第三章 圓錐曲線的方程章末題型歸納總結(jié) 目錄 模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖 模塊二：典型例題 題型一：求軌跡方程 題型二：焦點(diǎn)三角形問題 題型三：線段和差最值問題 題型四：離心率取值與范圍問題 題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 題型六：三角形與四邊形面積問題 題型七：圓錐曲線定點(diǎn)定值問題 題型八：斜率問題 題型九：中點(diǎn)弦問題 模塊三：數(shù)學(xué)思想方法 ①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想 模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖 模塊二：典型例題 題型一：求軌跡方程 【典例1-1】（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為 . 【答案】 【解析】設(shè)圓的半徑為，則，則， 所以點(diǎn)的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓． 則，所以， 所以動圓的圓心的軌跡方程為． 故答案為：. 【典例1-2】（2024·高二·山東臨沂·階段練習(xí)）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，則的中點(diǎn)的軌跡方程為 . 【答案】 【解析】由題意，設(shè)， 則，所以，代入圓的方程， 整理得，即. 故答案為：. 【變式1-1】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)點(diǎn)，是動點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于動點(diǎn)的軌跡方程為 . 【答案】 【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 因?yàn)椋? 所以，化簡得. 故動點(diǎn)的軌跡方程為. 故答案為： 【變式1-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知動圓與直線恒過同一定點(diǎn)，且與圓外切，求動圓圓心的軌跡方程. 【解析】易得定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 所以圓的圓心為2,0，半徑為. 因?yàn)閳A與圓外切，所以， 所以由雙曲線定義知：動圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左半支. 因?yàn)椋? 故動圓圓心的軌跡方程為. 【變式1-3】（2024·高二·全國·課堂例題）動點(diǎn)在曲線上移動，點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】設(shè)Px,y，， 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即， 又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以， 所以． 所以點(diǎn)的軌跡方程為即. 題型二：焦點(diǎn)三角形問題 【典例2-1】（多選題）（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（????） A．若的周長為6，則 B．若當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為，則 C．若存在點(diǎn)，使得，則 D．若的最大值為2b，則 【答案】ABD 【解析】對于A,由橢圓，可得， 因?yàn)榈闹荛L為6，所以，解得， 因?yàn)?，所以，解得，故A正確； 對于B，由，可得， 當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得 ， 則，解得， 所以， 又的內(nèi)切圓半徑為， 所以， 所以，所以，解得（舍去）或， 所以，故B正確； 對于C，若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則， 所以，所以，解得， 所以存在點(diǎn)，使得，則，故C錯誤； 對于D，設(shè)， ， 又因?yàn)?，因?yàn)橄马旤c(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2b，又的最大值為2b， 故時(shí)取最大值，所以，解得，故D正確. 故選：ABD. 【典例2-2】（多選題）（2024·高二·河南南陽·階段練習(xí)）已知橢圓的長軸端點(diǎn)分別為，兩個焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（????） A．橢圓的離心率為 B．的周長為 C．面積的最大值為 D． 【答案】ABD 【解析】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距， 對于A，橢圓的離心率為，故A正確； 對于B，的周長為，故B正確； 對于C，，設(shè)，則面積的最大值為，故C錯誤； 對于D，設(shè)， ， 因此，故D正確. 故選：ABD. 【變式2-1】（多選題）（2024·高二·河北張家口·期中）已知橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一動點(diǎn)，M1,1，則下列說法正確的是（????） A．存在點(diǎn)使 B．的周長為16 C．的最大面積為12 D．的最大值為 【答案】BCD 【解析】由，得. 對于A：假設(shè)存在點(diǎn)使得，則， 所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，則， 因?yàn)闄E圓上的任一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離是短軸頂點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即， 由可知，圓與橢圓沒有交點(diǎn)， 所以假設(shè)不成立，即不存在點(diǎn)使得，故A錯誤； 對于B：的周長為，故B正確； 對于C：當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，則的面積最大， 所以，故C正確； 對于D： ，又M1,1，所以， 所以，故D正確. 故選：BCD. 【變式2-2】（多選題）（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且不與的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（????） A．若且，則雙曲線的兩條漸近線的方程是 B．若，則的面積等于 C．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率大于3 D．以為直徑的圓與以的實(shí)軸為直徑的圓外切 【答案】BCD 【解析】當(dāng)且時(shí)，的漸近線斜率為，選項(xiàng)A錯誤； ，故選項(xiàng)B正確； 把點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程得： ，選項(xiàng)C正確； 如圖，兩圓的圓心距是的中位線， 兩圓的半徑之和，故兩圓外切，選項(xiàng)D正確. 故選：BCD 【變式2-3】（多選題）（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，若的內(nèi)切圓半徑為，設(shè)內(nèi)切圓圓心，則（????） A． B．為直角三角形 C．的面積為 D．的離心率為 【答案】BD 【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊相切于點(diǎn)， 則，， 由雙曲線的定義得，設(shè)，所以， 所以，A錯誤； 設(shè)的中點(diǎn)為，由，知． 因?yàn)?，，所以為直角三角形，B正確； 在中，，C錯誤； 在中，， 由為直角三角形， ，知， 由，得，D正確． 故選：BD 【變式2-4】（多選題）（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為在上且不在軸上，則（????） A．面積的最大值為 B．直線與的斜率之積可能為 C．存在點(diǎn)使得 D．的取值范圍是 【答案】AD 【解析】對于A，易知當(dāng)點(diǎn)位于的上（下）頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大為，A正確； 對于B，設(shè)，則， 又點(diǎn)在上，則，即，所以， 由得，所以， 因此不可能為，B錯誤； 對于C，滿足的點(diǎn)在以為原點(diǎn)，1為半徑的圓上， 易知其與橢圓無公共點(diǎn)，因此不存在上的點(diǎn)，使得，C錯誤； 對于D，由橢圓的定義可得，， 易知，則，D正確． 故選：AD 題型三：線段和差最值問題 【典例3-1】（2024·高二·上海閔行·期末）設(shè)是以為焦點(diǎn)的拋物線上的動點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為 ． 【答案】4 【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，圓心，圓心到準(zhǔn)線的距離為，則， 則， 則的最小值為4. 故答案為：4. 【典例3-2】（2024·高二·甘肅白銀·期中）已知曲線恒過點(diǎn)，且在拋物線上．若是上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為 ． 【答案】7 【解析】曲線可變形為 令，解得， 可知曲線恒過點(diǎn)， 因?yàn)樵趻佄锞€上，則，解得， 所以的方程為，可知的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為， 又因?yàn)椋芍c(diǎn)在拋物線內(nèi)， 設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，則， 因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)與的準(zhǔn)線垂直時(shí)，等號成立， 所以點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為7． 故答案為：7. 【變式3-1】（2024·高二·四川遂寧·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線上的兩點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為 . 【答案】3 【解析】易知拋物線的焦點(diǎn)為F0,1，準(zhǔn)線方程為， 過兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如下圖所示： 由可知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立； 則有，可得； 所以的中點(diǎn)到軸距離為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立； 即的中點(diǎn)到軸距離的最小值為. 故答案為： 【變式3-2】（2024·高二·河北秦皇島·開學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)是曲線右支上一動點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，則的最小值是 ． 【答案】8 【解析】由雙曲線的方程可得，，則， 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，則， 圓的圓心，半徑， 由題意可得， 當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在，之間時(shí)取等號， 即的最小值為． 故答案為：． 【變式3-3】（2024·高二·河北保定·期中）已知P是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，過點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，該直線交l于點(diǎn)A，是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則的最小值為 ． 【答案】 【解析】設(shè)右焦點(diǎn)為，如圖：連接，過點(diǎn)做于點(diǎn)， 結(jié)合題意：為直角三角形，且，所以， 因?yàn)榈綕u近線的距離為， 結(jié)合雙曲線的定義可得：. 故答案為：. 【變式3-4】（2024·高二·全國·課堂例題）雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，則 . 【答案】4 【解析】由題意. 如圖， 連接，，則點(diǎn)Q在雙曲線C的左支上， 由雙曲線的對稱性知，，，所以四邊形為平行四邊形， 所以，所以由雙曲線的定義得. 故答案為：4 【變式3-5】（2024·高二·上海·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)周長最大時(shí)，直線的方程為 . 【答案】 【解析】橢圓方程：，，，，如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為， ， 則，，如圖，當(dāng)，，共線時(shí)取等號， 的周長，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線時(shí)取等號． 則直線的方程：，整理得. 故答案為： 【變式3-6】（2024·高二·安徽六安·期中）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的最小值為 . 【答案】 【解析】 由題意，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)， 由于滿足：，故在橢圓內(nèi)部， 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接， 由于動點(diǎn)在橢圓上，則， 從而， 因?yàn)椋?當(dāng)共線，且在線段上時(shí)取等號， 故的最小值為， 故答案為： 【變式3-7】（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期中）動點(diǎn)分別與兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知，，則的取值范圍為 . 【答案】 【解析】設(shè)，，則，， 由已知可得，，即， 整理可得，. 所以，點(diǎn)的軌跡方程為（）. 所以，，，，所以. 則為橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為， 根據(jù)橢圓的定義有， 所以， 所以，. ①當(dāng)時(shí)，根據(jù)三邊關(guān)系可知有， 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立， 即位于圖中點(diǎn)時(shí)，有最大值為， 所以，； ②當(dāng)時(shí)，根據(jù)三邊關(guān)系可知有， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立， 即位于圖中點(diǎn)時(shí)，有最小值為， 所以，. 綜上所述，. 故答案為：. 【變式3-8】（2024·高二·浙江金華·階段練習(xí)）已知Q是圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓上的左焦點(diǎn)，M是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值 . 【答案】 【解析】 因?yàn)閳A，化為標(biāo)準(zhǔn)式為， 即圓心，半徑，且橢圓，則， 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則， 所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，取得等號， 所以的最小值為. 故答案為： 題型四：離心率取值與范圍問題 【典例4-1】（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期中）已知雙曲線C:（，）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn).若，則C的離心率為 . 【答案】/ 【解析】如圖所示， 由題意可知，，， ，， 設(shè)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為， 則，又， ，解得， . 故答案為：. 【典例4-2】（2024·高二·山東濱州·階段練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動時(shí)，至少有兩個位置使得，則橢圓C的離心率范圍是 ． 【答案】 【解析】因?yàn)閯狱c(diǎn)滿足，所以在以為直徑的圓上. 又因?yàn)樵跈E圓上運(yùn)動時(shí)，至少有兩個位置使得， 所以， 則，即， 同除得，解之得. 故答案為： 【變式4-1】（2024·高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，雙曲線的漸近線上存在一點(diǎn)，使得順次連接構(gòu)成平行四邊形，則雙曲線的離心率為 ． 【答案】3 【解析】由題意得，雙曲線的漸近線方程為， 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危耘c互相平分， 因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 因?yàn)?，所以點(diǎn)， 因?yàn)?，所以點(diǎn)在漸近線上， 所以，化簡得， 所以離心率. 故答案為：3 【變式4-2】（2024·高二·上?！卧獪y試）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則橢圓C的離心率為 ． 【答案】/ 【解析】以線段為直徑的圓的圓心為原點(diǎn)，半徑，該圓與直線相切， 則圓心到直線的距離， 整理可得， 所以． 故答案為： 【變式4-3】（2024·高二·安徽阜陽·期末）已知圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為 ． 【答案】 【解析】圓，雙曲線的漸近線為， 圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)， 圓心到漸近線的距離， ，，即， ． 故答案為：． 【變式4-4】（2024·湖南衡陽·三模）如圖所示，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線l交雙曲線C于兩點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l的垂線交雙曲線C于點(diǎn)G，，且三點(diǎn)共線（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為 ． ?? 【答案】 【解析】 設(shè)另一個焦點(diǎn)，連接，設(shè)則 再根據(jù)雙曲線的定義可知： 由雙曲線的對稱性可知，是的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)， 所以四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?，所以可得?所以由勾股定理得：， 化簡得：， 再由勾股定理得：， 代入得：， 故答案為：. 【變式4-5】（2024·高二·上?！て谥校┤簦瑱E圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為 ． 【答案】/ 【解析】由橢圓可得， 由雙曲線可得， 所以， 又，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立； 所以， 即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立； 故答案為： 【變式4-6】（2024·高二·湖北武漢·期末）如圖所示，設(shè)點(diǎn)F是雙曲線 與拋物線 的公共焦點(diǎn)，B是上的一點(diǎn)，若雙曲線一條漸近線恰好垂直平分BF，雙曲線的離心率為e，則 【答案】 【解析】由題意可得，所以， 設(shè)，的斜率為，中點(diǎn)， 因?yàn)殡p曲線一條漸近線恰好垂直平分BF， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，所以，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案為：. 【變式4-7】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.若有最大值，則雙曲線的離心率的取值范圍是 . 【答案】 【解析】由雙曲線的定義，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，可得，即， 則， 當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值， 由點(diǎn)為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，可得直線的斜率小于漸近線的斜率， 即，所以，即雙曲線的離心率的取值范圍為. 故答案為：. 題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【典例5-1】（2024·高二·上海·課堂例題）已知動點(diǎn)在橢圓C：之外，作直線l：．證明：直線l與橢圓C有兩個不同的公共點(diǎn)． 【解析】由消去得，，（*） ， 因?yàn)樵跈E圓之外，所以，即， 所以，方程（*）有兩個不等的實(shí)根，即直線與橢圓有兩個不同的公共點(diǎn)； 【典例5-2】（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）能否從圖形的直觀分析中判斷出直線：與橢圓C：的交點(diǎn)個數(shù)？若存在交點(diǎn)，則求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在交點(diǎn)，則求橢圓C上的點(diǎn)到直線l的最小距離． 【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程組成方程組，即， 整理得，， 因?yàn)椋?所以直線與橢圓無交點(diǎn). 設(shè)與直線平行的直線為：， 聯(lián)立直線與橢圓方程組成方程組，得， 整理得，， 當(dāng)與橢圓相切時(shí)，即， 解得：， 橢圓C上的點(diǎn)到直線的最小距離即為直線與直線之間的距離， 橢圓C上的點(diǎn)到直線的最小距離為. 【變式5-1】（2024·高三·江西撫州·期中）已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓C及圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P，且與橢圓C相切，與圓M相交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，試判斷直線與橢圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 【解析】（1）由對稱知：都在橢圓C上， 若在橢圓上，則，顯然方程組無解. 若三點(diǎn)在橢圓上，由在橢圓上則， 代入點(diǎn)得：，則 所以橢圓C方程為，則圓M方程為. （2）直線與橢圓C相切.證明如下： 由題意可得，點(diǎn)B在圓M上，且線段為圓M的直徑，所以， 當(dāng)直線軸時(shí)，此時(shí)直線過橢圓長軸的頂點(diǎn)，直線的方程為， 則直線的方程為，顯然直線與橢圓C相切. 同理，當(dāng)直線軸時(shí)，直線也與橢圓C相切. 當(dāng)直線與x軸既不平行也不垂直時(shí)， 設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為k，則，直線的斜率為， 所以直線方程為：，直線方程為：， 由，消去y得：. 因?yàn)橹本€與橢圓C相切， 所以， 即???①. 同理，由直線與橢圓C的方程聯(lián)立， 消去y得： 即???② 因?yàn)辄c(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)， 所以，即???③. 將③代入①式，得 將③代入②式，得 所以此時(shí)直線與橢圓C相切， 綜上所述，直線與橢圓C相切. 【變式5-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)．若①，②，③，④，問此時(shí)直線共有幾條？由此你能探索總結(jié)出一般性結(jié)論嗎？若能，請給予歸納；若不能，請說明理由． 【解析】由雙曲線，可得， 過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)， 若交點(diǎn)位于雙曲線的兩支時(shí)，此時(shí)最短距離為， 過左焦點(diǎn)的直線，若與軸垂直時(shí)，可得， 所以，當(dāng)時(shí)，這樣的直線不存在； 當(dāng)時(shí)，這樣的直線僅有1條； 當(dāng)時(shí)，這樣的直線僅有2條； 當(dāng)時(shí)，這樣的直線僅有4條， 由此歸納出一般性結(jié)論如下表所示： 【變式5-3】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線，討論直線與這條雙曲線的交點(diǎn)的個數(shù)． 【解析】由方程組， 消去，可得（*）， （i）當(dāng)，即時(shí)， 方程（*）為， 此時(shí)直線與雙曲線僅有一個交點(diǎn)． （ii）當(dāng)，即時(shí)， ， ①若， 即且時(shí)，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)． ②若， 即時(shí)，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)． ③若， 即或時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)． 由以上討論可知，當(dāng)且時(shí)，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)； 當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)； 當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)． 【變式5-4】（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A, B兩點(diǎn)，當(dāng)a為何值時(shí)，點(diǎn)A, B在雙曲線的同一支上？當(dāng)a為何值時(shí)，點(diǎn)A, B分別在雙曲線的兩支上？ 【解析】聯(lián)立得. 由題意知 解得且. 若點(diǎn)A, B在雙曲線的同一支上，則>0， 解得或， 所以或 若點(diǎn)A, B分別在雙曲線的兩支上，則， 解得. 【變式5-5】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）當(dāng)k為何值時(shí)，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)？僅有一個公共點(diǎn)？無公共點(diǎn)？ 【解析】由，得. 當(dāng)時(shí)，方程化為一次方程， 該方程只有一解，原方程組只有一組解， ∴直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，二次方程的判別式， 當(dāng)時(shí)，得，， ∴當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)； 由得，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個公共點(diǎn)； 由得或，此時(shí)直線與拋物線無公共點(diǎn)． 綜上，當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線僅有一個公共點(diǎn)； 當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)； 當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線無公共點(diǎn)． 【變式5-6】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線上有一個動點(diǎn)Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點(diǎn)P在直線l上，且，記點(diǎn)P的軌跡為C． ?? (1)求曲線C的方程． (2)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)A，且．試判斷直線PB與曲線C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【解析】（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為． 因?yàn)椋?所以. 所以． ∴點(diǎn)P的軌跡方程為． （2） 直線PB與曲線C相切，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為． 因?yàn)椋?所以． 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為． 所以直線PB的斜率為． 因?yàn)?所以． 所以直線PB的方程為 代入， 得. 因?yàn)?所以直線PB與曲線C相切． 題型六：三角形與四邊形面積問題 【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知橢圓的焦距為，且過點(diǎn)． (1)求的方程． (2)記和分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．設(shè)是橢圓上一個動點(diǎn)且縱坐標(biāo)不為．直線交橢圓于點(diǎn)（異于），直線交橢圓于點(diǎn)（異于）．若的中點(diǎn)為，求三角形面積的最大值． 【解析】（1）橢圓的焦距，； 橢圓過點(diǎn)，，又， （舍）或，，橢圓的方程為：. （2） 由（1）知：F1-1,0，F(xiàn)21,0， 設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2， 由題意可設(shè)直線，其中，， 由得：，， ； 同理可得：； ， ， （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）， 面積的最大值為. 【典例6-2】（2024·高二·四川涼山·期中）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且過橢圓的焦點(diǎn)作的弦中，弦長的最小值為，橢圓的長半軸長與雙曲線的實(shí)半軸長之差為2，橢圓和雙曲線的離心率之比為． (1)分別求橢圓和雙曲線的離心率． (2)若為橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，求三角形的外接圓的面積． 【解析】（1）設(shè)橢圓方程為：（），雙曲線的方程為：（） 根據(jù)橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則① 由過橢圓的焦點(diǎn)作的直線中，弦長的最小值為，則② 由橢圓的長半軸長與雙曲線的實(shí)半軸之差為2，則③ 再根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率之比為，則④ 解得，，， 橢圓的離心率．雙曲線的離心率． （2） 因?yàn)闉闄E圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)， ，故，， 在三角形中，記為， 由余弦定理有．故， 則三角形的外接圓的直徑為，半徑為 三角形的外接圓的面積為． 【變式6-1】（2024·高二·浙江嘉興·期中）已知點(diǎn)到直線：的距離和它到定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)． (1)求點(diǎn)的軌跡的方程； (2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過作曲線的兩條切線分別切于點(diǎn)與點(diǎn)，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點(diǎn)處的切線為） 【解析】（1）設(shè)，則，化簡得：， 所以點(diǎn)M 的軌跡E的方程為. （2）設(shè)，，，則切線為，切線為， 將點(diǎn)分別代入得，所以直線為， 點(diǎn)到的距離，當(dāng)時(shí)，． 另一方面，聯(lián)立直線與得， 所以，則， 當(dāng)時(shí)，．所以． 故時(shí)，最小值為. 【變式6-2】（2024·高二·天津和平·期中）如圖，已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別是，，焦點(diǎn)，其中，設(shè)點(diǎn)，連接交橢圓于點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是． (1)求橢圓的離心率； (2)證明：； (3)設(shè)三角形的面積為，四邊形的面積為，若的最小值為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【解析】（1）因?yàn)?，則，所以，則. （2）因?yàn)?，則，∴橢圓的方程為， 由，整理得：， 由 可得，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，故直線的斜率為， ∵直線的斜率為 ∴，∴. （3）由（2）知， ， ∴. ∴當(dāng)時(shí)，，∴ ， ∴橢圓方程為. 【變式6-3】（2024·高三·安徽亳州·開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長為． (1)求橢圓的方程； (2)直線與直線分別交橢圓于和兩點(diǎn)，求四邊形的面積． 【解析】（1）由題意知， 解得， 則橢圓的方程為． （2）易知四邊形為平行四邊形，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2， 聯(lián)立直線與橢圓消去并整理得， 由韋達(dá)定理得 ， 因?yàn)榕c平行，所以這兩條直線的距離， 則平行四邊形的面積． 【變式6-4】（2024·高二·河北唐山·期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，橢圓的焦距為2. (1)求橢圓的方程； (2)和是橢圓上異于的兩點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，求四邊形面積的最小值. 【解析】（1）由已知，所以，所以橢圓的方程為. （2）如圖所示， 因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?所以線段與線段的中點(diǎn)重合，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱. 設(shè)Px1,y1，則且，， 所以直線的方程為y=y1x1+2x+2， 令，得，即. 又，直線的方程為， 令，得，即. 四邊形面積為， ①， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上， 所以且， 所以②， 將②代入①得， 所以當(dāng)時(shí)，. 所以四邊形面積的最小值為. 題型七：圓錐曲線定點(diǎn)定值問題 【典例7-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn). (1)求AB（用表示）； (2)過點(diǎn)分別作直線的垂線交拋物線于兩點(diǎn). （i）求四邊形面積的最小值； （ii）試判斷直線與直線的交點(diǎn)是否在定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，請說明理由. 【解析】（1）由，得.設(shè)，則 ， （2）（i）顯然，設(shè)， 則，得，同理， ， （方法一） 設(shè)的中點(diǎn)為，則， 點(diǎn)到直線的距離為， 所以四邊形面積 （方法二） 令，則，， 所以當(dāng)時(shí)取最小值為 （ii）在定直線上 由（i）得直線的斜率， 的中點(diǎn)， 所以直線的方程為， 即， 由，消去得 所以直線與直線的交點(diǎn)在定直線上. 【典例7-2】（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.過拋物線上一點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).已知是邊長為4的等邊三角形. (1)求拋物線的方程； (2)如圖， 拋物線上有兩點(diǎn)位于軸同側(cè)，且直線和直線的傾斜角互補(bǔ).求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo). 【解析】（1）如圖，記準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，在中，， 所以. 故拋物線. （2）因?yàn)榇怪庇谳S的直線與拋物線僅有一個公共點(diǎn)，所以必有斜率， 設(shè)， 由且， 因?yàn)槲挥谳S同側(cè)，所以，則， 由得，所以， 又點(diǎn)F0,1，直線和的傾斜角互補(bǔ)，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直線恒過定點(diǎn). 【變式7-1】（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）設(shè)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為． (1)求點(diǎn)的軌跡的方程； (2)過的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由． 【解析】（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則， 故，平方后化簡可得， 故點(diǎn)的軌跡的方程為： （2）由題意，, 設(shè)直線的方程為，,，,， 由，可得， 所以，． 則，， 所以 ； 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)， 綜上，為定值． 【變式7-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線． (1)求的方程； (2)設(shè)與軸交于兩點(diǎn)（A在點(diǎn)左側(cè)），直線交于兩點(diǎn)（均不在軸上），設(shè)直線的斜率分別為，若，證明：直線過定點(diǎn)． 【解析】（1）易知圓的圓心為，半徑為4， 由題得， 所以動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓， 不妨設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距為， 其中， 所以的方程為． （2）易知直線的斜率不為0， 設(shè)的方程為，， 聯(lián)立，得， 則， 又可知點(diǎn)，所以， 由得， 又，所以， 即， 又， 代入得， 整理可得， 因?yàn)閮牲c(diǎn)不在軸上，所以， 所以，化簡得， 所以，直線的方程為， 故直線恒過定點(diǎn)． 【變式7-3】（2024·高二·廣西·期末）設(shè)，為曲線上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為4. (1)若與的縱坐標(biāo)之和為4，求直線的方程. (2)證明：線段的垂直平分線過定點(diǎn). 【解析】（1）∵曲線，由題可得直線的斜率不為0，設(shè)直線方程為：，，， 聯(lián)立，化為：， ， ，， 解得， ，解得， 直線的方程為：，即. （2）設(shè)線段的中點(diǎn)為， ，， 則線段的垂直平分線的方程為：， 化為：， 可得直線經(jīng)過定點(diǎn). 【變式7-4】（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）一動圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，動圓的圓心的軌跡與軸交于兩點(diǎn)，位于軸右側(cè)的動點(diǎn)滿足，并且直線分別與交于兩點(diǎn)． (1)求軌跡的方程及動點(diǎn)的軌跡方程； (2)直線是否過定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由． 【解析】（1）設(shè)動圓圓心為，半徑為， 而圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑 由動圓與圓外切，得，由動圓與圓內(nèi)切，得， 則，即點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長等于12的橢圓， 顯然該橢圓的長半軸長，半焦距，則短半軸長， 所以軌跡的方程為； 顯然，設(shè)，由，得， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)符合要求， 所以動點(diǎn)的軌跡方程是. （2）依題意，，設(shè)點(diǎn)，顯然，即， 當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，，則， 設(shè)直線，由消去得， ，， 由，得，即 ，整理得， 則，化簡得， 解得或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不符合題意，則，滿足， 直線過定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，直線與軸重合，也過點(diǎn)， 所以直線過定點(diǎn). 題型八：斜率問題 【典例8-1】（2024·高二·浙江麗水·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為， (1)求橢圓的方程； (2)斜率為的直線與曲線相交于點(diǎn)D，E，弦長，求直線的方程． 【解析】（1）由題意得，解得，， 橢圓方程為. （2）設(shè)直線：，， 聯(lián)立并整理得，，， ， 解得，符合， 直線方程為，即． 【典例8-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)的斜率為. (1)求的取值范圍； (2)若交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，且，求. 【解析】（1）由題意可得，則，所以雙曲線方程為． 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)顯然不符合題意， 設(shè)直線的斜率為，設(shè)，聯(lián)立 得，且 由得， 所以的取值范圍為且， （2）由題知點(diǎn)恰好為線段的兩個三等分點(diǎn)， 設(shè)， 由得，同理可得， 易知，即，則， 其中， 由（1）可得， 則， 故， 解得． 【變式8-1】（2024·高二·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，且經(jīng)過點(diǎn). (1)求C的方程； (2)動點(diǎn)A在圓上，動點(diǎn)B在雙曲線C上，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，若N，A，B三點(diǎn)共線，試探索之間的關(guān)系． 【解析】（1）由題意知，，由雙曲線定義得， 所以，所以C的方程為． （2）設(shè)點(diǎn)，則，即， 由，則①， 又②， 因?yàn)镹，A，B三點(diǎn)共線，所以，由①②得，即． 【變式8-2】（2024·高二·河南·期中）已知A，B分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線HA，HB分別交于另一點(diǎn)D，C. (1)求直線HA，HB的一般式方程; (2)求直線CD的斜率. 【解析】（1）由題意可得，又， 故，整理得直線HA的一般式方程為； ，整理得直線HB的一般式方程為； （2）設(shè)， 聯(lián)立， 整理得，故， 由得，代入， 得，即； 聯(lián)立，整理得， 故，由，得， 代入，得，故， 則. 【變式8-3】（2024·高二·陜西寶雞·期中）已知雙曲線，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，雙曲線C的離心率為2，右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求雙曲線C的方程； (2)若經(jīng)過右焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，求直線ON的斜率的取值范圍. 【解析】（1）根據(jù)題意得，得，???????? ∴雙曲線C的方程為； （2）∵，∴，∴，????? 設(shè)點(diǎn)， 設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，????? 整理得， 則，整理得，????????? 由根與系數(shù)的關(guān)系得，于是 注意到，于是，解得，????? 又點(diǎn)N滿足，即，整理得，???????? 兩式消除得，代入消去m得，????????? 因此點(diǎn)N的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支，????????? 其漸近線斜率為， ∴直線的斜率范圍為. 【變式8-4】（2024·高二·廣西梧州·階段練習(xí)）已知動點(diǎn)在拋物線上，，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，且的最小值為5. (1)求的方程； (2)若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為，求的斜率. 【解析】（1）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得， 則， 當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值， 則，整理得，解得或， 因?yàn)椋?，故的方程? （2）設(shè)過點(diǎn)的直線. 聯(lián)立，消元得，則， 由， 得 代入韋達(dá)定理得： 化簡得， 得或. 故的斜率為4或. 題型九：中點(diǎn)弦問題 【典例9-1】（2024·高二·廣東中山·期中）對稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線過點(diǎn)，，斜率為的直線過點(diǎn). (1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，求斜率的取值范圍； (3)是否存在實(shí)數(shù)使得直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn)？為什么？ 【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入，， 得，解得， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. （2）如圖： 設(shè)直線方程：，聯(lián)立得 ， 直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)， 所以或或. （或：且）. （3）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由（2）可得， 若P為AB中點(diǎn)，則， 此時(shí)， 所以不存在實(shí)數(shù)，使得直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn).. 【典例9-2】（2024·高二·貴州黔東南·期末）已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線． (1)求的方程； (2)若是上不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率為5，線段的中點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在直線上． 【解析】（1）因?yàn)椋?所以根據(jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支， 由，得， 所以的方程為． （2）證明：設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， 則 兩式相減并整理得，， 設(shè)，依題意可得 所以， 即，所以， 即，所以點(diǎn)在直線上． 【變式9-1】（2024·高二·陜西寶雞·期末）已知雙曲線的漸近線方程是，實(shí)軸長為2. (1)求雙曲線的方程; (2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率. 【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，實(shí)軸長為2， 所以，， 所以雙曲線的方程為； （2）雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性可知， 若線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率存在， 設(shè)為，且，， 可得直線的方程為， 與雙曲線方程聯(lián)立， 可得， 設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2， 則， 解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意. 【變式9-2】（2024·高二·四川雅安·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，且． (1)求拋物線的方程； (2)已知直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程． 【解析】（1）因?yàn)?，所以?故拋物線的方程為． （2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為， 則 兩式相減得，整理得． 因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以， 所以直線的方程為，即． 【變式9-3】（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，且． (1)求拋物線的方程 (2)已知直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程． 【解析】（1）因?yàn)椋?所以， 故拋物線C的方程為； （2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，，， 則，兩式相減得， 整理得， 因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，故， 所以， 所以直線的方程為，即. 【變式9-4】（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P到的距離與它到x軸的距離的差為4，P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程； (2)若直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的斜率. 【解析】（1）設(shè)，由題意可知：， 兩邊同時(shí)平方， 得 所以的方程為或. （2）由題可知曲線為， 設(shè)，，則. 由 得， 所以的斜率為. 模塊三：數(shù)學(xué)思想方法 ①分類討論思想 【典例10-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓，若曲線上存在四個點(diǎn)，過動點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖所示，設(shè)，則，，， 化簡得，或（舍去）， 即在以O(shè)為圓心的圓上，軌跡方程為， 如上圖所示，易知曲線過定點(diǎn)，記為， 若，最多與圓有一個交點(diǎn)，不符合題意，可排除C、D選項(xiàng)； 若，先判定與相切的情況， 則圓心到直線的距離為， 由圖形可知當(dāng)時(shí)，曲線與有四個交點(diǎn). 故選：B 【典例10-2】（2024·四川達(dá)州·高二四川省宣漢中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義： 橢圓 中長度為整數(shù)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)為 “好弦”． 則橢圓中所有 “好弦” 的長度之和為（????） A．162 B．166 C．312 D．364 【答案】B 【解析】由已知可得 ， 所以， 即橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，對于過右焦點(diǎn)的弦，則有： 當(dāng)弦與軸重合時(shí)，則弦長， 當(dāng)弦不與軸重合時(shí)，設(shè)， 聯(lián)立方程，消去x得：， 則， 故， ∵，則，可得，即， ∴， 綜上所述：，故弦長為整數(shù)有， 由橢圓的對稱性可得：“好弦” 的長度和為 ． 故選 ：B． 【變式10-1】（2024·上海浦東新·高二海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過定點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)的直線有（????） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【答案】C 【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，只有一個公共點(diǎn)，符合題意； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線方程為， 聯(lián)立，得， ①當(dāng)時(shí)，直線方程為，只有一個公共點(diǎn)，符合題意； ②當(dāng)時(shí)，令，解得，即直線與拋物線有一個公共點(diǎn). 所以滿足題意的直線有3條. 故選：C 【變式10-2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（????） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以漸近線方程為； 由，消去整理得． ①當(dāng)即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，符合題意； ②當(dāng)即時(shí)，由，解得， 此時(shí)直線雙曲線相切于一個公共點(diǎn)，符合題意， 綜上所述：符合題意的的所有取值為或， 故選：D 【變式10-3】（2024·重慶渝中·高二重慶市求精中學(xué)校校考階段練習(xí)）過點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，這樣的直線的條數(shù)是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】當(dāng)不存在時(shí)，直線不滿足條件； 設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立可得 ， 即 ， 當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，方程無解，不符合題意， 當(dāng)時(shí)，方程只有一解，滿足條件； 當(dāng)時(shí)，， 即 解得：或（舍去）， 綜上可知，滿足條件的有或，共2條直線. 故選：B ②轉(zhuǎn)化與化歸思想 【典例11-1】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，橢圓：()的右焦點(diǎn)為F，離心率為e，點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，，．若，則離心率e的最小值是 ． ?? 【答案】 【解析】∵點(diǎn)P是上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，∴，設(shè)直線OP的斜率為k，則． 由可得，故，∴， ∵，故， ∴，解得， ∵對任意的恒成立，故， 整理得到對任意的恒成立， 故只需，即，即，故離心率e最小值為． 故答案為： 【典例11-2】（2024·陜西寶雞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最大值為 【答案】6 【解析】圓的方程為， 圓心，半徑， 設(shè)，則，， 到圓心的距離， 又 當(dāng)時(shí)，取得最大值， 的最大值為： ， 故答案為：． 【變式11-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ． 【答案】. 【解析】設(shè)點(diǎn)， 由得點(diǎn)，而點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)， 于是得，整理得：， 所以點(diǎn)M的軌跡方程是. 故答案為: 【變式11-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動圓的圓心的軌跡為.則軌跡的方程為 ； 【答案】 【解析】設(shè)動圓的半徑為，由已知得： 圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：， 即圓心，半徑， 圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：， 即圓心，半徑，， 經(jīng)分析可得，，則. 由題意可知：， 兩式相加得，， 所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓， 可設(shè)方程為， 則，，，，， 所以軌跡的方程為. 故答案為： 【變式11-3】（2024·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：的準(zhǔn)線為l，圓E：，點(diǎn)P，Q分別是拋物線C和圓E上的動點(diǎn)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為d，則的最小值為 . 【答案】4 【解析】拋物線C：的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn) 圓E：，圓心，半徑， 由拋物線的定義知，所以， 由圓的性質(zhì)知，即 所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立. 又，所以 故答案為：4. 【變式11-4】（2024·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)都在拋物線上，若重心的縱坐標(biāo)為，則 . 【答案】/0.5 【解析】設(shè)坐標(biāo)分別為， 又點(diǎn)都在拋物線上， 則， 則， 同理， 所以. 故答案為：. ③數(shù)形結(jié)合思想 【典例12-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則的周長為 . 【答案】/ 【解析】由題意可得，， ， ，， 為雙曲線右支上一點(diǎn)， ， 又 ， ， 則的周長為． 故答案為：． 【典例12-2】（2024·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，A，B分別位于第一、二象限，為等邊三角形，則雙曲線的離心率e為 . 【答案】 【解析】 由雙曲線的定義可得， 所以取的中點(diǎn)，連接, 又因?yàn)闉榈冗吶切危?則, 在直角三角形中，, 即， 解得：，即， 故答案為：. 【變式12-1】（2024·江西吉安·高三吉安一中?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線：（，）和圓：的一個交點(diǎn)，且，其中，是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 ． 【答案】/ 【解析】 由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則， ∴，，， ． 故答案為： 【變式12-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于A，B兩點(diǎn)，，且的周長為10，則雙曲線C的焦距為 ． 【答案】/ 【解析】 設(shè)，，， 根據(jù)雙曲線的定義可知：， 可得， 有，解得， 在和中，由余弦定理有 ， 解得， 可得雙曲線的焦距為． 故答案為：. 【變式12-3】（2024·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，兩條漸近線分別為，．點(diǎn)A在上，點(diǎn)B在上，且點(diǎn)A位于第一象限，原點(diǎn)O與B關(guān)于直線AF對稱、若，則C的離心率為 ． 【答案】2 【解析】 依題意，的方程為，， 設(shè)垂足為P，根據(jù)三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系，,， 因?yàn)?，的方程為，即?則，故， 因?yàn)辄c(diǎn)F，A關(guān)于直線對稱，， 又，關(guān)于y軸對稱，所以的傾斜角為， 故，則，則， 所以離心率． 故答案為：. 【變式12-4】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則的最小值為 . 【答案】/ 【解析】由題意知，. 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為， 由是雙曲線右支上的點(diǎn)，則， 則， 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立. 又，則. 所以，的最小值為. 故答案為：. 【變式12-5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的最大值為 . 【答案】11 【解析】由題意可得，， 所以, 因?yàn)椋?所以; 因?yàn)椋?所以. 故答案為：11. 焦點(diǎn)弦長直線的條數(shù)不存在1條3條2條4條不存在2條4條不存在1條2條3條4條

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

本章綜合與測試

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部