（湖南專用）中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺專題練——5三角形與四邊形（含答案詳解）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．245B．145C．16825D．33625
2．（2023?長沙一模）如圖，△ABC的兩條中線BE、CD交于點O，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．DEBC=12B．ADAB=AEAC
C．S△DOE：S△BOC＝1：2D．△ADE∽△ABC
3．（2023?長沙模擬）如圖，在正方形ABCD中，按如下步驟作圖：①連接AC，BD相交于A點O；②分別以點B，C為圓心、大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E；③連接OE交BC于點F；④連接AF交BO于點G．若AD=42，則OG的長度為（）
A．1B．2C．43D．2
4．（2023?長沙四模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若AC＝6，BD＝8，則菱形ABCD的面積為（）
A．18B．16C．20D．24
5．（2023?石峰區(qū)模擬）下列關(guān)于矩形的說法正確的是（）
A．對角線垂直B．四個角都是直角
C．有四條對稱軸D．四條邊相等
6．（2023?鳳凰縣模擬）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連接OH，∠CAD＝25°，則∠DHO的度數(shù)是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
7．（2023?鳳凰縣模擬）若一個多邊形的內(nèi)角和等于1800°，這個多邊形的邊數(shù)是（）
A．6B．8C．10D．12
8．（2023?衡山縣校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中一組菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，A3C3B3C2，A4C4B4C3，…按如圖方式放置，已知點A1（1，0），A2（3，0），A3（5，0），…，An（2n﹣1，0），點B1（0，1），B2（0，3），B3（0，5），…，Bn（0，2n﹣1），則菱形A5C5B5C4的面積為（）
A．5B．9C．52D．92
9．（2023?衡山縣校級一模）下列選項中能使?ABCD成為菱形的是（）
A．AB＝CDB．AB＝BCC．∠BAD＝90°D．AC＝BD
10．（2022?雁峰區(qū)校級模擬）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且|tanB?3|+（2csA?3）2＝0，則△ABC是（）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
11．（2022?邵陽縣模擬）如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點，點F在DE的延長線上，CF∥BA，若△ADE的面積為2，則四邊形BCFD的面積為（）
A．10B．8C．6D．4
12．（2022?岳麓區(qū)校級模擬）《中共中央國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)農(nóng)民增加收入若干政策的意見》中提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境，搞好村莊治理規(guī)劃和試點，節(jié)約農(nóng)村建設(shè)用地”．政策出臺后，湖南陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在（）
A．三條邊的垂直平分線的交點處
B．三個角的平分線的交點處
C．三角形三條高線的交點處
D．三角形三條中線的交點處
二．填空題（共9小題）
13．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，若AB＝13，AD＝12，則BC的長為．
14．（2023?漣源市一模）將一副三角尺按如圖的方式拼擺，則∠CED的度數(shù)為 °．
15．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝12，則菱形的面積等于．
16．（2023?天元區(qū)模擬）如圖，正五邊形ABCDE，DG平分正五邊形的外角∠EDF，連接BD，則∠BDG＝．
17．（2023?零陵區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、C的坐標(biāo)分別為A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），點E是BC的中點，點P為線段AD上的動點，若△BEP是以BE為腰的等腰三角形，則點P的坐標(biāo)為．
18．（2023?衡山縣校級一模）圖中是兩個全等的正五邊形，則∠α＝．
19．（2022?漣源市校級模擬）如圖，AD∥BC，要使△AOD≌△COB，添加的條件是（只填一個）．
20．（2022?湘潭縣校級模擬）如圖，△ABC中，DE垂直平分BC交AB于點D，交BC于點E．若AB＝8，AC＝6，則△ACD的周長是．
21．（2022?湘潭縣校級模擬）△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點，AD與BE交于點G，則S△AGES△BGD= ．
三．解答題（共9小題）
22．（2023?長沙模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，O是AC的中點，AD∥BC．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AC＝BD＝10，AD＝6，求四邊形ABCD的面積．
23．（2023?長沙模擬）定義：若兩個三角形中，有兩組邊對應(yīng)相等且其中一組等邊所對的角對應(yīng)相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個三角形為“融通三角形”，相等的邊所對的相等的角稱為“融通角”．
（1）①如圖1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一點，則△ACD與△BCD “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如圖2，△ABC與△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，則∠B+∠E＝．
（2）若互為“融通三角形”的兩個三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度數(shù)．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC＝4，∠CAB＝30°，∠B＝105°，∠D+∠B＝180°，且△ADC與△ABC是“融通三角形”，AD＞CD，求AD的長．
24．（2023?漣源市一模）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延長OA，OC到點E，F(xiàn)，使AE＝CF，依次連接B，F(xiàn)，D，E各點．
（1）求證：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC＝40°，當(dāng)四邊形BFDE是正方形時，求∠EBA的度數(shù)．
25．（2023?長沙模擬）如圖，將△ABC沿著直線BC向右平移，得到△DEF，點A，B，C的對應(yīng)點分別是點D，E，F(xiàn)，且點E是BC邊的中點．
（1）求證：AC與DE互相平分；
（2）連接AD，當(dāng)BA＝BC＝6，DF＝4時，求四邊形ABFD的面積．
26．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，連接BD交AC于點O，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E．
（1）求證：四邊形ABCD為菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的長．
27．（2023?衡山縣校級一模）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，EF與AD相交于點H．
（1）求證：AD⊥EF；
（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？說明理由．
28．（2023?長沙模擬）如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，滿足CD＝BA，過點C作CE∥AB，且CE＝BC，連接DE并延長，分別交AC，AB于點F，G．
（1）求證：△ABC≌△DCE；
（2）若BD＝12，AB＝8，求BC的長度．
29．（2022?隆回縣二模）如圖，AC與BD交于點O，OA＝OD，∠BAO＝∠CDO，點E為BC延長線上一點，過點E作EF∥CD，交BD的延長線于點F．
（1）求證：△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝4，BC＝6，CE＝2，求EF的長．
30．（2022?雨花區(qū)校級二模）已知△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠C=12，AB=5，點P是邊BC上一點（點P不與B、C重合），過點P作PD⊥AC，垂足為點D，過點B作BE⊥DP交直線DP于點E，連接AP，過點B作BF⊥AP，垂足為點F．
（1）如圖1，
①求DE的長；
②設(shè)PC＝x，BE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，延長BF交AC于M點，若BP＝mPC，求AMMC的值（用m表示）．
2023年湖南省中考數(shù)學(xué)沖刺專題練——5三角形與四邊形
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．（2023?長沙模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以點A為圓心、AC長為半徑作弧交BC于點D，再分別以點C，D為圓心、大于12CD的長為半徑作弧，兩弧交于點F，作射線AF交BC于點E．若AC＝6，AB＝8，連接AD，則△ABD的面積為（）
A．245B．145C．16825D．33625
【解答】解：由題意可得，
AF垂直平分CD交CD于點E，
∴AD＝AC，
∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC=AC2+BC2=62+82=10，
∵AB?AC2=BC?AE2，
∴8×62=10?AE2，
解得AE=245，
∵∠AEC＝90°，AC＝6，
∴CE=AC2?AE2=62?(245)2=185，
∴CD＝2CE=365，
∴BD＝BC﹣CD＝10?365=145，
∴△ABD的面積為BD?AE2=145×2452=16825，
故選：C．
2．（2023?長沙一模）如圖，△ABC的兩條中線BE、CD交于點O，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．DEBC=12B．ADAB=AEAC
C．S△DOE：S△BOC＝1：2D．△ADE∽△ABC
【解答】解：∵BE和CD是△ABC的中線，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∴DEBC=12，故A選項正確；
∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，故B選項正確；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOES△COB=（DEBC）2＝（12）2=14，故C選項錯誤；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故D選項正確；
故選：C．
3．（2023?長沙模擬）如圖，在正方形ABCD中，按如下步驟作圖：①連接AC，BD相交于A點O；②分別以點B，C為圓心、大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E；③連接OE交BC于點F；④連接AF交BO于點G．若AD=42，則OG的長度為（）
A．1B．2C．43D．2
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝42，∠BAD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∴BD=AD2+AB2=(42)2+(42)2=8，
∴OB＝OD＝4，
由作圖可知OE垂直平分線段BC，
∴BF＝CF，
∴OC＝OA，
∴OF∥AB，F(xiàn)O=12AB，
∴OGGB=OFAB=12，
∴OG=13OB=43．
故選：C．
4．（2023?長沙四模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若AC＝6，BD＝8，則菱形ABCD的面積為（）
A．18B．16C．20D．24
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面積=12×6×8＝24．
故選：D．
5．（2023?石峰區(qū)模擬）下列關(guān)于矩形的說法正確的是（）
A．對角線垂直B．四個角都是直角
C．有四條對稱軸D．四條邊相等
【解答】解：矩形的性質(zhì)有：對邊平行且相等，
對角相等且互相平分，
四個角都是直角，
既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，
故選：B．
6．（2023?鳳凰縣模擬）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連接OH，∠CAD＝25°，則∠DHO的度數(shù)是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°，
∵DH⊥AB，BO＝DO，
∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO=12BD＝DO，
∴∠DHO＝∠BDH＝25°，
故選：A．
7．（2023?鳳凰縣模擬）若一個多邊形的內(nèi)角和等于1800°，這個多邊形的邊數(shù)是（）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，
根據(jù)題意得（n﹣2）×180＝1800，
解得n＝12，
∴這個多邊形是12邊形．
故選：D．
8．（2023?衡山縣校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中一組菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，A3C3B3C2，A4C4B4C3，…按如圖方式放置，已知點A1（1，0），A2（3，0），A3（5，0），…，An（2n﹣1，0），點B1（0，1），B2（0，3），B3（0，5），…，Bn（0，2n﹣1），則菱形A5C5B5C4的面積為（）
A．5B．9C．52D．92
【解答】解：∵OC1=12+12=2，
∴C1C2=2×(32?2)=2，
C2C3=2×(52?22)=2，
根據(jù)此規(guī)律可得C4C5=2，
又∵A5（9，0），B5（0，9），
∴A5B5=92+92=92，
∴菱形A5C5B5C4的面積為12×2×92=9，
故選：B．
9．（2023?衡山縣校級一模）下列選項中能使?ABCD成為菱形的是（）
A．AB＝CDB．AB＝BCC．∠BAD＝90°D．AC＝BD
【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，故選項A不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，
∴?ABCD為菱形，故選項B符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝90°，
∴?ABCD為矩形，故選項C不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，
∴?ABCD為矩形，故選項D不符合題意；
故選：B．
10．（2022?雁峰區(qū)校級模擬）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且|tanB?3|+（2csA?3）2＝0，則△ABC是（）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：∵|tanB?3|+（2csA?3）2＝0，
∴tanB?3=0且2csA?3=0，
∴tanB=3，csA=32，
∴∠B＝60°，∠A＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故選：C．
11．（2022?邵陽縣模擬）如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點，點F在DE的延長線上，CF∥BA，若△ADE的面積為2，則四邊形BCFD的面積為（）
A．10B．8C．6D．4
【解答】解：∵點E是AC的中點，
∴AE＝CE．
∵CF∥BA，
∴DEEF=AECE=1．
∴DE＝EF．
∴S△ADE＝S△CEF．
∴S四邊形BCFD＝S△ABC．
∵點D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=12BC．
∴△ADE∽△ABC．
∴S△ADES△ABC=（DEBC）2=14．
∴S△ABC＝4S△ADE＝8．
∴S四邊形BCFD＝S△ABC＝8．
故選：B．
12．（2022?岳麓區(qū)校級模擬）《中共中央國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)農(nóng)民增加收入若干政策的意見》中提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境，搞好村莊治理規(guī)劃和試點，節(jié)約農(nóng)村建設(shè)用地”．政策出臺后，湖南陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在（）
A．三條邊的垂直平分線的交點處
B．三個角的平分線的交點處
C．三角形三條高線的交點處
D．三角形三條中線的交點處
【解答】解：∵電動車充電樁到三個出口的距離都相等，
∴充電樁應(yīng)該在三條邊的垂直平分線的交點處，
故選：A．
二．填空題（共9小題）
13．（2023?岳陽樓區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，若AB＝13，AD＝12，則BC的長為 10 ．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵AB＝13，AD＝12，
∴BD=AB2?AD2=5，
∴BC＝2BD＝10．
故答案為：10．
14．（2023?漣源市一模）將一副三角尺按如圖的方式拼擺，則∠CED的度數(shù)為 105 °．
【解答】解：∵一副三角尺按如圖的方式拼擺，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DAB＝30°，∠D＝60°，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CED＝∠CBD+∠BDE＝45°+60°＝105°．
故答案為：105．
15．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝12，則菱形的面積等于 96 ．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝12，
∴OB＝OD＝6，
在Rt△AOB中，AO=AB2?OB2=102?62=8，
∴AC＝2OA＝16，
∴菱形的面積為：12×16×12=96，
故答案為：96．
16．（2023?天元區(qū)模擬）如圖，正五邊形ABCDE，DG平分正五邊形的外角∠EDF，連接BD，則∠BDG＝ 108° ．
【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC＝CD，∠C＝∠CDE，∠EDF=360°5=72°，
∴∠C＝∠CDE＝180°﹣∠EDF＝108°，
∵DG平分∠EDF，
∴∠FDG=12∠EDF＝36°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD=12（180°﹣∠C）＝36°，
∴∠BDG＝180°﹣∠CDB﹣∠FDG＝108°，
故答案為：108°．
17．（2023?零陵區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、C的坐標(biāo)分別為A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），點E是BC的中點，點P為線段AD上的動點，若△BEP是以BE為腰的等腰三角形，則點P的坐標(biāo)為（1，4）或（6，4）或（0，4）．
【解答】解：如圖，作EH⊥AD于H．
由題意BE＝5，OA＝4，OE＝3，
當(dāng)EP＝EB＝5時，可得P″（0，4），P′（6，4），（HA＝HP′＝3），
當(dāng)BP＝BE＝5時，P（1，4），
綜上所述，滿足條件的點P坐標(biāo)為（1，4）或（0，4）或（6，4）．
18．（2023?衡山縣校級一模）圖中是兩個全等的正五邊形，則∠α＝ 108° ．
【解答】解：
∵圖中是兩個全等的正五邊形，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵圖中是兩個全等的正五邊形，
∴正五邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是(5?2)×180°5=108°，
∴∠BCD＝∠BDC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠α＝360°﹣36°﹣108°﹣108°＝108°，
故答案為：108°．
19．（2022?漣源市校級模擬）如圖，AD∥BC，要使△AOD≌△COB，添加的條件是 AD＝BC（答案不唯一）（只填一個）．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，
∴當(dāng)AD＝BC時，由ASA可判定△AOD≌△COB；
當(dāng)AO＝CO時，由AAS可判定△AOD≌△COB；
當(dāng)OD＝OB時，由ASA可判定△AOD≌△COB；
當(dāng)點O是AC的中點時，由AAS可判定△AOD≌△COB；
當(dāng)點O是BD的中點時，由AAS可判定△AOD≌△COB；
故答案為：AD＝BC（答案不唯一）．
20．（2022?湘潭縣校級模擬）如圖，△ABC中，DE垂直平分BC交AB于點D，交BC于點E．若AB＝8，AC＝6，則△ACD的周長是 14 ．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周長＝AD+DC+AC
＝AD+DB+AC
＝AB+AC
＝8+6
＝14，
故答案為：14．
21．（2022?湘潭縣校級模擬）△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點，AD與BE交于點G，則S△AGES△BGD= 1 ．
【解答】解：設(shè)△BDG的面積為S，
∵D是BC的中點，E是AC的中點，
∴G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∴△ABG的面積為2S，
∴△ABD的面積為3S，
∵D是BC的中點，
∴△ACD的面積為3S，
∴△ABC的面積為6S，
∵E是AC的中點，
∴△ABE的面積為3S，
∴△AGE的面積為S，
∴S△AGES△BGD=1，
故答案為：1．
三．解答題（共9小題）
22．（2023?長沙模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，O是AC的中點，AD∥BC．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AC＝BD＝10，AD＝6，求四邊形ABCD的面積．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵O是AC的中點，
∴OA＝OC，
在△AOD和△COB中，
∵∠ADO=∠CBO∠AOD=∠COBOA=OC，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：由（1）得：四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC＝BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形．
∴∠DAB＝90°．
在直角△DAB中，BD＝10，AD＝6，由勾股定理知：AB=BD2?AD2=102?62=8．
則S四邊形ABCD＝AD?AB＝48．
即四邊形ABCD的面積是48．
23．（2023?長沙模擬）定義：若兩個三角形中，有兩組邊對應(yīng)相等且其中一組等邊所對的角對應(yīng)相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個三角形為“融通三角形”，相等的邊所對的相等的角稱為“融通角”．
（1）①如圖1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一點，則△ACD與△BCD 是 “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如圖2，△ABC與△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，則∠B+∠E＝ 180° ．
（2）若互為“融通三角形”的兩個三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度數(shù)．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC＝4，∠CAB＝30°，∠B＝105°，∠D+∠B＝180°，且△ADC與△ABC是“融通三角形”，AD＞CD，求AD的長．
【解答】解：（1）①∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B．
又∵DC＝DC，
∴△ACD與△BCD是“融通三角形”，
故答案為：是；
②如圖，在線段DE上取點G，使DG＝AB，連接FG．
由題意可知在△ABC和△DGF中，
AB=DG∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案為：180°；
（2）由題意可知，AB＝BC，DE＝DF，
在線段DE上取點G，使DG＝AB，連接FG．
由（1）可知△ABC≌△DGF，
∴BC＝GF，∠ABC＝∠DGF，AB＝DG，
∴DF＝DG，
∴∠D＝∠DFG，
設(shè)∠D＝∠DFG＝x，
∴∠FGE＝∠D+∠DFG＝2x，
∵BC＝EF＝GF，
∴∠E＝∠FGE＝2x，
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝2x，
∵∠D+∠DFE+∠E＝180°，
∴x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°，
∴“融通角”是36°．
故答案為：36°；
（3）分兩種情況：①當(dāng)BC＝CD時，如圖4，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合題意，
∴AD＝AC＝4；
②當(dāng)AB＝CD時，
如圖5，過點D作DE⊥AC于點E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合題意．
設(shè)CE＝x，則AE＝DE=3x，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+3x，
∴x＝23?2，
∴AE＝DE=3×（23?2）＝6﹣23，
∴AD=2AE=2×（6﹣23）＝62?26．
綜上可知AD的值為4或62?26．
24．（2023?漣源市一模）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延長OA，OC到點E，F(xiàn)，使AE＝CF，依次連接B，F(xiàn)，D，E各點．
（1）求證：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC＝40°，當(dāng)四邊形BFDE是正方形時，求∠EBA的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BCA，
即∠BAE＝∠BCF，
在△BAE和△BCF中，
AC=CB∠BAE=∠BCFAE=CF，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABO=12∠ABC＝20°，
∵四邊形BFDE是正方形，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EBA＝25°．
25．（2023?長沙模擬）如圖，將△ABC沿著直線BC向右平移，得到△DEF，點A，B，C的對應(yīng)點分別是點D，E，F(xiàn)，且點E是BC邊的中點．
（1）求證：AC與DE互相平分；
（2）連接AD，當(dāng)BA＝BC＝6，DF＝4時，求四邊形ABFD的面積．
【解答】（1）證明：如圖1，連接AE、CD，
由平移的性質(zhì)得：AD∥BC，AD＝BE，
∵點E是BC邊的中點，
∴BE＝CE，
∴AD＝CE，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AC與DE互相平分；
（2）解：由平移的性質(zhì)得：AD＝CF，AD∥CF，
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∴AC＝DF，
如圖2，過A作AM⊥BC于點M，
設(shè)CM＝x，則BM＝6﹣x，
在Rt△ABM和Rt△ACM中，AM2＝AB2﹣BM2＝62﹣（6﹣x）2，AM2＝AC2﹣CM2＝42﹣x2，
∴62﹣（6﹣x）2＝42﹣x2，
解得：x=43，
∴AM=42?(43)2=823，
∵CF＝AD＝BE=12BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝9，
∴S梯形ABFD=12（AD+BF）?AM=12×（3+9）×823=162．
26．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，連接BD交AC于點O，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E．
（1）求證：四邊形ABCD為菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的長．
【解答】（1）證明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴?ABCD是菱形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB=OA2+OB2=42+32=5，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB?CE=12AC?BD，
即5CE=12×8×6，
解得：CE=245，
即CE的長為245．
27．（2023?衡山縣校級一模）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，EF與AD相交于點H．
（1）求證：AD⊥EF；
（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？說明理由．
【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△AED與△AFD中，
∠EAD=∠FAD∠AED=∠AFDAD=AD，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∴AD⊥EF；
（2）解：△ABC滿足∠BAC＝90°時，四邊形AEDF是正方形，
理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∵EF⊥AD，
∴矩形AEDF是正方形．
28．（2023?長沙模擬）如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，滿足CD＝BA，過點C作CE∥AB，且CE＝BC，連接DE并延長，分別交AC，AB于點F，G．
（1）求證：△ABC≌△DCE；
（2）若BD＝12，AB＝8，求BC的長度．
【解答】（1）證明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠ECD，
在△ABC與△DCE中，
AB=CD∠B=∠ECDBC=CE，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴AB＝CD＝8，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣8＝4．
29．（2022?隆回縣二模）如圖，AC與BD交于點O，OA＝OD，∠BAO＝∠CDO，點E為BC延長線上一點，過點E作EF∥CD，交BD的延長線于點F．
（1）求證：△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝4，BC＝6，CE＝2，求EF的長．
【解答】（1）證明：在△AOB和△DOC中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOOA=OD，
∴△AOB≌△DOC（AAS）；
（2）解：∵△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD＝4．
∵EF∥CD，
∴CDEF=BCBE，
∴4EF=66+2，
∴EF=163．
30．（2022?雨花區(qū)校級二模）已知△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠C=12，AB=5，點P是邊BC上一點（點P不與B、C重合），過點P作PD⊥AC，垂足為點D，過點B作BE⊥DP交直線DP于點E，連接AP，過點B作BF⊥AP，垂足為點F．
（1）如圖1，
①求DE的長；
②設(shè)PC＝x，BE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，延長BF交AC于M點，若BP＝mPC，求AMMC的值（用m表示）．
【解答】解：（1）①作BM⊥AC于M，如圖1所示：
則BM＝ED，
∵△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠C=12=ABBC，AB=5，
∴BC＝2AB＝25，
∴AC2＝BC2+AB2＝（25）2+（5）2＝25，
∴AC＝5，
∵12AC×BM=12AB×BC，
∴ED＝BM=AB×BCAC=5×255=2，
②∵tan∠C=12=PDCD，
∴CD＝2PD，sinC=PDPC=ABAC，
∴PDx=55，
∴PD=55x，
∴CD＝2PD=255x，PE＝ED﹣PD＝2?55x，
∵BE⊥DP，PD⊥AC，
∴BE∥AC，
∴∠PBE＝∠C，tan∠PBE＝tan∠C=12，
∴BEPE=2，
∴BE＝2PE，即y＝2（2?55x），
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝4?255x（0＜x＜25）；
（2）過點B作BG⊥AC交AC于點G，如圖所示，
根據(jù)（1）可知，BG＝2，AB=5，
∴AG＝1，
∵BP＝mPC，BP+PC＝25，
∴mPC+PC＝25，
解得：PC=25m+1，
∵tan∠C=12，
∴CD＝2PD，
∵PD2+CD2＝PC2，
∴PD2+（2PD）2=(25m+1)2，
解得：PD=2m+1或PD=?2m+1（舍去），
∴CD=4m+1，
∵AC＝5，
∴AD＝5﹣CD＝5?4m+1=5m+1m+1，
∵∠BFO＝∠AGO＝90°，∠BOF＝∠AOG，
∴△BOF∽△AOG，
∴∠OBF＝∠OAG，
∴tan∠OBF＝tan∠OAG=PDAD=2m+15m+1m+1=25m+1，
∴tan∠GBM=GMBG=25m+1，
∴GM=25m+1BG=45m+1，
∴AM＝AG+GM＝1+45m+1=5m+55m+1，
∴CM＝AC﹣AM＝5?5m+55m+1=20m5m+1，
∴AMMC=m+14m．

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