知識梳理 · 雙基自測
知 識 梳 理知識點一　變量的相關(guān)關(guān)系1．相關(guān)關(guān)系兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個______________另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2．散點圖每一個序號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標系中的______表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖稱為散點圖．
3．正相關(guān)、負相關(guān)如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)________的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)________的趨勢，則稱這兩個變量負相關(guān)．
4．變量的線性相關(guān)如果兩個變量的取值呈現(xiàn)__________________，而且散點落在____________附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)．一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量_______________________.
r∈[－1,1]，當r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)__________；當r|r2|
[解析]　由散點圖可知，線性相關(guān)系數(shù)r1的圖象表示y與x成負相關(guān)，故－10，故B錯誤；∵線性相關(guān)系數(shù)r2的點較線性相關(guān)系數(shù)r1的點密集，故|r2|>|r1|，故r1＋r2>0，故C正確，D錯誤．故選AC．
【變式訓(xùn)練】(2023·高考上海卷)根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是( 　　)A．身高越大，體重越大B．身高越大，體重越小C．身高和體重成正相關(guān)D．身高和體重成負相關(guān)
[解析]　根據(jù)散點圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān)．故選C．
角度1　一元線性回歸模型1.(2024·河北邢臺名校聯(lián)盟期中)某商店的某款商品近5個月的月銷售量y(單位：千瓶)如下表：
2．(2023·河南安陽開學(xué)考)2022年6月某一周，“東方甄選”直播間的交易額共計3.5億元，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：(1)通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)(系數(shù)精確到0.01)加以說明；
因為交易額y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說明交易額y與t具有很強的正線性相關(guān)關(guān)系，從而可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系．
2．(2024·山東濟南摸底)隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對實體經(jīng)濟產(chǎn)生了一定影響．為了解實體經(jīng)濟的現(xiàn)狀，某研究機構(gòu)統(tǒng)計了一個大商場2018—2022年的線下銷售額如下：
角度2　一元非線性回歸模型(2024·重慶七校開學(xué)考試)中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度y ℃關(guān)于時間x(min)的回歸方程模型，通過實驗做初步處理得到如圖所示散點圖．
(1)根據(jù)散點圖判斷，①y＝a＋bx與②y＝d·cx＋25哪一個更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程；(3)已知該茶水溫度降至60 ℃口感最佳．根據(jù)(2)中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？
獨立性檢驗——師生共研
1.(多選題)(2024·重慶質(zhì)檢)千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表，并計算得到χ2≈19.05，下列小波對A地區(qū)天氣的判斷正確的是( )
2．(2024·河北秦皇島部分學(xué)校檢測)某市電視臺為了解一檔節(jié)目收視情況，隨機抽取了該市n對夫妻進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到每人日均收看該節(jié)目的時間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，收視時間不低于40分鐘的觀眾稱為“熱心觀眾”，收視時間低于40分鐘的觀眾稱為“非熱心觀眾”，已知抽取樣本中收視時間低于10分鐘的有10人．
(1)求n，p；(2)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析“熱心觀眾”是否與性別有關(guān).
(2)∵n＝50，∴“熱心觀眾”有2×50×(0.020＋0.005)×10＝25人，則2×2列聯(lián)表如下所示：
名師點撥：解獨立性檢驗的應(yīng)用問題的關(guān)注點1．兩個明確：(1)明確兩類主體．(2)明確研究的兩個問題．2．兩個關(guān)鍵：(2)準確列出2×2列聯(lián)表．(2)準確理解χ2.注意：查表時不是查最大允許值，而是先根據(jù)題目要求的百分比找到第一行對應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對應(yīng)的xα值與求得的2相比較．另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個變量沒有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1－p.
【變式訓(xùn)練】(2024·湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)近期世界地震、洪水、森林大火等自然災(zāi)害頻繁出現(xiàn)，緊急避險知識越來越引起人們的重視．某校為考察學(xué)生對緊急避險知識的掌握情況，從全校學(xué)生中選取200名學(xué)生進行緊急避險知識測試，其中男生110名，女生90名．所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間[50,100]范圍內(nèi)，由測試成績數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)若從頻率分布直方圖中估計出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)相等，求圖中m的值；(2)規(guī)定測試成績不低于80分為優(yōu)秀，已知共有45名男生成績優(yōu)秀，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否推斷男生和女生的測試成績優(yōu)秀率有差異？
(2)總的成績優(yōu)秀人數(shù)為：200×10×(0.025＋0.01)＝70，得到列聯(lián)表為：
名師講壇 · 素養(yǎng)提升
重溫高考 1.(2021·全國高考乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：
2．(2021·全國高考)甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：
(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？
【變式訓(xùn)練】1．(2020·新高考Ⅰ)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：
(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．

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