1.了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義,了解樣本相關系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關系.會通過相關系數(shù)比較成對數(shù)據(jù)的相關性.2.了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義,了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法.3.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預測.4.理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義,了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用.
1.變量的相關關系(1)兩個變量有關系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.(2)正相關、負相關從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值也呈現(xiàn)_______　　　　的趨勢,我們就稱這兩個變量正相關;當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值呈現(xiàn)　　　　的趨勢,則稱這兩個變量負相關.?
是一種非確定的關系,不是函數(shù)關系
(3)線性相關、非線性相關一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關,而且散點落在一條　　　　附近,我們就稱這兩個變量線性相關.?一般地,如果兩個變量具有相關性,但不是線性相關,那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.
微點撥由散點圖判斷兩個變量正相關、負相關的方法:當散點圖中的點散布在平面直角坐標系中從左下角到右上角的區(qū)域時,兩個變量正相關;當散點圖中的點散布在平面直角坐標系中從左上角到右下角的區(qū)域時,兩個變量負相關.
來衡量兩個變量間的線性相關關系.(1)當r>0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)　　　　;?當r|r2|
解析 由散點圖可知,樣本相關系數(shù)r1的圖象表示y與x負相關,故-10,故B錯誤;∵樣本相關系數(shù)r2的點較樣本相關系數(shù)r1的點密集,故|r2|>|r1|,故r1+r2>0,故C正確,D錯誤.故選AC.
考點二 回歸模型(多考向探究預測)
考向1一元線性回歸模型例2(2024·四川綿陽南山中學模擬)移動物聯(lián)網廣泛應用于生產制造、公共服務、個人消費等領域.截至2022年底,我國移動物聯(lián)網連接數(shù)達18.45億戶,成為全球主要經濟體中首個實現(xiàn)“物超人”的國家.下圖是2018~2022年移動物聯(lián)網連接數(shù)w(單位:億戶)與年份代碼t的散點圖,其中年份2018~2022對應的t分別為1~5.
(1)根據(jù)散點圖推斷兩個變量是否線性相關.計算樣本相關系數(shù)(精確到0.01),并推斷它們的相關程度;(2)求w關于t的經驗回歸方程,并預測2024年移動物聯(lián)網連接數(shù).
[對點訓練2](2024·青海西寧模擬)造林綠化對生態(tài)發(fā)展特別是在防風固沙、緩解溫室效應、凈化空氣、涵養(yǎng)水源等方面有著重要意義.某苗木培養(yǎng)基地為了對某種樹苗的高度偏差x(單位:cm)與樹干最大直徑偏差y(單位:mm)之間的關系進行分析,隨機挑選了8株該品種的樹苗,得到它們的偏差數(shù)據(jù)(偏差是指個別測定值與測定的平均值之差)如下:
(1)若x與y之間具有線性相關關系,求y關于x的經驗回歸方程;(2)若這種樹苗的平均高度為120 cm,樹干最大直徑平均為31.5 mm,試由(1)的結論預測高度為128 cm的這種樹苗的樹干最大直徑為多少毫米.
(2)當樹干高度為128 cm時,高度偏差x=128-120=8(cm),
即預測高度為128 cm的這種樹苗的樹干最大直徑為34毫米.
考向2非線性回歸模型例3(2024·云南昆明一中?？?《中共中央國務院關于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農業(yè)農村現(xiàn)代化的意見》,這是21世紀以來第18個指導“三農”工作的中央一號文件.文件指出,民族要復興,鄉(xiāng)村必振興,要大力推進數(shù)字鄉(xiāng)村建設,推進智慧農業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網直播平臺進行農產品銷售,眾多網紅主播參與到直播當中,在眾多網紅直播中,統(tǒng)計了10名網紅直播的觀看人次xi和農產品銷售量yi(i=1,2,3,…,10)的數(shù)據(jù),得到如圖所示的散點圖.
x和銷售量y的回歸方程類型;(只要給出判斷即可,不必說明理由)(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理,得到相關統(tǒng)計量的值如表:
解 (1)由散點圖可知,散點分布在一條對數(shù)型曲線附近,所以選擇回歸方程
[對點訓練3](2024·山西呂梁模擬)數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期,隨著車載音樂的商業(yè)化模式進一步完善,市場將持續(xù)擴大,下表為2018~2022年中國車載音樂市場規(guī)模(單位:十億元),其中年份2018~2022對應的代碼分別為1~5.
(1)由上表數(shù)據(jù)知,可用指數(shù)函數(shù)模型y=a·bx擬合y與x的關系,請建立y關于x的回歸方程(a,b的值精確到0.1);(2)綜合考慮2023年及2024年的經濟環(huán)境等因素,某預測公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關于x的回歸方程后,通過修正,把b-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率,請根據(jù)2022年中國車載音樂市場規(guī)模及修正后的年平均增長率預測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模.
(2)由(1)知2023年與2024年這兩年的年平均增長率為1.6-1.3=0.3,2022年中國車載音樂市場規(guī)模為170億元,故預測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模為17(1+0.3)2=28.73(十億元),即287.3億元.
考點三 列聯(lián)表與獨立性檢驗
例4(2024·四川宜賓模擬)為了解學生對黨的“二十大”精神的學習情況,學校開展了“二十大”相關知識的競賽活動,全校共有1 000名學生參加,其中男生450名,采用分層隨機抽樣的方法抽取100人,將他們的比賽成績(滿分為100分),分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.其中成績不低于80分為“優(yōu)秀”,低于80分為“非優(yōu)秀”.
(1)求實數(shù)a的值,并估算全校1 000名學生中成績優(yōu)秀的人數(shù);(2)完成下列2×2列聯(lián)表,依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗,能否認為比賽成績優(yōu)秀與性別有關.
解 (1)由題意可得(0.005+0.015+0.030+0.025+0.005+a)×10=1,解得a=0.020,所以樣本中成績優(yōu)秀的頻率為(0.020+0.005)×10=0.25,據(jù)此估算全校1 000名學生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為0.25×1 000=250(人).
(2)零假設為H0:比賽成績優(yōu)秀與性別無關.由題意,采用分層隨機抽樣,男生抽取 100=45(人),女生抽取100-45=55(人),且樣本中優(yōu)秀的人數(shù)為100×0.25=25人,故補全2×2列聯(lián)表如下:單位:人
可得χ2= 3.030

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