第2課時(shí) 線段垂直平分線的性質(zhì)及作法
※教學(xué)目標(biāo)※
1.理解線段垂直平分線的性質(zhì)。（重點(diǎn)）
2.能運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題。（難點(diǎn)）
3.會用尺規(guī)作線段的垂直平分線，了解作圖的道理。
※教學(xué)過程※
一、新課導(dǎo)入
[復(fù)習(xí)導(dǎo)入]
1.什么是軸對稱圖形？
解：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸。
2.軸對稱的性質(zhì)是什么？
解：在軸對稱圖形或兩個(gè)成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。
3.線段是軸對稱圖形嗎？
解：是。
二、新知探究
（一）線段垂直平分線的定義
[提出問題]在紙上畫一條線段，你能不用任何工具找到這條線段的對稱軸嗎？
解：1.線段本身所在的直線是它的一條對稱軸。
對折，使點(diǎn)A，B重合，折痕OC與AB相交于點(diǎn)C，折痕OC也是它的一條對稱軸。
[歸納總結(jié)]線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸。
垂直平分線的定義：
垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線（簡稱中垂線）。
（二）線段垂直平分線的性質(zhì)
[提出問題]如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C是l上的任意一點(diǎn)。在線段AB上畫出以直線l為對稱軸的一組對應(yīng)點(diǎn)D和D’，連接CD和CD’。
（1）你認(rèn)為線段CD和CD’之間有什么關(guān)系？說說你的理由。
（2）特別地，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D’位于什么位置？此時(shí)，線段CD和CD’之間還有（1）中的關(guān)系嗎？
解：（1）CD=CD’。
因?yàn)辄c(diǎn)D和點(diǎn)D’關(guān)于直線l對稱，所以O(shè)D=OD’，∠COD=∠COD’=90°。
又因?yàn)镺C=OC，所以△COD≌△COD’（SAS），所以CD=CD’。
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D’與點(diǎn)B重合，此時(shí)CD和CD’依然相等，即AC=BC。
[歸納總結(jié)]線段垂直平分線上的點(diǎn)到這兩條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
幾何語言:因?yàn)辄c(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上，所以AC=BC。
[典型例題]例1 如圖，DE是AC的垂直平分線，AB＝12厘米，BC＝10厘米，則△BCD的周長為 ( A )
A．22厘米 B．16厘米
C．26厘米 D．25厘米
解析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得CD＝AD，
故△BCD的周長為DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)。
[針對練習(xí)]
1.如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為( B )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如圖，AB是△ABC的一條邊，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC于點(diǎn)D，已知AB=8cm，BD=6cm，那么EA= 4 cm，DA= 6 cm。
（三）線段的垂直平分線的作法
[典型例題]例2 如圖，已知線段AB，請用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線。
作法：
1.分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以大于 eq \f(1,2)AB的長為半徑作弧，
兩弧相交于點(diǎn)C和D；
2.作直線CD。
直線CD就是線段AB的垂直平分線。
[針對練習(xí)]如圖，某地由于居民增多，要在公路l旁增加一個(gè)公共汽車站，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，這個(gè)公共汽車站C建在什么位置，能使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長？（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
解：如圖所示，點(diǎn)O即為所求。
解析：連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于O，交AB于E。
因?yàn)镋O是線段AB的垂直平分線，
所以點(diǎn)O到點(diǎn)A，B的距離相等。
所以這個(gè)公共汽車站C應(yīng)建在O點(diǎn)處，才能使到兩個(gè)小區(qū)的路程一樣長。
三、課堂小結(jié)
四、課堂訓(xùn)練
1.如圖，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，若△ABC的周長為16，AC＝6，則DC為（ A ）
A．5 B．8 C．9 D．10
2.如圖，∠BAC＝140°，若DM和EN分別垂直平分AB和AC，則∠DAE等于（ A ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
3.如圖，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，則四邊形ADBC的周長是 20 。
4.如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，若AE＝4，△BCD的周長是12，則△ABC的周長為 20 。
5.如圖，已知AD是△ABC的高線，AD的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)。
（1）若∠B＝40°，求∠AEF的度數(shù)；
（2）試說明∠B=12∠AED。
解：（1）因?yàn)镋F是AD的垂直平分線，
所以EF⊥AD，
因?yàn)锳D是△ABC的高線，
所以BC⊥AD，
所以EF∥BC，
所以∠AEF＝∠B＝40°。
（2）因?yàn)镋F是AD的垂直平分線，
所以EA＝ED，EF⊥AD，
所以∠AEE＝∠DEF，
由（1）可知，∠AEF＝∠B，
所以∠B=12∠AED。
6.如圖，已知點(diǎn)A，B分別在直線l異側(cè)。
（1）在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA＝PB；
（2）在直線l上求作一點(diǎn)Q，使l平分∠AQB。
（以上兩小題保留作圖痕跡，標(biāo)出必要的字母，不要求寫作法）
解：（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求。（2）如圖所示，點(diǎn)Q即為所求。
五、布置作業(yè)
※教學(xué)反思※
本課時(shí)探索線段的軸對稱性，以操作性活動以及“你發(fā)現(xiàn)了什么”的問題引入線段的軸對稱性，學(xué)生在回答“線段是軸對稱圖形”后，建議要求其說明線段的對稱軸的特點(diǎn)，為下面給出垂直平分線的定義做鋪墊。

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級下冊（2024）電子課本 新教材

2 簡單的軸對稱圖形

版本： 北師大版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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