1. 通過(guò)操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理；（重點(diǎn)）2. 會(huì)用尺規(guī)作角平分線(xiàn)，能運(yùn)用角的平分線(xiàn)性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.（難點(diǎn)）
角是生活中常見(jiàn)的圖形.角是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?
如果是，你能找出它的對(duì)稱(chēng)軸嗎？
如圖所示，將∠AOB對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)了什么?
角是　　 　圖形，　　 　　　　是它的對(duì)稱(chēng)軸.?
如圖 5-19，OP是∠AOB的平分線(xiàn)，點(diǎn)C是OP上的任意一點(diǎn).在∠AOB中畫(huà)出以O(shè)P所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)D和D′連接CD和CD′. （1）你認(rèn)為線(xiàn)段CD和CD′之間有什么關(guān)系?說(shuō)說(shuō)你的理由.
解：（1）CD=CD′
理由：∵OP是∠AOB的平分線(xiàn)， ∴∠AOP=∠BOP. ∵點(diǎn)D和D′關(guān)于OP所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)， ∴OD=OD′. ∵OC=OC, ∴△CDO≌△CD′O（SAS）. ∴CD=CD′.
（2）特別地，當(dāng)CD⊥OA時(shí)(如圖5-20)，CD′與OB有怎樣的位置關(guān)系?為什么?此時(shí)，線(xiàn)段CD和CD′之間還有（1）中的關(guān)系嗎?
（2）CD′⊥OB.因?yàn)辄c(diǎn)D和點(diǎn)D′關(guān)于OP所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).
線(xiàn)段CD和CD′依舊相等.
由此你能得到什么結(jié)論?
角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.?
∵OP是∠AOB的平分線(xiàn)，
PD⊥OA,PE⊥OB，
解:OB=OC.理由如下:∵點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上,OD⊥AC,OE⊥AB,∴OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°.在△BEO和△CDO中,∵∠BEO=∠CDO,OE=OD,∠EOB=∠DOC,∴△BEO≌△CDO(ASA).∴OB=OC.
例1 如圖所示，點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上，OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分別為D，E，DO，EO的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AE，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)B，C，OB與OC相等嗎？為什么？
解:過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F.∵∠C=∠D=90°,∵AE,BE分別平分∠DAB,∠ABC,∴CE=EF,DE=EF,∴CE=DE,∴E是CD的中點(diǎn).
1.如圖所示,已知∠C=∠D=90°,E是CD上的一點(diǎn),AE,BE分別平分∠DAB，∠ABC.試說(shuō)明:E是CD的中點(diǎn).
(1)應(yīng)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)時(shí),“點(diǎn)在角平分線(xiàn)上”“點(diǎn)到角兩邊的距離”兩個(gè)條件缺一不可,不能錯(cuò)用為角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊上任意點(diǎn)的距離相等.(2)由角平分線(xiàn)的性質(zhì)不用說(shuō)明三角形全等便可以直接得到線(xiàn)段相等,這是說(shuō)明線(xiàn)段相等的一個(gè)簡(jiǎn)便方法.
應(yīng)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)的兩點(diǎn)注意
如圖,已知∠AOB,如何作出它的平分線(xiàn)？
假設(shè)∠AOB 的平分線(xiàn)已作出，那么(1)這條射線(xiàn)有什么特征?(2)如何確定這條射線(xiàn)上除端點(diǎn)之外的一個(gè)點(diǎn)?用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具試一試.如果只用尺規(guī)呢?與同伴進(jìn)行交流.
需要確定的點(diǎn)是角的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，因此應(yīng)當(dāng)從角兩邊進(jìn)行“對(duì)稱(chēng)”的操作.
解：（1）這條射線(xiàn)到角兩邊的距離相等.
作法:1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.
例2 如圖，已知∠AOB，請(qǐng)用尺規(guī)作∠AOB的平分線(xiàn).
你能說(shuō)明這樣作的道理嗎？
3.作射線(xiàn)OC.射線(xiàn)OC就是∠AOB的平分線(xiàn).
2.如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（　?。〢．△ABC的三條中線(xiàn)的交點(diǎn)B．△ABC三邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)C．△ABC三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)D．△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)
1.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DB=5，BC=8，則DE的長(zhǎng)為(　　)A.3 B.4 C.5 D.6
2.如圖所示,AB∥CD,O為∠BAC,∠ACD的平分線(xiàn)的交點(diǎn), OE⊥AC于點(diǎn)E,且OE=3,則AB與CD之間的距離為(　　)A.3 B.3.5 C.4 D.6
3.如圖所示,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線(xiàn),DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,△ABC的面積是14cm2,AB=9cm,AC=5cm,則DE的長(zhǎng)是　　　　cm.?
4.如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.若BC=9,BE=3,則△BDE的周長(zhǎng)是　　　　.?
解:∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又∵DE⊥AB,BE平分∠ABC,∴CE=DE.∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∵AE+CE=AC,∴BE+DE=AC.
5.如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,交AC于點(diǎn)E,DE垂直平分AB,垂足為D.試說(shuō)明:BE+DE=AC.
解:如圖,點(diǎn)M即為所求.
6.如圖所示,在△ABC中,P是AC上的一點(diǎn),連接BP,求作一點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到AB和AC兩邊的距離相等,并且到點(diǎn)B和點(diǎn)P的距離相等.(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)

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