1．（2023?石峰區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+cx+c和一次函數(shù)y＝ax+c，則這兩個(gè)函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023?鳳凰縣模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論①abc＜0；②3a+b＞?13c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正確的是（ ）
A．①③④B．①②④C．①④D．②③④
3．（2023?岳陽樓區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線y＝ax2﹣2amx+am2+4與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），當(dāng)1≤m≤4時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為﹣3，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為（ ）
A．﹣3B．1C．5D．8
4．（2023?綏寧縣模擬）若一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023?岳陽縣一模）已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2），若關(guān)于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＜0）的實(shí)數(shù)根為a，β，且a＜β，則下列不等式正確的是（ ）
A．a(chǎn)＜1，β＜2B．1＜a＜β＜2C．1＜a＜2＜βD．a(chǎn)＜1＜β＜2
6．（2023?綏寧縣模擬）若y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的另一個(gè)解為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
7．（2023?綏寧縣模擬）如圖所示的拋物線是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，則下列結(jié)論：
①abc＞0；②b+2a＝0；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
8．（2022?零陵區(qū)模擬）將拋物線y＝2x2﹣1向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣4B．y＝（x+2）2﹣4
C．y＝2（x﹣2）2﹣4D．y＝2（x﹣2）2﹣3
9．（2022?開福區(qū)校級(jí)三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），與y軸交于（0，2），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，根據(jù)以上信息，甲、乙、丙三人的說法正確的是（ ）
甲：a+c＝b，2a﹣b＝0；
乙：方程ax2+bx+c＝0的解為﹣1和3；
丙：c﹣a＞2．
A．甲錯(cuò)，乙對(duì)B．甲和乙都錯(cuò)
C．乙對(duì)，丙錯(cuò)D．甲、乙、丙都對(duì)
10．（2022?株洲模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），C（﹣4，y1），且點(diǎn)D（x2，y2）是拋物線上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
①b﹣2a＝0；
②函數(shù)y＝ax2+bx+c的最小值為﹣4a；
③若y2＞y1，則x2＜﹣1；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根為1和?13．
A．l個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
11．（2022?岳陽模擬）定義：我們將某函數(shù)圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，從而形成新圖象的過程稱為“非正變換”．已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的圖象如圖所示，則將其進(jìn)行“非正變換”后得到的圖象與直線y＝x+m有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的范圍是（ ）
A．?134＜m＜﹣1B．?134＜m＜3C．?114＜m＜﹣1D．?114＜m＜3
12．（2022?株洲模擬）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax上的點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，則y1＝y(tǒng)2B．若y1＝y(tǒng)2，則x1＝x2
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＞y2D．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＜y2
13．（2022?零陵區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為﹣1＜x＜3；③8a+c＜0；④a+b≤m（am+b）（m為實(shí)數(shù)），其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空題（共5小題）
14．（2023?綏寧縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝（m+2）x2﹣3x+m開口向下，那么m的取值范圍是 ．
15．（2023?綏寧縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2﹣2x﹣3向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
16．（2023?岳陽縣一模）二次函數(shù)y＝（x+4）2+6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
17．（2023?鳳凰縣模擬）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=p(p?a)(p?b)(p?c)．這個(gè)公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為 ．
18．（2023?鳳凰縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2經(jīng)過平移得到拋物線y＝﹣x2﹣4x，其對(duì)稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為 ．
三．解答題（共9小題）
19．（2023?零陵區(qū)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）的對(duì)稱軸為x＝1，且過點(diǎn)（1，12）．點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直線AB的解析式為y＝﹣x+c，直線AB與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)直線AB與拋物線y＝ax2+bx只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)t≤x≤t+1時(shí)，是否存在t的值，使函數(shù)y＝ax2+bx的最大值為14，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
20．（2023?長沙模擬）如圖，拋物線y=12x2?32x?2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．直線l與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （3，﹣2）．
（1）請(qǐng)直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作直線PM⊥x軸，垂足為M，PM與直線l交于點(diǎn)N，當(dāng)P，M，N其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是對(duì)稱軸上的點(diǎn)，且△ADQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
21．（2023?長沙四模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2ax+c與x軸交于A，B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求△ABC外接圓半徑；
（3）如圖2，C與△ABC的外心所在的直線交拋物線于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B、C重合），作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交直線CE于點(diǎn)N，直線CE交x軸于點(diǎn)H，連接BP，是否存在點(diǎn)P，使△BPM與△MNH相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
22．（2023?長沙四模）自國家發(fā)布新冠防疫政策新十條政策以來，核酸自測抗原檢測試劑盒需求量上升，價(jià)格急劇上漲，據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某品牌抗原檢測試劑盒經(jīng)過連續(xù)兩次價(jià)格的上調(diào)，由每盒60元漲到了每盒101.4元．
（1）求出這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率；
（2）在政府有關(guān)部門大力調(diào)控下，該品牌抗原檢測試劑盒的價(jià)格下調(diào)回到了每盒80元，在線上平臺(tái)發(fā)售時(shí)發(fā)現(xiàn)，定價(jià)為每盒80元時(shí)，該品牌一天可以賣出300盒，每降價(jià)5元，一天可以多賣出50盒．當(dāng)銷售額為每日3萬元時(shí)，要讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應(yīng)該降價(jià)多少元？
（3）在（2）的條件下，該品牌抗原檢測試劑盒成本為每盒40元，在降價(jià)的情況下，定價(jià)多少時(shí)每日利潤最大？
23．（2023?綏寧縣模擬）為滿足市場需求，某服裝超市在六月初購進(jìn)一款短袖T恤衫，每件進(jìn)價(jià)是80元；超市規(guī)定每件售價(jià)不得少于90元，根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)定為90元時(shí)，每周可賣出600件，一件T恤衫售價(jià)每提高1元，每周要少賣出10件．若設(shè)售價(jià)為x（x≥90）元，每周所獲利潤為Q（元），請(qǐng)解答下列問題：
（1）每周短袖T恤衫銷量為y（件），則y＝ （含x的代數(shù)式表示），并寫出Q與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)售價(jià)x定為 元時(shí)，該服裝超市所獲利潤最大，最大利潤為 元；
（3）該服裝超市每周想從這款T恤衫銷售中獲利8500元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給這款T恤衫定價(jià)？
24．（2023?綏寧縣模擬）如圖，一次函數(shù)y=12x+2與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B，其對(duì)稱軸為直線x=?32．
（1）求該二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）在y軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)M、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
25．（2023?岳陽縣一模）如圖，拋物線y=12x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是拋物線BC段上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PBC面積的最大值；
（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
26．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝﹣x2﹣ax﹣3a+9與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)a＝2，求AB的長；
（2）若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值；
（3）如圖2，當(dāng)a＜2時(shí)，在第一象限的拋物線上有一點(diǎn)M（1，m），直線AM交y軸于點(diǎn)P，直線BM交y軸于點(diǎn)Q，OP?OQ＝12，求a的值．
27．（2023?漣源市一模）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸為直線x＝1，且AB＝4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接CD．求證：CD⊥BC；
（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2023年湖南省中考數(shù)學(xué)沖刺專題練——4二次函數(shù)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共13小題）
1．（2023?石峰區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+cx+c和一次函數(shù)y＝ax+c，則這兩個(gè)函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．圖象中二次函數(shù)a＞0，c＜0，一次函數(shù)a＞0，c＞0，故A不符合題意．
B．圖象中二次函數(shù)a＞0，c＞0，又對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則?c2a＞0，得出c＜0，矛盾，故B不符合題意．
C．圖象中二次函數(shù)a＜0，c＞0，一次函數(shù)a＜0，c＞0，故C符合題意．
D．圖象中二次函數(shù)a＜0，c＜0，又對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則?c2a＞0，得出c＞0，矛盾，故D不符合題意．
故選：C．
2．（2023?鳳凰縣模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論①abc＜0；②3a+b＞?13c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正確的是（ ）
A．①③④B．①②④C．①④D．②③④
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對(duì)稱軸是直線x＝1，
∴?b2a=1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在正半軸，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正確；
由圖象可知，拋物線與x軸左側(cè)的交點(diǎn)在（﹣1，0）的右側(cè)，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，
∴拋物線與x軸右側(cè)的交點(diǎn)在（3，0）的左側(cè)，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴3a+b＜?13c，
故②錯(cuò)誤；
∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，
∴?92b+3b+c＜0，
∴2c＜3b，
故③正確；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c是函數(shù)的最大值，
∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，
∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，
∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，
故④正確；
∴正確的有①③④，
故選：A．
3．（2023?岳陽樓區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線y＝ax2﹣2amx+am2+4與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），當(dāng)1≤m≤4時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為﹣3，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為（ ）
A．﹣3B．1C．5D．8
【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣2amx+am2+4
∴對(duì)稱軸為x=??2am2a=m，
∵當(dāng)1≤m≤4時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為﹣3，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣3，
∴0＝a（﹣3）2﹣2×（﹣3）a+a+4，解得a=?14，
∴當(dāng)m＝4時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大，
∴?14x2?2×(?14)×4x?14×42+4=0，
∴x1＝0，x2＝8，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為8．
故選：D．
4．（2023?綏寧縣模擬）若一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx的開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，
故選：C．
5．（2023?岳陽縣一模）已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2），若關(guān)于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＜0）的實(shí)數(shù)根為a，β，且a＜β，則下列不等式正確的是（ ）
A．a(chǎn)＜1，β＜2B．1＜a＜β＜2C．1＜a＜2＜βD．a(chǎn)＜1＜β＜2
【解答】解：y′＝（x﹣1）（x﹣2）﹣m，相當(dāng)于拋物線y＝（x﹣1）（x﹣2）向上平移了m個(gè)單位，
則α、β在x＝1和x＝2之間，
故選：B．
6．（2023?綏寧縣模擬）若y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的另一個(gè)解為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：∵根據(jù)圖示知，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0）對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴根據(jù)對(duì)稱性，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為（﹣1，0），
∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．
即方程的另一解為﹣1．
故選：B．
7．（2023?綏寧縣模擬）如圖所示的拋物線是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，則下列結(jié)論：
①abc＞0；②b+2a＝0；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
【解答】解：∵開口向上，
∴a＞0，
∵與y軸交于負(fù)半軸，
∴c＜0，
∵對(duì)稱軸x=?b2a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0；
故①正確；
∵對(duì)稱軸x=?b2a=1，
∴b+2a＝0；
故②正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣2，0），對(duì)稱軸為：x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）；
故③正確；
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
故④錯(cuò)誤；
∵a﹣b+c＜0，b+2a＝0，
∴3a+c＜0；
故⑤正確．
故選：B．
8．（2022?零陵區(qū)模擬）將拋物線y＝2x2﹣1向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣4B．y＝（x+2）2﹣4
C．y＝2（x﹣2）2﹣4D．y＝2（x﹣2）2﹣3
【解答】解：將拋物線y＝2x2﹣1向左平移2個(gè)單位長度所得拋物線解析式為：y＝2（x+2）2﹣1；
再向下平移3個(gè)單位為：y＝2（x+2）2﹣1﹣3，即y＝2（x+2）2﹣4．
故選：A．
9．（2022?開福區(qū)校級(jí)三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），與y軸交于（0，2），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，根據(jù)以上信息，甲、乙、丙三人的說法正確的是（ ）
甲：a+c＝b，2a﹣b＝0；
乙：方程ax2+bx+c＝0的解為﹣1和3；
丙：c﹣a＞2．
A．甲錯(cuò)，乙對(duì)B．甲和乙都錯(cuò)
C．乙對(duì)，丙錯(cuò)D．甲、乙、丙都對(duì)
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，
∴b＝﹣2a，甲錯(cuò)誤．
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，拋物線經(jīng)過（﹣1，0），
∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解為﹣1和3，乙正確．
∵拋物線與y軸交于（0，2），
∴c＝2，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴c﹣a＞2，丙正確．
故選：A．
10．（2022?株洲模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），C（﹣4，y1），且點(diǎn)D（x2，y2）是拋物線上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
①b﹣2a＝0；
②函數(shù)y＝ax2+bx+c的最小值為﹣4a；
③若y2＞y1，則x2＜﹣1；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根為1和?13．
A．l個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過A（﹣3，0）．B（1，0），
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=?b2a=?1，
∴b＝2a，即b﹣2a＝0，①正確．
∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A（﹣3，0）．B（1，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣1），
將x＝﹣1代入y＝a（x+3）（x﹣1）得y＝﹣4a，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4a），
∵拋物線開口向上，
∴函數(shù)最小值為﹣4a，②正確．
∵C（﹣4，y1），
∴點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為C'（2，y1），
∵y2＞y1，
∴x＜﹣4或x＞2，③錯(cuò)誤．
∵y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∴cx2+bx+a＝﹣3ax2+2ax+a＝a（﹣3x﹣1）（x﹣1）＝0，
∴方程cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根為1和?13．④正確．
故選：C．
11．（2022?岳陽模擬）定義：我們將某函數(shù)圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，從而形成新圖象的過程稱為“非正變換”．已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的圖象如圖所示，則將其進(jìn)行“非正變換”后得到的圖象與直線y＝x+m有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的范圍是（ ）
A．?134＜m＜﹣1B．?134＜m＜3C．?114＜m＜﹣1D．?114＜m＜3
【解答】解：如圖所示，
將y＝0代入二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3，可得x1＝1，x2＝﹣3，
當(dāng)直線y＝x+m與這個(gè)新圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
將x＝1，y＝0代入直線y＝x+m，得
0＝1+m，
解得m＝﹣1，
當(dāng)﹣3＜x＜1時(shí)，對(duì)應(yīng)的新函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3，
∴y=x2+2x?3y=x+m，
則x2+2x﹣3＝x+m可化為x2+x﹣3﹣m＝0，
當(dāng)x2+x﹣3﹣m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，
Δ＝12﹣4×1×（﹣3﹣m）＝4m+13＝0，
解得m=?134，
故當(dāng)?134＜m＜﹣1時(shí)，直線y＝x+m與這個(gè)新圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
故選：A．
12．（2022?株洲模擬）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax上的點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，則y1＝y(tǒng)2B．若y1＝y(tǒng)2，則x1＝x2
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＞y2D．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＜y2
【解答】解：由y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a知，該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
A、若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，則y1＝y(tǒng)2，此選項(xiàng)說法正確，符合題意；
B、若y1＝y(tǒng)2，則|x1﹣1|＝|x2﹣1|，此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、當(dāng)a＜0時(shí)，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＜y2，此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、當(dāng)a＞0時(shí)，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＞y2，此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：A．
13．（2022?零陵區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為﹣1＜x＜3；③8a+c＜0；④a+b≤m（am+b）（m為實(shí)數(shù)），其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正確．
∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴拋物線經(jīng)過（3，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集為﹣1＜x＜3．②正確．
∵拋物線經(jīng)過（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴8a+c＞0，③錯(cuò)誤；
∵當(dāng)x＝1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值最小，即a+b+c≤am2+bm+c（m為實(shí)數(shù)），
∴a+b≤am2+bm＝m（am+b），④正確；
故選：C．
二．填空題（共5小題）
14．（2023?綏寧縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝（m+2）x2﹣3x+m開口向下，那么m的取值范圍是 m＜﹣2 ．
【解答】解：∵拋物線y＝（m+2）x2﹣3x+m開口向下，
∴m+2＜0，
∴m＜﹣2．
故答案為：m＜﹣2．
15．（2023?綏寧縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2﹣2x﹣3向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （﹣1，5） ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣3向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后所得拋物線的解析式為y＝（x﹣1+2）2+2+3＝（x+1）2+5，
∴得到的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，5）．
故答案為：（﹣1，5）．
16．（2023?岳陽縣一模）二次函數(shù)y＝（x+4）2+6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （﹣4，6） ．
【解答】解：由二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝（x+4）2+6知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，6）．
故答案為：（﹣4，6）．
17．（2023?鳳凰縣模擬）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=p(p?a)(p?b)(p?c)．這個(gè)公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為 25 ．
【解答】解：∵p＝5，c＝4，p=a+b+c2．
∴a+b＝2p﹣c＝6．
∴S=5(5?a)(5?b)(5?4)=5?ab?5．
由a+b＝6，得b＝6﹣a，代入上式，得：S=5?a(6?a)?5=5??a2+6a?5．
設(shè)y＝﹣a2+6a﹣5，當(dāng)y＝﹣a2+6a﹣5取得最大值時(shí)，S也取得最大值．
∵y＝﹣a2+6a﹣5＝﹣（a﹣3）2+4．
∴當(dāng)a＝3時(shí)，y取得最大值4．
∴S的最大值為5×4=25．
故答案為：25．
18．（2023?鳳凰縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2經(jīng)過平移得到拋物線y＝﹣x2﹣4x，其對(duì)稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為 8 ．
【解答】解：如圖，∵y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，4），對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣x2＝﹣4，
∴平移后陰影部分的面積等于如圖矩形的面積，2×4＝8．
故答案為：8．
三．解答題（共9小題）
19．（2023?零陵區(qū)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）的對(duì)稱軸為x＝1，且過點(diǎn)（1，12）．點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直線AB的解析式為y＝﹣x+c，直線AB與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)直線AB與拋物線y＝ax2+bx只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)t≤x≤t+1時(shí)，是否存在t的值，使函數(shù)y＝ax2+bx的最大值為14，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx的對(duì)稱軸為x＝1，且過點(diǎn)（1，12），
∴?b2a=1a+b=12，
解得：a=?12b=1，
∴拋物線的解析式為y=?12x2+x；
（2）∵直線AB與拋物線y=?12x2+x只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程組y=?12x2+xy=?x+c有兩組相同的實(shí)數(shù)解，
即方程?12x2+x=?x+c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×12×c＝0，
∴c＝2，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+2，
令x＝0，則y＝2，
∴B（0，2）；
（3）存在t的值，使函數(shù)y＝ax2+bx的最大值為14，理由：
∵y=?12x2+x=?12(x?1)2+12，
∴函數(shù)y在x＝1時(shí)，有最大值12，
∵14＜12，
∴存在t的值，可使函數(shù)y＝ax2+bx的最大值為14，
①當(dāng)t+1＜1時(shí)，即t＜0時(shí)，
∵?12＜0，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝t+1時(shí)，函數(shù)有最大值，
∴?12(t+1)2+t+1=14，
解得：t=?22或t=22（不合題意，舍去），
∴t=?22時(shí)，函數(shù)y＝ax2+bx的最大值為14；
②當(dāng)t＞1時(shí)，
∵?12＜0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝t時(shí)，函數(shù)有最大值，
∴?12t2+t=14，
解得：t=2+22或t=2?22（不合題意，舍去），
∴t=2+22時(shí)，函數(shù)y＝ax2+bx的最大值為14．
綜上，存在t的值，使函數(shù)y＝ax2+bx的最大值為14，t的值為?22或2+22．
20．（2023?長沙模擬）如圖，拋物線y=12x2?32x?2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．直線l與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （3，﹣2）．
（1）請(qǐng)直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作直線PM⊥x軸，垂足為M，PM與直線l交于點(diǎn)N，當(dāng)P，M，N其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是對(duì)稱軸上的點(diǎn)，且△ADQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）在y=12x2?32x﹣2中，令y＝0得：
12x2?32x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0）；
設(shè)直線l的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
將A（﹣1，0），D（3，﹣2）代入得：
?k+b=03k+b=?2，
解得k=?12b=?12，
∴直線l的函數(shù)解析式為y=?12x?12；
（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，12m2?32m﹣2），N（m，?12m?12），M（m，0），
①若P為MN中點(diǎn)，則2（12m2?32m﹣2）=?12m?12+0，
解得m=72或m＝﹣1（三點(diǎn)重合，舍去），
∴P（72，?98）；
②若N為PM的中點(diǎn)，則2（?12m?12）=12m2?32m﹣2+0，
解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴P（2，﹣3）；
③若M為PN中點(diǎn)，則12m2?32m﹣2?12m?12=0，
解得m＝5或m＝﹣1（舍去），
∴P（5，3）；
綜上所述，P的坐標(biāo)為（72，?98）或（2，﹣3）或（5，3）；
（3）由y=12x2?32x﹣2得拋物線對(duì)稱軸為直線x=32，
設(shè)Q（32，t），
又A（﹣1，0），D（3，﹣2），
∴AQ2=254+t2，DQ2=94+（t+2）2，AD2＝20，
①若AQ為斜邊，則254+t2=94+（t+2）2+20，
解得t＝﹣5，
∴Q（32，﹣5）；
②若DQ為斜邊，則254+t2+20=94+（t+2）2，
解得t＝5，
∴Q（32，5）；
③若AD為斜邊，則254+t2+94+（t+2）2＝20，
解得t=?2+192或t=?2?192，
∴Q（32，?2+192）或（32，?2?192）；
綜上所述，Q的坐標(biāo)為（32，﹣5）或（32，5）或（32，?2+192）或（32，?2?192）．
21．（2023?長沙四模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2ax+c與x軸交于A，B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求△ABC外接圓半徑；
（3）如圖2，C與△ABC的外心所在的直線交拋物線于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B、C重合），作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交直線CE于點(diǎn)N，直線CE交x軸于點(diǎn)H，連接BP，是否存在點(diǎn)P，使△BPM與△MNH相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）在y＝ax2+2ax+c中，令x＝0得y＝c，
∴C（0，c），
∵OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0），B（1，0）代入y＝ax2+2ax+c得：
ac2?2ac+c=0a+2a+c=0，
解得a=?1c=3或a=13c=?1（舍去），
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）設(shè)點(diǎn)D是△ABC的外心，連接DA，DB，DC，如圖：
由y＝﹣x2﹣2x+3得C（0，3），
∵點(diǎn)D是△ABC的外心，
∴D在AB的垂直平分線上，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴D的橫坐標(biāo)為?3+12=?1，
設(shè)D（﹣1，t），
∵DB＝DC，
∴（﹣1﹣1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（t﹣3）2，
解得t＝1，
∴D（﹣1，1），
∴DB=(?1?1)2+(1?0)2=5，
∴△ABC外接圓半徑為5；
（3）存在點(diǎn)P，使△BPM與△MNH相似，理由如下：
如圖：
設(shè)直線DC解析式為y＝kx+3，將D（﹣1，1）代入得：
﹣k+3＝1，
解得k＝2，
∴直線DC解析式為y＝2x+3，
解y=2x+3y=?x2?2x+3得x=0y=3或x=?4y=?5，
∴E（﹣4，﹣5）；
由y＝2x+3得H（?32，0），
設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），則M（m，0），N（m，2m+3），
∴PM＝|﹣m2﹣2m+3|，BM＝|m﹣1|，MN＝|2m+3|，MH＝|m+32|，
∵∠BMP＝90°＝∠NMH，
∴要使△BPM與△MNH相似，只需PMMN=BMMH或PMMH=BMMN，
即|?m2?2m+3||2m+3|=|m?1||m+32|或|?m2?2m+3||m+32|=|m?1||2m+3|，
當(dāng)?m2?2m+32m+3=m?1m+32時(shí)，
解得m＝﹣5或m＝1（與B重合，舍去）或m=?32（增根，舍去），
∴P（﹣5，﹣12）；
當(dāng)?m2?2m+32m+3=?m?1m+32時(shí)，
解得m＝﹣1或m＝1（與B重合，舍去）或m=?32（增根，舍去），
∴P（﹣1，4）；
當(dāng)?m2?2m+3m+32=m?12m+3時(shí)，
解得m=?72或m＝1（與B重合，舍去）或m=?32（增根，舍去），
∴P（?72，?94），
當(dāng)當(dāng)?m2?2m+3m+32=?m?12m+3時(shí)，
解得m=?52或m＝1（與B重合，舍去）或m=?32（增根，舍去），
∴P（?52，74），
綜上所述，P的坐標(biāo)為（﹣5，﹣12）或（﹣1，4）或（?72，?94）或（?52，74）．
22．（2023?長沙四模）自國家發(fā)布新冠防疫政策新十條政策以來，核酸自測抗原檢測試劑盒需求量上升，價(jià)格急劇上漲，據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某品牌抗原檢測試劑盒經(jīng)過連續(xù)兩次價(jià)格的上調(diào)，由每盒60元漲到了每盒101.4元．
（1）求出這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率；
（2）在政府有關(guān)部門大力調(diào)控下，該品牌抗原檢測試劑盒的價(jià)格下調(diào)回到了每盒80元，在線上平臺(tái)發(fā)售時(shí)發(fā)現(xiàn)，定價(jià)為每盒80元時(shí)，該品牌一天可以賣出300盒，每降價(jià)5元，一天可以多賣出50盒．當(dāng)銷售額為每日3萬元時(shí)，要讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應(yīng)該降價(jià)多少元？
（3）在（2）的條件下，該品牌抗原檢測試劑盒成本為每盒40元，在降價(jià)的情況下，定價(jià)多少時(shí)每日利潤最大？
【解答】解：（1）設(shè)這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率為x，
依題意得：60（1+x）2＝101.4，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合題意，舍去）．
答：這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率為30%；
（2）設(shè)降價(jià)5m元，
則（80﹣5m）（300+50m）＝30000，
解得m＝4或m＝6，
∵讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，
∴m＝6，
∴5m＝5×6＝30，
答：應(yīng)該降價(jià)30元；
（3）設(shè)定價(jià)為每盒y元，每日利潤為w元，
根據(jù)題意得：w＝（y﹣40）（300+80?y5×50）
＝（y﹣40）（1100﹣10y）
＝﹣10y2+1500y﹣44000
＝﹣10（y﹣75）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴當(dāng)y＝75時(shí)，w有最大值，
答：定價(jià)為每盒75元時(shí)每日利潤最大．
23．（2023?綏寧縣模擬）為滿足市場需求，某服裝超市在六月初購進(jìn)一款短袖T恤衫，每件進(jìn)價(jià)是80元；超市規(guī)定每件售價(jià)不得少于90元，根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)定為90元時(shí)，每周可賣出600件，一件T恤衫售價(jià)每提高1元，每周要少賣出10件．若設(shè)售價(jià)為x（x≥90）元，每周所獲利潤為Q（元），請(qǐng)解答下列問題：
（1）每周短袖T恤衫銷量為y（件），則y＝ ﹣10x+1500 （含x的代數(shù)式表示），并寫出Q與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)售價(jià)x定為 115 元時(shí)，該服裝超市所獲利潤最大，最大利潤為 12250 元；
（3）該服裝超市每周想從這款T恤衫銷售中獲利8500元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給這款T恤衫定價(jià)？
【解答】解：（1）每周短袖T恤衫銷量為y＝600﹣10×（x﹣90）＝﹣10x+1500，
∴y＝﹣10x+1500，
故答案為：﹣10x+1500；
根據(jù)題意得：Q＝（x﹣80）y＝（x﹣80）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+2300x﹣120000，
∴Q與x的函數(shù)關(guān)系式為Q＝﹣10x2+2300x﹣120000；
（2）Q＝﹣10x2+2300x﹣120000＝﹣10（x﹣115）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴當(dāng)x＝115時(shí)，Q有最大值，最大值為12250，
故答案為：115，12250；
（3）當(dāng)Q＝8500時(shí)，﹣10（x﹣115）2+12250＝8500，
解得x1＝95，x2＝135，
∵盡量給客戶實(shí)惠，
∴x＝95．
答：這款T恤衫定價(jià)為95元/件．
24．（2023?綏寧縣模擬）如圖，一次函數(shù)y=12x+2與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B，其對(duì)稱軸為直線x=?32．
（1）求該二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）在y軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)M、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）對(duì)于y=12x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，即點(diǎn)C（0，2），
令y=12x+2＝0，則x＝﹣4，即點(diǎn)A（﹣4，0），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?32，則點(diǎn)B（1，0），
設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+4）＝a（x2+3x﹣4），
∵拋物線過點(diǎn)C（0，2），則﹣4a＝2，
解得：a=?12，
故拋物線的表達(dá)式為：y=?12x2?32x+2；
（2）存在，理由：
在Rt△AOC中，tan∠CAO=COOA=12，
∵以點(diǎn)M、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，∠AOC＝∠MOB＝90°，
∴∠MOB＝∠CAO或∠ACO，
∴tan∠MOB＝tan∠CAO或tan∠ACO=12或2，
即OMBO=OM1=2或12，
解得：OM=12或2，
即點(diǎn)M（0，2）或（0，12）；
（3）存在，理由：
設(shè)點(diǎn)P（?32，t），
由點(diǎn)A、C、P的坐標(biāo)得：PA2＝（?32+4）2+t2，AC2＝20，PC2=94+（t﹣2）2，
當(dāng)PA＝AC時(shí)，則（?32+4）2+t2＝20，
解得：t=±552，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（?32，552）或（?32，?552）；
當(dāng)PA＝PC時(shí)，則（?32+4）2+t2=94+（t﹣2）2，
解得：t＝0，
即點(diǎn)P（?32，0）；
當(dāng)AC＝PC時(shí)，則20=94+（t﹣2）2，
解得：t＝2±712，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（?32，2+712）或（?32，2?712）．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（?32，552）或（?32，?552）或（?32，0）或（?32，2+712）或（?32，2?712）．
25．（2023?岳陽縣一模）如圖，拋物線y=12x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是拋物線BC段上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PBC面積的最大值；
（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
當(dāng)y＝0時(shí)，12x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如圖1，
連接OP，
設(shè)點(diǎn)P（m，12m2?2m﹣6），
∴S△POC=12OC?xP=12×6?m=3m，
S△BOP=12OB?|yP|=3(?12m2+2m+6），
∵S△BOC=12OB?OC=12×6×6=18，
∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（?12m2+2m+6）﹣18
=?32（m﹣3）2+272，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△PBC最大=272，此時(shí)P（3，?152）；
方法二：如圖2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于點(diǎn)D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（12m2?2m﹣6）=?12m2+3m，
∴S△PBC=12PD?OB=12×6?(?12m2+3m)=?32（m﹣3）2+272，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△PBC最大=272，此時(shí)P（3，?152），
（3）如圖3，
當(dāng)?ACFE時(shí)，AE∥CF，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線：x=?2+62=2，
∴F1點(diǎn)的坐標(biāo)：（4，﹣6），
如圖4，
當(dāng)?ACEF時(shí)，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
當(dāng)y＝6時(shí)，12x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+27，x2＝2﹣27，
∴F2（2+27，6），F(xiàn)3（2﹣27，6），
綜上所述：F（4，﹣6）或（2+27，6）或（2﹣27，6）．
26．（2023?石峰區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝﹣x2﹣ax﹣3a+9與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)a＝2，求AB的長；
（2）若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值；
（3）如圖2，當(dāng)a＜2時(shí)，在第一象限的拋物線上有一點(diǎn)M（1，m），直線AM交y軸于點(diǎn)P，直線BM交y軸于點(diǎn)Q，OP?OQ＝12，求a的值．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝2，y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，即﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4；
（2）∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣ax﹣3a+9，且函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
令y＝0，得到﹣x2﹣ax﹣3a+9＝0，
整理得：x2+ax+3a﹣9＝0，
∴Δ＝a2﹣4×1×（3a﹣9）＝0，
∴a2﹣12a+36＝0，
∴（a﹣6）2＝0，
∴a＝6；
（3）∵y＝﹣x2﹣ax﹣3a+9，M（1，m），
設(shè)A（x1，0），B（x2，0），
設(shè)直線AM的解析式為：y＝kx+b，
∴kx1+b=0k+b=m，
∴k=m1?x1b=mx1x1?1，
∴P(0，mx1x1?1)，
設(shè)直線BM的解析式為：y＝ex+f，
∴ex2+f=0e+f=m，
∴e=m1?x2f=mx2x2?1，
∴Q(0，mx2x2?1)，
∵OP?OQ＝12，
∴mx1x1?1?mx2x2?1=12，
∵x1，x2是方程﹣x2﹣ax﹣3a+9＝0的兩個(gè)根，
∴x1x2＝3a﹣9，x1+x2＝﹣a，
∵M(jìn)（1，m）在拋物線上，
∴﹣1﹣a﹣3a+9＝m，
∴m＝8﹣4a，
∵mx1x1?1?mx2x2?1=12，
∴m2x1x2x1x2?(x1+x2)+1=12，
∴(8?4a)2(3a?9)3a?9?(?a)+1=12，
解得：a=5+52或a=5?52，
∵a＜2，
∴a=5?52．
27．（2023?漣源市一模）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸為直線x＝1，且AB＝4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接CD．求證：CD⊥BC；
（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，且AB＝4，
則A（﹣1，0）、B（3，0），
由題意得：a?2+c=09a+6+c=0，解得：a=?1c=3，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）證明：
如下圖，連接BD．
∵拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，
∴C（0，3），
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝4，
即點(diǎn)D（1，4），
∵B（3，0），
由點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)得：BC2＝OB2+OC2＝32+32＝18，
同理可得：CD2＝12+（4﹣3）2＝2，BD2＝（3﹣1）2+42＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD為直角三角形，
即CD⊥BC；
（3）解：
存在，理由：
設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，
∵B（3，0）、C（0，3），
∴3k+b=0b=3，解得：k=?1b=3．
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，
∵D（1，4），
設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣m+3），
當(dāng)CD是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：1＝x+m且3+4＝﹣m+3，
解得：m＝﹣4，x＝5，
則點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（5，0）、（﹣4，7），
經(jīng)驗(yàn)證：CD≠PQ，故此種情況不存在；
當(dāng)CP是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：x＝1+m且3＝﹣m+3+4，
解得：m＝4，x＝5，
則點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（5，0）、（4，﹣1），
經(jīng)驗(yàn)證：CP＝DQ，故此種情況存在；
當(dāng)CQ是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：x+1＝m且4＝﹣m+3+3，
解得：m＝2，x＝1，
則點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（1，0）、（2，1），
經(jīng)驗(yàn)證：CQ≠PD，故此種情況不存在；
∴點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（5，0）、（4，1）．

相關(guān)試卷

（湖南專用）中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺專題練——3一次函數(shù)與反比例函數(shù)（含答案詳解）：

這是一份（湖南專用）中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺專題練——3一次函數(shù)與反比例函數(shù)（含答案詳解），共34頁。試卷主要包含了m3等內(nèi)容，歡迎下載使用。

（湖南專用）中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺專題練——2方程和不等式（含答案詳解）：

這是一份（湖南專用）中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺專題練——2方程和不等式（含答案詳解），共18頁。

（湖南專用）中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺專題練——1數(shù)與式（含答案詳解）：

這是一份（湖南專用）中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺專題練——1數(shù)與式（含答案詳解），共12頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺考前沖刺練習(xí)專題09 二次函數(shù)（含解析）

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺考前沖刺練習(xí)專題09 二次函數(shù)（含解析）
（北京專用）2022年中考三輪沖刺數(shù)學(xué)必刷模擬卷4 含答案

（北京專用）2022年中考三輪沖刺數(shù)學(xué)必刷模擬卷4 含答案
2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題第三輪沖刺專題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的綜合練習(xí)(二)(含答案)

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題第三輪沖刺專題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的綜合練習(xí)(二)(含答案)
中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺：二次函數(shù)解答題專題復(fù)習(xí)

中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺：二次函數(shù)解答題專題復(fù)習(xí)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部