A．6B．63C．10D．103
2．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，∠OAB＝55°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．35°C．37.5°D．40°
3．（2023?長(zhǎng)沙四模）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝20°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（2023?綏寧縣模擬）如圖⊙O的直徑AB⊥弦CD，連接OC，BC，若∠DCO＝20°，那么∠BCO的度數(shù)為（ ）
A．35°B．40°C．30°D．28°
5．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D是圓中優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
6．（2023?岳陽(yáng)縣一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC＝25°，則∠CAD的度數(shù)是（ ）
A．25°B．60°C．65°D．75°
7．（2023?衡山縣校級(jí)一模）在⊙O中，已知半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，則圓心O到AB的距離為（ ）
A．3B．4C．5D．6
二．填空題（共11小題）
8．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖，在?ABCD中，∠ABC＜90°，⊙O與它的邊BA，BC相切，射線BO交邊AD于點(diǎn)E．當(dāng)AB＝6，AD＝8時(shí)，DE的長(zhǎng)等于 ．
9．（2023?零陵區(qū)模擬）已知圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為6，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積等于 ．（結(jié)果保留π）
10．（2023?綏寧縣模擬）如圖，已知⊙O的直徑AB為10，弦CD＝8，CD⊥AB于點(diǎn)E，則sin∠OCE的值為 ．
11．（2023?長(zhǎng)沙四模）如圖，直線PA、PB、MN分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B、D，PA＝PB＝4cm，△PMN的周長(zhǎng)是 ．
12．（2023?長(zhǎng)沙模擬）為了健康和環(huán)保，某超市提供了一種尖底圓錐形紙杯供顧客飲水，如圖所示．經(jīng)過(guò)測(cè)量，紙杯口的直徑為8cm，母線長(zhǎng)為10cm，則生產(chǎn)100個(gè)這種紙杯需要原紙 cm2．（結(jié)果保留π）
13．（2023?岳陽(yáng)縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，切線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）若∠DAC＝30°，BC＝6，則弧BC的長(zhǎng)為 ；
（2）若AF＝6，EF=25，則BE的長(zhǎng)為 ．
14．（2023?岳陽(yáng)樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，BC為△ABC外接圓⊙O的直徑，點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，連接AM并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，①若∠ABC＝30°，⊙O的直徑為4，則扇形AOC的面積為 ；
②若∠ABC＝30°，AC＝2，則DMAD= ．
15．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F在劣弧AB上，則∠CFE的度數(shù)為 °．
16．（2023?零陵區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且在AB異側(cè)，連接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，則∠D的大小是 ．
17．（2023?綏寧縣模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，若∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為 ．
18．（2023?長(zhǎng)沙模擬）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為 m．
三．解答題（共9小題）
19．（2023?長(zhǎng)沙四模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2，給出如下定義：在圖形W1上存在兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M，N可以重合）使得AM＝2BN，則稱(chēng)圖形W1和圖形W2滿(mǎn)足限距關(guān)系．
（1）如圖1，點(diǎn)C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），點(diǎn)P在線段CE上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)C，E重合），連接OP，DP．
①線段DP的最小值為 ，最大值為 ；線段OP的取值范圍是 ；
②點(diǎn)O與線段DE （填“是”或“否”）滿(mǎn)足限距關(guān)系；
（2）在（1）的條件下，如圖2，⊙O的半徑為1，線段FG與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)F，G，且FG∥EC，若線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，求點(diǎn)G縱坐標(biāo)的取值范圍；
（3）⊙O的半徑為r（r＞0），點(diǎn)H，K是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以H，K為圓心，3為半徑作圓得到⊙H和⊙K，若對(duì)于任意點(diǎn)H，K，⊙H和⊙K都滿(mǎn)足限距關(guān)系，直接寫(xiě)出r的取值范圍．
20．（2023?長(zhǎng)沙四模）如圖，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BE，連接OE，過(guò)點(diǎn)A作AD∥OE交⊙O于點(diǎn)D，連接ED交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）直線CE與⊙O相切嗎？并說(shuō)明理由；
（2）若CA＝4，CD＝8，求DE的長(zhǎng)．
21．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，且點(diǎn)A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作EF∥BC．
（1）如圖1，求證：EF是⊙O的切線；
（2）如圖2，作射線BO交AC于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)I，交直線EF于點(diǎn)H，當(dāng)AG＝3，CG＝5時(shí)，求sin∠AHB的值．
22．（2023?綏寧縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F、C在⊙O上且FC=BC，連接AC、AF，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若∠CAD＝30°，CD=3，求AC的長(zhǎng)．
23．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：BC∥EF；
（2）求證：EF是⊙O的切線；
（3）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半徑和AD的長(zhǎng)．
24．（2023?漣源市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PC并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PC＝6，tanE=34，求BE的長(zhǎng)．
25．（2023?長(zhǎng)沙一模）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，連結(jié)AC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，過(guò)D作DE∥AC，交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是半圓O的切線．
（2）若OC＝3，CE＝2，求AC的長(zhǎng)．
26．（2023?衡山縣校級(jí)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD是⊙O的切線，BD⊥CD，DB的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABE＝2∠A；
（2）tanA=12，BD＝1，求BE的長(zhǎng)．
27．（2023?鳳凰縣模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，∠BAC＝∠DAC，過(guò)點(diǎn)C作直線EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC．
（1）求證：EF是⊙O的切線．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的長(zhǎng)．
2023年湖南省中考數(shù)學(xué)沖刺專(zhuān)題練——6圓
參考答案與試題解析
一．選擇題（共7小題）
1．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∠C＝30°，AB＝12，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．63C．10D．103
【解答】解：連接AD，如圖，
∵OC交⊙O于點(diǎn)D，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，
∵∠B=12AOC＝30°，
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AD=12AB=12×12＝6，
∴BD=3AD＝63．
故選：B．
2．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，∠OAB＝55°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．35°C．37.5°D．40°
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝55°，
∴∠OBA＝∠OAB＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝70°，
∴∠C=12∠AOB＝35°．
故選：B．
3．（2023?長(zhǎng)沙四模）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝20°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：連接OA，OB，
∵A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，
∴點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的同一個(gè)圓上，
∵∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)=360°40°=9．
故選：C．
4．（2023?綏寧縣模擬）如圖⊙O的直徑AB⊥弦CD，連接OC，BC，若∠DCO＝20°，那么∠BCO的度數(shù)為（ ）
A．35°B．40°C．30°D．28°
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠DCO+∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC=12∠AOC＝35°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠ABC＝35°．
故選：A．
5．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D是圓中優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，
∴∠A＝∠BDC＝40°，
故選：D．
6．（2023?岳陽(yáng)縣一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC＝25°，則∠CAD的度數(shù)是（ ）
A．25°B．60°C．65°D．75°
【解答】解：連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠ABC＝25°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°．
故選：C．
7．（2023?衡山縣校級(jí)一模）在⊙O中，已知半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，則圓心O到AB的距離為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：作OC⊥AB于C，連接OA，如圖，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB=12×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC=OA2?AC2=52?42=3，
即圓心O到AB的距離為3．
故選：A．
二．填空題（共11小題）
8．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖，在?ABCD中，∠ABC＜90°，⊙O與它的邊BA，BC相切，射線BO交邊AD于點(diǎn)E．當(dāng)AB＝6，AD＝8時(shí)，DE的長(zhǎng)等于 2 ．
【解答】解：如圖，過(guò)O分別作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，
∵⊙O與它的邊BA，BC相切，
∴OP＝OQ，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四邊形ABCD為?ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AB＝6，AD＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣6＝2．
故答案為：2．
9．（2023?零陵區(qū)模擬）已知圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為6，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積等于 24π ．（結(jié)果保留π）
【解答】解：它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積=12?2π?4?6＝24π．
故答案為：24π．
10．（2023?綏寧縣模擬）如圖，已知⊙O的直徑AB為10，弦CD＝8，CD⊥AB于點(diǎn)E，則sin∠OCE的值為 35 ．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CE=12CD=12×8＝4，OC=12AB=12×10＝5，
∴OE=OC2?CE2=52?42=3，
∴sin∠OCE=OEOC=35．
故答案為：35．
11．（2023?長(zhǎng)沙四模）如圖，直線PA、PB、MN分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B、D，PA＝PB＝4cm，△PMN的周長(zhǎng)是 8cm ．
【解答】解：∵直線PA、PB、MN分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B、D，
∴MA＝MD，ND＝NB，
∴△PMN的周長(zhǎng)
＝PM+PN+MD+ND
＝PM+MA+PN+NB
＝PA+PB
＝4+4
＝8（cm）．
故答案為：8cm．
12．（2023?長(zhǎng)沙模擬）為了健康和環(huán)保，某超市提供了一種尖底圓錐形紙杯供顧客飲水，如圖所示．經(jīng)過(guò)測(cè)量，紙杯口的直徑為8cm，母線長(zhǎng)為10cm，則生產(chǎn)100個(gè)這種紙杯需要原紙 4000π cm2．（結(jié)果保留π）
【解答】解：∵紙杯口的直徑為8cm，
∴紙杯口的周長(zhǎng)為π×8＝8π（cm），
∵母線長(zhǎng)為10cm，
∴紙杯展開(kāi)后所得扇形的面積=12×8π×10=40π（cm2），
∴生產(chǎn)100個(gè)這種紙杯需要原紙為100×40π＝4000π（cm2）．
故答案為：4000π．
13．（2023?岳陽(yáng)縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，切線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）若∠DAC＝30°，BC＝6，則弧BC的長(zhǎng)為 2π ；
（2）若AF＝6，EF=25，則BE的長(zhǎng)為 42 ．
【解答】解：（1）∵DP是圓的切線，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠BOC＝∠OAC+∠OCA＝30°+30°＝60°．
∵OC＝OB，
∴△OBC為等邊三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
∴弧BC的長(zhǎng)為60π×6180=2π．
故答案為：2π；
（2）連接OE，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°．
∵弦CE平分∠ACB，
∴∠ECB=12∠ACB＝45°，
∴∠BOE＝2∠ECB＝90°．
∵OB＝OE，
∴BE=2OE．
設(shè)圓的半徑為r，則OA＝OE＝OB＝r，
∴OF＝AF﹣OA＝6﹣r，
在Rt△OEF中，
∵OF2+OE2＝EF2，
∴(6?r)2+r2=(25)2，
解得：r＝2（不合題意，舍去）或r＝4．
∴OE＝4，
∴BE＝42．
故答案為：42．
14．（2023?岳陽(yáng)樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，BC為△ABC外接圓⊙O的直徑，點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，連接AM并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，①若∠ABC＝30°，⊙O的直徑為4，則扇形AOC的面積為 2π3 ；
②若∠ABC＝30°，AC＝2，則DMAD= 3?1 ．
【解答】解：①∵∠ABC＝30°，AC=AC，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵⊙O的直徑為4，
∴⊙O的半徑為2，
∴扇形AOC的面積為60°×π×22360°=2π3；
②如圖所示，作ME⊥AC交AC于點(diǎn)E，作CF⊥AD交AD于點(diǎn)F，
∵∠ABC＝30°，AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝2AC＝4，
∴AB=BC2?AC2=23，
∵點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，
∴ME是△ABC內(nèi)切圓的半徑，
∴ME=2+23?42=3?1，
∵點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，
∴AD是∠BAC的角平分線，
∴∠CAD＝45°，AM=2ME=6?2，
∵CF⊥AD，
∴∠ACF＝45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵AC＝2，
∴AF=CF=2，
∵AC=AC，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴CD=2CF=22，
∴DF=CD2?CF2=6，
∴AD=AF+DF=2+6，
∴DM=AD?AM=2+6?(6?2)=22，
∴DMAD=222+6=3?1．
故答案為：2π3，3?1．
15．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F在劣弧AB上，則∠CFE的度數(shù)為 72 °．
【解答】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，
∴∠CDE=(5?2)×180°5=108°，
∵四邊形CDEF是⊙O外接四邊形，
∴∠EFC+∠CDE＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，
故答案為：72．
16．（2023?零陵區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且在AB異側(cè)，連接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，則∠D的大小是 25° ．
【解答】解：∵∠BOC＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°，
∴∠D=12∠AOC＝25°，
故答案為：25°．
17．（2023?綏寧縣模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，若∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為 50° ．
【解答】解：連接AC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠ACD＝50°．
故答案為50°．
18．（2023?長(zhǎng)沙模擬）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為 4 m．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AD=12AB＝8，
在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD=102?82=6，
∴CD＝10﹣6＝4（m）．
故答案是4．
三．解答題（共9小題）
19．（2023?長(zhǎng)沙四模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2，給出如下定義：在圖形W1上存在兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M，N可以重合）使得AM＝2BN，則稱(chēng)圖形W1和圖形W2滿(mǎn)足限距關(guān)系．
（1）如圖1，點(diǎn)C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），點(diǎn)P在線段CE上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)C，E重合），連接OP，DP．
①線段DP的最小值為 3 ，最大值為 2 ；線段OP的取值范圍是 32≤OP≤3 ；
②點(diǎn)O與線段DE 是 （填“是”或“否”）滿(mǎn)足限距關(guān)系；
（2）在（1）的條件下，如圖2，⊙O的半徑為1，線段FG與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)F，G，且FG∥EC，若線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，求點(diǎn)G縱坐標(biāo)的取值范圍；
（3）⊙O的半徑為r（r＞0），點(diǎn)H，K是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以H，K為圓心，3為半徑作圓得到⊙H和⊙K，若對(duì)于任意點(diǎn)H，K，⊙H和⊙K都滿(mǎn)足限距關(guān)系，直接寫(xiě)出r的取值范圍．
【解答】解：（1）①如圖1中，
∵點(diǎn)C（3，0），E（0，1），
∴OE＝1，OC=3，
∴EC＝2，∠ECO＝30°，
當(dāng)OP⊥EC時(shí)，OP的值最小，當(dāng)P與C重合時(shí)，OP的值最大是3，
Rt△OPC中，OP=12OC=32，即OP的最小值是32；
如圖2，當(dāng)DP⊥EC時(shí)，DP的值最小，
Rt△DEP中，∠OEC＝60°，
∴∠EDP＝30°，
∵DE＝2，
∴cs30°=DPDE，
∴DP2=32，
∴DP=3，
∴當(dāng)P與E重合時(shí)，DP的值最大，DP的最大值是2，
線段DP的最小值為3，最大值為2；線段OP的取值范圍是32≤OP≤3；
故答案為：3，2，32≤OP≤3；
②根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段DE上存在兩點(diǎn)M，N，滿(mǎn)足OM＝2ON，如圖3，
故點(diǎn)O與線段DE滿(mǎn)足限距關(guān)系；
故答案為：是；
（2）∵點(diǎn)C（3，0），E（0，1），
∴設(shè)直線CE的解析式為：y＝kx+m，
∴3k+m=0m=1，解得k=?33m=1，
∴直線CE的解析式為：y=?33x+1，
∵FG∥EC，
∴設(shè)FG的解析式為：y=?33x+b，
∴G（0，b），F(xiàn)（3b，0），
∴OG＝b，OF=3b，
當(dāng)0＜b＜33時(shí)，如圖5，線段FG在⊙O內(nèi)部，與⊙O無(wú)公共點(diǎn)，
此時(shí)⊙O上的點(diǎn)到線段FG的最小距離為1?3b，最大距離為1+3b，
∵線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，
∴1+3b≥2（1?3b），
解得b≥39，
∴b的取值范圍為39≤b＜33；
當(dāng)1≤3b≤6時(shí)，線段FG與⊙O有公共點(diǎn)，線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，
當(dāng)3b＞6時(shí)，如圖6，線段FG在⊙O的外部，與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)，
此時(shí)⊙O上的點(diǎn)到線段FG的最小距離為3b﹣1，最大距離為3b+1，
∵線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，
∴3b+1≥2（3b﹣1），
而3b+1≥2（3b﹣1）總成立，
∴3b＞6時(shí)，線段FG 與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，
綜上所述，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)的取值范圍是：b≥23；
（3）如圖3﹣1中，不妨設(shè)⊙K，⊙H的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，
兩圓的距離的最小值為2r﹣6，最大值為2r+6，
∵⊙H和⊙K都滿(mǎn)足限距關(guān)系，
∴2r+6≥2（2r﹣6），
解得r≤9，
故r的取值范圍為0＜r≤9．
20．（2023?長(zhǎng)沙四模）如圖，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BE，連接OE，過(guò)點(diǎn)A作AD∥OE交⊙O于點(diǎn)D，連接ED交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）直線CE與⊙O相切嗎？并說(shuō)明理由；
（2）若CA＝4，CD＝8，求DE的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）直線CE與⊙O相切，理由如下：
連接DO，
∵DO＝AO，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD∥OE，
∴∠OAD＝∠BOE，∠ODA＝∠DOE，
∴∠BOE＝∠DOE，
OE=OE∠BOE=∠DOEOB=OD，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE，
∵BE是⊙O的切線，
∴∠OBE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
所以直線CE與⊙O相切．
（2）連接DO，設(shè)DO＝AO＝x，
根據(jù)勾股定理，得x2+82＝（x+4）2，
解得x＝6，
∴DO＝AO＝6，
∴AD∥OE，
∴CAAO=CDDE，
∴46=8DE，
解得：DE＝12．
21．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，且點(diǎn)A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作EF∥BC．
（1）如圖1，求證：EF是⊙O的切線；
（2）如圖2，作射線BO交AC于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)I，交直線EF于點(diǎn)H，當(dāng)AG＝3，CG＝5時(shí)，求sin∠AHB的值．
【解答】（1，）證明：如圖1，連接AO，BO，CO，
∵點(diǎn)A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧的中點(diǎn)，
∴AB=AC，
∴AB＝AC，
∵BO＝CO，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AO⊥EF，
∵AO是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接AO，并延長(zhǎng)交BC于M，
∵AM⊥BC，AB＝AC，
∴BM＝MC，
∵EF∥BC，
∴∠MBO＝∠AHB，△AGH∽△CGB，
∴AHBC=AGCG=35，
∴AH2MB=35，
∴AHMB=65，
∵△AOH∽△MOB，
∴MOOA=BMAH=56，
∴MOOB=56，
∴sin∠MBO=MOOB=56
∴sin∠AHB＝sin∠MBO=56．
22．（2023?綏寧縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F、C在⊙O上且FC=BC，連接AC、AF，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若∠CAD＝30°，CD=3，求AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵FC=BC，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接BC，
∵∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2∠CAD＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴BC=12AB，
∵CD⊥AD，∠CAD＝30°，CD=3，
∴AC＝2CD＝23，
∴AB2?(12AB)2=(23)2，
∴AB＝4或AB＝﹣4（舍去），
∴OA＝2，
∴AC的長(zhǎng)=120π×2180=43π．
23．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：BC∥EF；
（2）求證：EF是⊙O的切線；
（3）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半徑和AD的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，
∴∠BEF＝∠CBE，
∴BC∥EF；
（2）證明：
連接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴CE=BE，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（3）解：如圖，設(shè)⊙O的半徑為x，則OE＝OB＝x，OF＝x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得：x＝15，
∴⊙O的半徑為15；
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴BEAE=BFEF=1020=12，
∴AE＝2BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即BE2+（2BE）2＝302，
解得：BE＝65，
∴AE＝125，
∵BC∥EF，
∴ABAF=ADAE，
即3040=AD125，
∴AD＝95．
24．（2023?漣源市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PC并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PC＝6，tanE=34，求BE的長(zhǎng)．
【解答】證明：（1）如圖，連接OC，
∵OD⊥AC，OD經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴OP垂直平分AC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△OAP和△COP中，
OA=OC∠AOP=∠COPOP=OP，
∴△OAP≌△COP（SAS），
∴∠OCP＝∠OAP，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線．
（2）連接BC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠ECB+∠BCO＝∠BCO+∠ACO，
∴∠ECB＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝∠ECB，
∵∠E＝∠E，
∴△ECB∽△EAC，
∴EC：EA＝EB：EC，
∴EC2＝EA?EB，
∵tanE=APAE=34，PA＝PA＝6，
∴AE＝8，PE=AP2+AE2=62+82=10，
∴EC＝PE＝PC＝4，
∴BE=168=2．
25．（2023?長(zhǎng)沙一模）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，連結(jié)AC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，過(guò)D作DE∥AC，交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是半圓O的切線．
（2）若OC＝3，CE＝2，求AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連結(jié)OD交AC于點(diǎn)F，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圓O的切線；
（2）解：∵OC＝3，CE＝2，
∴OE＝5，OD＝OC＝3，
在Rt△ODE中，DE=OE2?OD2=4，
∴csE=DEOE=45，
∵AC∥DE，
∴∠FCO＝∠E，
∴cs∠FCO=45，
∴FC=OC?cs∠FOC=125，
∵OD⊥AC，
∴AC=2FC=245．
26．（2023?衡山縣校級(jí)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD是⊙O的切線，BD⊥CD，DB的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABE＝2∠A；
（2）tanA=12，BD＝1，求BE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OC，如圖，
∵CD是的⊙O切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵BD⊥CD
∴∠D＝90°，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∴OC∥DE，
∴∠ABE＝∠COB，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠ABE＝2∠A；
（2）解：連接CE，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠E＝∠BCD，
在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD=tanA=12，
∴CD＝2BD＝2，
在Rt△CDE中，tanE=CDDE=tanA=12，
∴ED＝2CD＝4，
∴BE＝DE﹣BD＝4﹣1＝3．
27．（2023?鳳凰縣模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，∠BAC＝∠DAC，過(guò)點(diǎn)C作直線EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC．
（1）求證：EF是⊙O的切線．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAO＝30°，BC＝2，
∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴OB=12AB＝2，
∴BC的長(zhǎng)=60?π×2180=23π．

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