一模）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．
（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？
【解答】解：（1）設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，
依題意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．
（2）設(shè)該市在2022年可以改造y個(gè)老舊小區(qū)，
依題意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤43223，
又∵y為整數(shù)，
∴y的最大值為18．
答：該市在2022年最多可以改造18個(gè)老舊小區(qū)．
30．（2023?衡山縣校級一模）為了進(jìn)一步落實(shí)國務(wù)院《關(guān)于強(qiáng)化學(xué)校體育促進(jìn)學(xué)生身心健康全面發(fā)展的意見》的精神，提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校計(jì)劃購買籃球和排球，為學(xué)生課間體育鍛煉提供充足的器材．已知籃球的單價(jià)是排球的1.5倍，用3600元單獨(dú)購買籃球或排球，所購籃球的數(shù)量比排球少20個(gè)．
（1）籃球和排球的單價(jià)各是多少元？
（2）若該校計(jì)劃購買籃球和排球共200個(gè)，籌備資金不多于15700元，那么該校最多購買籃球多少個(gè)？
【解答】解：（1）設(shè)排球的單價(jià)為x元，則籃球的單價(jià)為1.5x元，
由題意得：3600x?36001.5x=20，
解得：x＝60，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解，
則1.5x＝90，
答：籃球的單價(jià)為90元，排球的單價(jià)為60元；
（2）設(shè)購買籃球m個(gè)，則購買排球（200﹣m）個(gè)，
由題意得：90m+60（200﹣m）≤15700，
解得：m≤12313，
答：該校最多購買籃球123個(gè)．
31．（2023?鳳凰縣模擬）某學(xué)校為開展“陽光體育”活動，計(jì)劃拿出不超過3000元的資金購買一批籃球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價(jià)比為8：3：2，且其單價(jià)和為130元．
（1）請問籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價(jià)分別是多少元？
（2）若要求購買籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的總數(shù)量是80個(gè)（副），羽毛球拍的數(shù)量是籃球數(shù)量的4倍，且購買乒乓球拍的數(shù)量不超過15副，請問有幾種購買方案？
【解答】解：（1）設(shè)籃球的單價(jià)為8x，則羽毛球拍的單價(jià)為3x，乒乓球拍的單價(jià)為2x．
8x+3x+2x＝130，
解得x＝10，
∴8x＝80；3x＝30；2x＝20，
答：籃球的單價(jià)為80元，羽毛球拍的單價(jià)為30元，乒乓球拍的單價(jià)為20元；
（2）設(shè)籃球的數(shù)量為y，則羽毛球拍的個(gè)數(shù)為4y，乒乓球拍的數(shù)量為80﹣5y．80y+4y×30+(80?5y)×20≤300080?5y≤15，
解得13≤y≤14，
∴y＝13或14，
答：有2種購買方案，籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的數(shù)量分別為：13，52，15或14，56，10．

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