1.會用統(tǒng)計圖表對總體進(jìn)行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù). 2.會用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有______的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中______________的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于________位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).?(3)平均數(shù)：把________________稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).
1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(　　)(2)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)可以不唯一.(　　)(3)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(　　)(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.(　　)
解析　(1)平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水平，它們之間沒有必然聯(lián)系，故該說法錯誤.(3)方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，故它們的單位不一樣.
2.(必修二P180T1)為了合理調(diào)配電力資源，某市欲了解全市50 000戶居民的日用電量.若通過簡單隨機(jī)抽樣從中抽取了300戶進(jìn)行調(diào)查，得到其日用電量的平均數(shù)為5.5 kW·h，則可以推測全市居民用戶日用電量的平均數(shù)(　　)A.一定為5.5 kW·hB.高于5.5 kW·hC.低于5.5 kW·hD.約為5.5 kW·h
解析　由樣本的數(shù)字特征與總體的數(shù)字特征的關(guān)系，可知全市居民用戶日用電量的平均數(shù)約為5.5 kW·h.
3.(必修二P213T2改編)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為(　　)A.2B.4C.6D.8
解析　根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為22s2＝8.
4.某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位：cm)分別為175，178，176，180，179，175，176，179，180，179，則中位數(shù)為________.
解析　把10名旗手的身高從小到大排列為175，175，176，176，178，179，179，179，180，180，
KAODIANJUJIAOTUPO
考點一　總體百分位數(shù)的估計
例1 (1)一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為________，第86百分位數(shù)為________.
解析　∵75%×20＝15，
∵86%×20＝17.2，∴第86百分位數(shù)為第18個數(shù)據(jù)17.
(2)將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))
解析　由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位數(shù)一定位于[120，130)內(nèi).
1.計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
2.直方圖中可運用面積和求第p百分位數(shù).
訓(xùn)練1 (1)(2024·唐山模擬)某校高三年級一共有1 200名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測驗，已知所有學(xué)生成績的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學(xué)成績不小于103分的人數(shù)至少為(　　)A.220　　　　　　B.240　　　　　　C.250　　　　　　D.300
解析　∵1 200×80%＝960，∴小于103分的學(xué)生最多有960人，則數(shù)學(xué)成績不小于103分的學(xué)生至少有1 200－960＝240(人).
(2)若數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位數(shù)是4.5，則實數(shù)x的取值范圍是______________.
解析　因為8×65%＝5.2，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)為4.5，所以應(yīng)該有5個數(shù)據(jù)不大于4.5，則x≥4.5.
考點二　總體集中趨勢的估計
角度1　樣本的數(shù)字特征例2 (1)(多選)給定一組數(shù)據(jù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則這組數(shù)據(jù)(　　)A.眾數(shù)為2B.平均數(shù)為3C.方差為1.6D.標(biāo)準(zhǔn)差為4
解析　由題中數(shù)據(jù)可得，眾數(shù)為2和3，故A錯誤；
(2)(多選)(2023·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則(　　)A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差
解析　取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標(biāo)準(zhǔn)差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，
根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確.
角度2　頻率分布直方圖中的數(shù)字特征例3 在新疆某地收購的一批棉花中隨機(jī)抽測了100根棉花的纖維長度(單位：mm)，得到樣本的頻數(shù)分布表如下：
(1)在圖中作出樣本的頻率分布直方圖；
解　樣本的頻率分布直方圖如圖所示.
(2)根據(jù)(1)中作出的頻率分布直方圖求這一棉花樣本的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，并對這批棉花的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)進(jìn)行估計.
設(shè)中位數(shù)為x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位數(shù)為252.5 mm；
故平均數(shù)為222 mm.由樣本的這些數(shù)據(jù)，可得購進(jìn)的這批棉花的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)分別約為275 mm，252.5 mm和222 mm.
1.中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”和“平均水平”，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.2.頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高的矩形底邊中點的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.
訓(xùn)練2 (1)某大學(xué)共有12 000名學(xué)生，為了了解學(xué)生課外圖書閱讀量情況，該校隨機(jī)地從全校學(xué)生中抽取1 000名，統(tǒng)計他們每年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，由此來估計全體學(xué)生當(dāng)年的閱讀書籍?dāng)?shù)量的情況，下列估計中正確的是(注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)(　　)A.中位數(shù)為6B.眾數(shù)為10C.平均數(shù)為6.88D.該校讀書不低于8本的人數(shù)約為3 600
解析　由圖知，中位數(shù)x在[4，8)內(nèi)，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A錯誤；由圖知，眾數(shù)在[4，8)內(nèi)，故眾數(shù)為6，B錯誤；平均數(shù)為4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正確；由圖知，該校讀書不低于8本的頻率之和為1－0.16×4＝0.36，所以該校讀書不低于8本的人數(shù)約為0.36×12 000＝4 320，D錯誤.
(2)(2023·上海卷)國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)是衡量一個國家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況和發(fā)展水平的重要指標(biāo).根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長，GDP穩(wěn)定增長，第一季度和第四季度的GDP分別為232億元和241億元，且四個季度的GDP逐季度增長，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則該市2020年的GDP總額為________億元.
解析　依題意，將2020年四個季度的GDP數(shù)據(jù)分別記為a1，a2，a3，a4，則a1＝232，a4＝241，
考點三　總體離散程度的估計
解　由表格中的數(shù)據(jù)易得：
標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
訓(xùn)練3 (2024·濟(jì)南調(diào)研)甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：
(1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績的平均數(shù)和方差；
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是(　　)A.樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C.樣本x1，x2，…，xn的極差D.樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)
解析　由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選AC.
2.從某中學(xué)抽取10名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?2，85，88，90，92，92，92，96，96，98(單位：分)，則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、第25百分位數(shù)分別為(　　)A.92，85B.92，88C.95，88D.96，85
解析　數(shù)據(jù)92出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是92；這組數(shù)據(jù)已經(jīng)按照由小到大的順序排列，計算10×25%＝2.5，取第三個數(shù)，所以第25百分位數(shù)是88.
3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(　　)A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差
解析　中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響.
5.(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則(　　)A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同　　　B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同　　　D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
6.(多選)(2024·江蘇四市調(diào)研)某校1 000名學(xué)生在高三一模測試中數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則(　　)A.a＝0.008B.X＝120C.70分以下的人數(shù)約為6人D.本次考試的平均分約為93.6
解析　對于A，由題圖可知20×(0.002＋0.014＋a＋0.004＋0.020＋0.002)＝1，解得a＝0.008，故A正確；對于B，由題圖可知成績在[110，130)分的學(xué)生人數(shù)為1 000×0.008×20＝160，成績在[130，150]分的學(xué)生人數(shù)為1 000×0.002×20＝40，
對于C，70分以下的人數(shù)為1 000×20×(0.002＋0.004)＝120，故C錯誤；對于D，平均分為(0.002×40＋0.004×60＋0.014×80＋0.020×100＋0.008×120＋0.002×140)×20＝93.6，故D正確.
7.(2024·T8聯(lián)考)某同學(xué)擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)5次的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是(　　)A.中位數(shù)是3，眾數(shù)是2B.平均數(shù)是3，中位數(shù)是2C.方差是2.4，平均數(shù)是2D.平均數(shù)是3，眾數(shù)是2
解析　對于A，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為2，2，3，5，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故選項A不正確；對于B，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故選項B不正確；
所以當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定不會出現(xiàn)點數(shù)6，故選項C正確；對于D，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，2，3，6時，滿足平均數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故選項D不正確.故選C.
8.已知30個數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是8.2，這30個數(shù)據(jù)從小到大排列后第18個數(shù)據(jù)是7.8，則第19個數(shù)據(jù)是________.
解析　根據(jù)眾數(shù)的定義知，百分率最高的是0.
10.某年級120名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將測試結(jié)果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績的70%分位數(shù)約為______秒.
解析　設(shè)成績的70%分位數(shù)為x，
解　由題意，求出zi的值如表所示，
所以可認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
12.某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量(單位：kg)，并繪制頻率分布直方圖如圖所示.
(1)請根據(jù)頻率分布直方圖估計該水果店蘋果日銷售量的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)
解　由題圖可知，區(qū)間[80，90)的頻率最大，所以眾數(shù)為85.設(shè)中位數(shù)為x，則0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.
(2)一次進(jìn)貨太多，水果會變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能90%地滿足顧客的需求(在10天中，大約有9天可以滿足顧客的需求).請問每天應(yīng)該進(jìn)多少千克蘋果？
解　日銷售量在區(qū)間[60，100)的頻率為0.875＜0.9，日銷售量在區(qū)間[60，110)的頻率為0.975＞0.9，故所求的量位于區(qū)間[100，110)內(nèi).由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，
13.(多選)(2023·海南模擬)環(huán)境監(jiān)測部門統(tǒng)計了甲、乙兩個城市去年每天的AQI(空氣質(zhì)量指數(shù))，數(shù)據(jù)按照(0，50]，(50，100]，…，(200，250]進(jìn)行分組得到下面的頻率分布直方圖，已知0＜AQI≤50時空氣質(zhì)量等級為優(yōu)，則(　　　)
A.甲、乙兩城市AQI的中位數(shù)的估計值相等B.甲、乙兩城市AQI的平均數(shù)的估計值相等C.甲城市AQI的方差比乙城市AQI的方差小D.甲城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)比乙城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)多
解析　A中，根據(jù)兩個頻率分布直方圖，甲、乙兩個城市去年每天的AQI的中位數(shù)均為125，A正確；B中，設(shè)甲、乙兩頻率分布直方圖中小矩形的高度數(shù)值如圖所示，
則a×50×2＋b×50＋c×50×2＝1，即50(2a＋b＋2c)＝1，同理，50(2x＋z＋2y)＝1，甲城市的AQI的平均數(shù)為50c×25.5＋50a×75.5＋50b×125.5＋50a×175.5＋50c×225.5＝50(250c＋250a＋125.5b)＝50×125.5×(2c＋2a＋b)＝125.5，
乙城市的AQI的平均數(shù)為50x×25.5＋50y×75.5＋50z×125.5＋50y×175.5＋50x×225.5＝50(250x＋250y＋125.5z)＝50×125.5×(2x＋2y＋z)＝125.5.所以甲、乙兩城市AQI的平均數(shù)的估計值相等，B正確；C中，由圖可知，乙城市AQI的數(shù)據(jù)更集中，即方差更小，C錯誤；D中，由圖可知甲城市AQI在(0，50]的頻率大于乙城市AQI在(0，50]的頻率，甲城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)比乙城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)多，故D正確.
14.甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示.
解　由題圖知，甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.將它們由小到大排列為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.將它們由小到大排列為2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.
②∵平均數(shù)相同，甲命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)比乙少，∴乙的成績比甲好些.③∵甲的成績在平均數(shù)附近上下波動，而乙的成績處于上升趨勢，且從第四次射擊開始就沒有比甲成績低的情況發(fā)生，∴乙更有潛力.

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