TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc22673" 【考點(diǎn)1 方程的相關(guān)概念】 PAGEREF _Tc22673 \h 1
\l "_Tc13068" 【考點(diǎn)2 方程的解】 PAGEREF _Tc13068 \h 3
\l "_Tc22263" 【考點(diǎn)3 等式的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc22263 \h 5
\l "_Tc24076" 【考點(diǎn)4 解一元一次方程】 PAGEREF _Tc24076 \h 7
\l "_Tc2433" 【考點(diǎn)5 含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程】 PAGEREF _Tc2433 \h 9
\l "_Tc14714" 【考點(diǎn)6 解二元一次方程（組）】 PAGEREF _Tc14714 \h 12
\l "_Tc30002" 【考點(diǎn)7 同解方程（組）】 PAGEREF _Tc30002 \h 14
\l "_Tc30475" 【考點(diǎn)8 解三元一次方程組】 PAGEREF _Tc30475 \h 17
\l "_Tc19120" 【考點(diǎn)9 由實(shí)際問題抽象出一次方程】 PAGEREF _Tc19120 \h 19
\l "_Tc7077" 【考點(diǎn)10 一元一次方程的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc7077 \h 21
\l "_Tc32460" 【考點(diǎn)11 二元一次方程（組）的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc32460 \h 24
\l "_Tc26158" 【考點(diǎn)12 三元一次方程組的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26158 \h 27
【要點(diǎn)1 方程的相關(guān)概念】
1.含有未知數(shù)的等式叫做方程。
2.只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
3.含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。
4.方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，這樣的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。
【考點(diǎn)1 方程的相關(guān)概念】
【例1】（2022·云南曲靖·一模）若方程是關(guān)于x、y的二元一次方程，則ab的值為（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出關(guān)于、的二元一次方程組，解出、的值即可求出的值．
【詳解】解：∵方程是關(guān)于x、y的二元一次方程
∴
解得：
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的定義和解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）下列方程組是二元一次方程組的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．由兩個(gè)一次方程組成，并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組，即可求解．
【詳解】解：A、是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；
B、有一個(gè)方程不是整式方程，則原方程不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；
C、有一個(gè)方程的未知數(shù)的次數(shù)是2，則原方程不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；
D、有一個(gè)方程的未知數(shù)的次數(shù)是2，則原方程不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；
故答案為：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，緊扣二元一次方程組的定義“由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組”是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得答案．
【詳解】解：A．含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；
B．含有1個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；
C．含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程，屬于二元一次方程，符合題意；
D．是分式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．
【變式1-3】（2022·貴州·一模）已知關(guān)于的方程是一元一次方程，則方程的解為（ ）
A．-2B．2C．-6D．-1
【答案】D
【分析】利用一元一次方程的定義確定出k的值，進(jìn)而求出k的值即可．
【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元一次方程，
∴ ，
解得：k=-2，方程為-4x=-2+6，
解得：x=-1，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)2 方程的解】
【例2】（2022·山東聊城·中考真題）關(guān)于，的方程組的解中與的和不小于5，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由兩式相減，得到，再根據(jù)x 與 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【詳解】解：把兩個(gè)方程相減，可得，
根據(jù)題意得：，
解得：．
所以的取值范圍是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·廣西·中考真題）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【答案】C
【分析】先移項(xiàng)再合并同類項(xiàng)即可得結(jié)果；
【詳解】解：3x＝2x＋7
移項(xiàng)得，3x-2x=7；
合并同類項(xiàng)得，x＝7；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步驟是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是________．
【答案】
【分析】先根據(jù)是關(guān)于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代數(shù)式變形為，把整體代入即可求值．
【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
故答案為：14．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·浙江·寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）若是二元一次方程組的解，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第________象限．
【答案】二
【分析】將x=a，y=b代入二元一次方程組求出a、b的值，再把a(bǔ)、b的值代入，得到一次函數(shù)解析式，根據(jù)a、b的符號(hào)判定一次函數(shù)圖象不經(jīng)過的象限．
【詳解】∵是二元一次方程的解，
∴，解得，，
∴y=3x-1，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一，三，四象限，
∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限．
故答案為：二．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程組的解，解方程組，一次函數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握方程組解的定義和性質(zhì)，解方程組的一般方法，一次函數(shù)的性質(zhì)．
【要點(diǎn)2 等式的性質(zhì)】
性質(zhì)1：若a=b，則a±c=b±c。等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。
性質(zhì)2：若a=b，則ac=bc；(c≠0)。等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。
【考點(diǎn)3 等式的性質(zhì)】
【例3】（2022·青海·中考真題）下列說法中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性質(zhì)以及結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)分析得出答案．
【詳解】解：A、若ac=bc，當(dāng)c≠0，則a=b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、若，則，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、若，則，故此選項(xiàng)正確；
D、若，則，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，正確把握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：去分母得，那么其變形的依據(jù)是（ ）
A．等式的性質(zhì)1B．等式的性質(zhì)2C．分式的基本性質(zhì)D．不等式的性質(zhì)2
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案．
【詳解】解：去分母得，其變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，等式仍然成立．
【變式3-2】（2022·四川·梓潼縣教育研究室二模）有8個(gè)球編號(hào)是①至⑧，其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)都輕1克，為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重．那么，兩個(gè)輕球的編號(hào)是（ ）
A．③④B．③⑥C．③⑤D．④⑤
【答案】D
【分析】根據(jù)第一次①+②比③+④重，可得③與④中至少有一個(gè)輕球，再由第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，可得⑤與⑥至少有一個(gè)輕球，然后第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，可得④是輕球，即可求解．
【詳解】解：∵第一次①+②比③+④重，
∴③與④中至少有一個(gè)輕球，
∵第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，
∴⑤與⑥至少有一個(gè)輕球，
∵第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，
∴④是輕球，
∴另一個(gè)輕球?yàn)棰荩?br>∴兩個(gè)輕球的編號(hào)是④⑤．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查的是推理與論證，靈活應(yīng)用等式性質(zhì)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．
例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：
設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令，
等式兩邊都乘以x，得．①
等式兩邊都減，得．②
等式兩邊分別分解因式，得．③
等式兩邊都除以，得．④
等式兩邊都減m，得x＝0.⑤
所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.
以上推理過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．
【答案】④
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2即可得到結(jié)論．
【詳解】等式的性質(zhì)2為：等式兩邊同乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式不變，
∴第④步等式兩邊都除以，得，前提必須為，因此錯(cuò)誤；
故答案為：④．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【要點(diǎn)3 解方程的一般步驟】
1.解一元一次方程的一般步驟
①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1。
2、解二元一次方程組的方法
①代入消元法；②加減消元法。
代入消元法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。
加減消元法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。
【考點(diǎn)4 解一元一次方程】
【例4】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號(hào)，得②
移項(xiàng)，得③
合并同類項(xiàng)，得④
以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行檢查，即可得出答案．
【詳解】解：方程兩邊同乘6，得①
∴開始出錯(cuò)的一步是①，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項(xiàng)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2022·海南·中考真題）若代數(shù)式的值為6，則x等于（ ）
A．5B．C．7D．
【答案】A
【分析】根據(jù)代數(shù)式的值為6列方程計(jì)算即可．
【詳解】∵代數(shù)式的值為6
∴，解得
故選：A
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，根據(jù)題意列方程是解本題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·云南昆明·二模）某校圖書閱覽室按如圖所示的規(guī)律擺放桌椅（矩形表示桌子，圓點(diǎn)表示椅子），八年級(jí)（3）班42人到這個(gè)閱覽室參加讀書活動(dòng)恰好坐滿，需要桌子_________張．
【答案】18
【分析】根據(jù)擺放規(guī)律得出桌子數(shù)與座位數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：設(shè)桌子數(shù)為n，根據(jù)桌子擺放的規(guī)律，可得座位數(shù)為2n+6，
∵學(xué)生人數(shù)為42人，且剛好坐滿，
∴2n+6=42，解得：n=18，
∴需要桌子18張，
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探究、解一元一次方程，理解題意，找到擺放規(guī)律是解答的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程#＝3時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)#被污染了；
(1)嘉淇猜#是2，請(qǐng)解一元一次方程；
(2)若老師告訴嘉淇這個(gè)方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由題意得方程，按解一元一次方程的一般步驟求解即可；
（2）設(shè)被污染的正整數(shù)為m，得方程，求解得，再根據(jù)解是正整數(shù)求解即可．
（1）
解：，
去分母，得；
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得；
系數(shù)化為1，得．
（2）
解：設(shè)被污染的正整數(shù)為m，
則有，
解之得，，
∵是正整數(shù)，且m為正整數(shù)，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)5 含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程】
【例5】（2022·江蘇揚(yáng)州·一模）若|x|＋|x﹣4|＝8，則x的值為（ ）
A．﹣2B．6C．﹣2或6D．以上都不對(duì)
【答案】C
【分析】根據(jù)x的取值范圍x≤0、0＜x≤4、x＞4三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：當(dāng)x≤0時(shí)，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：-x+4-x=8，解得：x=-2；
當(dāng)0＜x≤4時(shí)，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+4-x=8，解得：x無(wú)解；
當(dāng)x＞4時(shí)，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+x-4=8，解得：x=6；
所以x=-2或6，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值及解方程，理解絕對(duì)值的意義是正確解答的前提，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·重慶南開中學(xué)三模）若關(guān)于的方程只有一個(gè)負(fù)根，則的取值范圍是_．
【答案】
【分析】分別確定x為正，x為負(fù)時(shí)a的取值，然后即可確定a的范圍．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程是：
解得：，根據(jù)題意得：，
解得：，此時(shí)有正根，
則時(shí)有負(fù)根，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，根據(jù)題意，
解得：，
綜上所述；時(shí)，方程只有一個(gè)負(fù)根．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值方程的解法，正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)關(guān)于的方程（1）
考慮如下說法：①當(dāng)取某些值時(shí)，方程（1）有兩個(gè)整數(shù)解；
②對(duì)某個(gè)有理數(shù)，方程（1）有唯一的整數(shù)解；
③當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，方程（1）沒有整數(shù)解；
④不論為何值時(shí)，方程（1）至多有4個(gè)整數(shù)解．
其中正確的說法的序號(hào)是 __．
【答案】①③④
【分析】根據(jù)題意,當(dāng)時(shí)；原式，即；當(dāng)時(shí)；原式，為中的任意實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)；原式，即；進(jìn)而代入每個(gè)序號(hào)中，即可求解．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)；原式，即；
當(dāng)時(shí)；原式，即，為中的任意實(shí)數(shù)；
當(dāng)時(shí)；原式，即；
①例如：時(shí)，或，故當(dāng)取某些值時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)解，故①正確；
②例如：時(shí)，或，對(duì)某個(gè)有理數(shù)，方程的整數(shù)解不止一個(gè)，故②錯(cuò)誤；
③∵或，只有與為整數(shù)時(shí)，才能為整數(shù)；即只有為整數(shù)時(shí)，才能為整數(shù)，故當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，方程沒有整數(shù)解，故③正確；
④∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；為中的任意實(shí)數(shù)，在此范圍的整數(shù)有2個(gè)；當(dāng)時(shí)， ；
∴不論為何值時(shí)，方程至多有4個(gè)整數(shù)解，故④正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，解一元一次方程，代數(shù)式求值，求得的值是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·廣東·佛山市南海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）已知為實(shí)數(shù)，討論方程解的情況．
【答案】方程有解，方程無(wú)解
【分析】令，，，得，，，再分四段討論解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原方程為，
，
即，
解得時(shí)有解，，否則無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，原方程等價(jià)于，
時(shí)，解為：．否則無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，原方程等價(jià)于，
，
即時(shí)有解，
解得，有解：，否則無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，原方程等價(jià)于，
，
即時(shí)有解，此時(shí)：，有解：，否則無(wú)解.
綜上所述：方程有解，方程無(wú)解．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解含字母的一元一次方程，注意分段討論，不能丟解．
【考點(diǎn)6 解二元一次方程（組）】
【例6】（2022·湖南株洲·中考真題）對(duì)于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將①式代入②式消去去括號(hào)即可求得結(jié)果．
【詳解】解：將①式代入②式得，
，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：
【答案】
【分析】整理方程組得，繼而根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解．
【詳解】解：整理方程組得，
得，
y=1，
把y=1代入①得，
解得x=5，
∴方程組的解為.
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·河北唐山·一模）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，規(guī)定運(yùn)算“”如下：．
(1)當(dāng)，時(shí)，求的值；
(2)若，，求與的值．
【答案】(1)-5
(2)的值為2，的值為2
【分析】（1）根據(jù)規(guī)定運(yùn)算“※”，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）根據(jù)題意可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
（1）
當(dāng)a=3，b=4時(shí)，
∴1※（-2）
=3×1+4×（-2）
=3+（-8）
=-5，
∴1※（-2）的值為-5；
（2）
∵5※3=16，2※（-3）=-2，
∴，
①+②得：2a+5a=14
解得a=2，
把a(bǔ)=2代入①得：10+3b=16，
解得b=2，
∴原方程組的解為，
∴a的值為2，b的值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程的步驟，以及理解材料中規(guī)定的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2022·四川綿陽(yáng)·二模）若整數(shù)x，y滿足方程組，且，，則m的最大值為（ ）
A．0B．-1C．-2D．-3
【答案】B
【分析】先解方程組得到，進(jìn)而得出m關(guān)于x的二次函數(shù)，改為頂點(diǎn)式，找出對(duì)稱軸，再根據(jù)x的取值范圍即可求出m的最大值．
【詳解】解：
①-②得，
，
，
，
，
由①得，
將代入得，
，
關(guān)于x的函數(shù)圖像為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，
或時(shí)，對(duì)應(yīng)的m值相等，
且x是整數(shù)，
或時(shí)，m取最大值，最大值，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程組和求二次函數(shù)的最值，有一定難度，解題的關(guān)鍵時(shí)通過解方程組得到x與y的關(guān)系，進(jìn)而得到m關(guān)于x的二次函數(shù)．
【考點(diǎn)7 同解方程（組）】
【例7】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x，y的二元一次方程組和有相同的解，
求：（1）這兩個(gè)方程組的解；
（2）代數(shù)式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由兩個(gè)方程組同解可得，解方程組可得答案；
（2）把代入兩個(gè)系數(shù)未知的方程可得：，解方程組求解的值，即可得到答案．
【詳解】解：（1）由題意得：
①+②得：

把代入①得：


所以這兩個(gè)方程組的解是：
（2）把代入可得：
，
③④得：

把代入③得：

所以：
【點(diǎn)睛】本題考查的是同解方程，二元一次方程組的解法，代數(shù)式的值，乘方符號(hào)的確定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022·上海楊浦·二模）若關(guān)于的方程的解與方程的解相同，則的值為 __．
【答案】4
【分析】解方程得，把代入即可求解．
【詳解】解：，解得，
∵方程的解與方程的解相同，
∴是方程的解，
把代入方程，
∴，解得．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，掌握移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）若方程與方程的解相同，則a的值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程,根據(jù)這一定義，可先解第一個(gè)方程，將解代入第二個(gè)方程，得到關(guān)于的一元一次方程，解方程即可．
【詳解】解：解方程：

故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，利用了同解方程的定義得出關(guān)于a的一元一次方程是解題關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知方程組的解是，則關(guān)于x，y的方程組的解是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合的形式得到，從而求解．
【詳解】解：∵方程組的解是，
∴，
∴由方程組可得：，
∴的解為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解的定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．同時(shí)考查了二元一次方程組的解的求法．
【考點(diǎn)8 解三元一次方程組】
【例8】（2022·江蘇南京·中考模擬）已知 ，那么x：y：z為（ ）
A．2：（﹣1）：3B．6：1：9C．6：（﹣1）：9D．
【答案】C
【詳解】分析：將z看成已知數(shù)，表示出x與y，即可求出x：y：z．
詳解：方程組整理得：,
①-②得：3x=2z，即x=z，
將x=z代入②得：y=-z，
則x：y：z=z：（-z）：z=6：（-1）：9．
故選C．
點(diǎn)睛：此題考查了解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是將z看著已知數(shù)．
【變式8-1】（2022·廣東東莞·中考模擬）已知，，求的值．
【答案】
【分析】將看作常數(shù)解方程組得，再代入分式計(jì)算可得．
【詳解】解：由題意知，
①②，得：，，
將代入①，得：，；
所以方程組的解為，
將、代入得：
原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分母有理化、完全平方公式及解三元一次方程組．
【變式8-2】（2022·仁壽縣長(zhǎng)平初級(jí)中學(xué)校（四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)初中部）一模）已知：，，．求代數(shù)式a＋b＋c的值．
【答案】6
【分析】先將每個(gè)等式求倒數(shù)，然后組成方程組，用(①+②+③)÷2得
，然后用④分別減①②③求解即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
(①+②+③)÷2得：
，
④-①得，解得c=3，
④-②，解得b=2，
④-③，解得a=1，
∴a＋b＋c=1+2+3=6．
【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，求代數(shù)式的值，掌握倒數(shù)法解方程組是解題關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是從這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，若，，則中為0的個(gè)數(shù)_______．
【答案】165．
【詳解】試題分析：首先根據(jù)（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2得到a12+a22+…+a20142+2152，然后設(shè)有x個(gè)1，y個(gè)-1，z個(gè)0，得到方程組，解方程組即可確定正確的答案．
試題解析：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014
=a12+a22+…+a20142+2×69+2014
=a12+a22+…+a20142+2152，
設(shè)有x個(gè)1，y個(gè)-1，z個(gè)0
化簡(jiǎn)得x-y=69，x+y=1849，
解得x=959，y=890，z=165
∴有959個(gè)1，890個(gè)-1，165個(gè)0，
考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
【考點(diǎn)9 由實(shí)際問題抽象出一次方程】
【例9】（2022·貴州六盤水·中考真題）我國(guó)“DF－41型”導(dǎo)彈俗稱“東風(fēng)快遞”，速度可達(dá)到26馬赫（1馬赫＝340米/秒），則“DF－41型”導(dǎo)彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標(biāo)？設(shè)飛行分鐘能打擊到目標(biāo)，可以得到方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合單位的換算，根據(jù)路程=速度時(shí)間建立方程即可得．
【詳解】解：因?yàn)?分鐘秒，1公里米，
所以可列方程為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式9-1】（2022·江蘇南通·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢。問人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為___________．
【答案】5x+45=7x-3
【分析】根據(jù)“若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢”，即可得出關(guān)于x的方程，此題得解．
【詳解】解：依題意，得：5x+45=7x-3．
故答案為：5x+45=7x-3．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2022·山東日照·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長(zhǎng)多少尺？可設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則所列方程組正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】解：設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，
由題意可得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．
【變式9-3】（2022·廣東深圳·中考真題）張三經(jīng)營(yíng)了一家草場(chǎng)，草場(chǎng)里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據(jù)“賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．”列出方程組，即可求解．
【詳解】解：設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據(jù)題意得：
．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)10 一元一次方程的應(yīng)用】
【例10】（2022·湖南岳陽(yáng)·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城中有多少戶人家？在這個(gè)問題中，城中人家的戶數(shù)為（ ）
A．25B．75C．81D．90
【答案】B
【分析】設(shè)城中有戶人家，利用鹿的數(shù)量城中人均戶數(shù)城中人均戶數(shù)，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)城中有戶人家，
依題意得：，
解得：，
∴城中有75戶人家．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2022·山東東營(yíng)·中考真題）植樹節(jié)當(dāng)天，七年級(jí)1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的，七年級(jí)2班植樹棵數(shù)是這批樹苗總數(shù)的，則七年級(jí)2班植樹的棵數(shù)是（ ）
A．36B．60C．100D．180
【答案】C
【分析】設(shè)這批樹苗一共有x棵，根據(jù)七年級(jí)1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)這批樹苗一共有x棵，
由題意得：，
解得，
∴七年級(jí)2班植樹的棵數(shù)是棵，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某公司專業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，6月初（當(dāng)月月歷如圖）接到一份求購(gòu)5000件該產(chǎn)品的訂單，要求本月底完成，7月1日按期交貨．
經(jīng)盤點(diǎn)目前公司已有該產(chǎn)品庫(kù)存2855件，補(bǔ)充原材料后，從本月7日開始生產(chǎn)剩余數(shù)量的該產(chǎn)品，已知該公司除周六、周日正常休息外，每天的生產(chǎn)量相同．但因受高溫天氣影響，從本月10日開始，每天的生產(chǎn)量比原來(lái)減少了25件，截止到17日生產(chǎn)結(jié)束，庫(kù)存總量達(dá)3830件．如果按照10日開始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，能否按期完成訂單？請(qǐng)說明理由．如果不能，請(qǐng)你給該公司生產(chǎn)部門提出一個(gè)合理的建議，以確保能按期交貨．
【答案】不能，理由見解析，為確保按期交貨，從20日開始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件
【分析】設(shè)10日開始每天生產(chǎn)量為件，根據(jù)題意列出一元一次方程，繼而根據(jù)，如果按照公司10日開始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，截止月底生產(chǎn)的天數(shù)為9天，列出一元一次不等式，求得從20日開始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件，即可求解．
【詳解】解：設(shè)10日開始每天生產(chǎn)量為件，
根據(jù)題意，得．
解得，．
如果按照公司10日開始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，截止月底生產(chǎn)的天數(shù)為9天，
因此該公司9天共可生產(chǎn)900件產(chǎn)品．
因?yàn)椋圆荒馨雌谕瓿捎唵危?br>由，
所以為確保按期交貨，從20日開始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程與不等式是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）某運(yùn)輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運(yùn)往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運(yùn)輸成本如下表：
(1)求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；
(2)如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運(yùn)往B地．設(shè)甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運(yùn)輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．
①寫出w與t之間的函數(shù)解析式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，w最??？最小值是多少？
【答案】(1)甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛
(2)①；②t＝4時(shí)，w最小＝22 700元
【分析】（1）設(shè)甲種貨車用x輛，則乙種貨車用（24－x）輛．根據(jù)題意列一元一次方程即可求解；
（2）①根據(jù)表格信息列出w與t之間的函數(shù)解析式；
②根據(jù)所運(yùn)物資不少于160噸列出不等式，求得的范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值即可．
（1）
（1）設(shè)甲種貨車用x輛，則乙種貨車用（24－x）輛．根據(jù)題意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛．
（2）
①．
②
∵50>0，
∴w隨t的減小而減?。?br>∴當(dāng)t＝4時(shí)，w最?。?0×4＋22500＝22700（元）．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程，不等式與一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)11 二元一次方程（組）的應(yīng)用】
【例11】（2022·浙江衢州·中考真題）某班環(huán)保小組收集廢舊電池，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表．問1節(jié)5號(hào)電池和1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量分別是多少？設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為克，列方程組，由消元法可得的值為（ ）
A．12B．16C．24D．26
【答案】C
【分析】根據(jù)表格建立二元一次方程組，用消元法即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為克，
根據(jù)表格得 ,
由-得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程組是解本題的關(guān)鍵．
【變式11-1】（2022·黑龍江·中考真題）國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．某班同學(xué)報(bào)名參加書法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長(zhǎng)為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場(chǎng)購(gòu)買毛筆和圍棋（兩種都購(gòu)買）共花費(fèi)360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購(gòu)買方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】設(shè)設(shè)購(gòu)買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)即可得出購(gòu)買方案的數(shù)量．
【詳解】解：設(shè)購(gòu)買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)題意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-x．
又∵x，y均為正整數(shù)，
∴或或或或，
∴班長(zhǎng)有5種購(gòu)買方案．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系“共花費(fèi)360元”，列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式11-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個(gè)粽子，B種食品盒每盒裝10個(gè)粽子，若現(xiàn)將200個(gè)粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（ ）
A．2種B．3種C．4種D．5種
【答案】C
【分析】設(shè)使用A食品盒x個(gè)，使用B食品盒y個(gè)，根據(jù)題意列出方程，求解即可．
【詳解】設(shè)使用A食品盒x個(gè)，使用B食品盒y個(gè)，
根據(jù)題意得，8x+10y=200，
∵x、y都為正整數(shù)，
∴解得，，，，
∴一共有4種分裝方式；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是明確題意列出方程．
【變式11-3】（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．
(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；
(2)若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？
(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．
【答案】(1)購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元
(2)共有6種進(jìn)貨方案
(3)當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元
【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式組進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元，求出W和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（1）
設(shè)A種紀(jì)念品單價(jià)為a元，B種紀(jì)念品單價(jià)為b元
根據(jù)題意，得 解得
∴購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元.
（2）
設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品y個(gè)
根據(jù)題意，得
變形得
由題意得：
由①得：
由②得：
∴
∵x，y均為正整數(shù)
∴x可取的正整數(shù)值是150，152，154，156，158，160
與x相對(duì)應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25，24，23，22，21，20
∴共有6種進(jìn)貨方案.
（3）
設(shè)總利潤(rùn)為W元
則
∵
∴W隨x的增大而增大
∴當(dāng)時(shí)，W有最大值：（元）
∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出二元一次方程組，一元一次不等式組，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)12 三元一次方程組的應(yīng)用】
【例12】（2022·重慶市開州區(qū)德陽(yáng)初級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在剛剛結(jié)束的端午節(jié)中，商家為了實(shí)現(xiàn)銷售額提升拓展途徑．某商家推出了三種禮盒進(jìn)行售賣，某商家將甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋共個(gè)，搭配為，，三種禮盒各一個(gè)，其中盒中有個(gè)甜味粽，個(gè)肉餡粽，個(gè)咸鴨蛋；盒中甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之和等于肉餡粽的數(shù)量，甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之比為；盒中有個(gè)甜味粽，個(gè)肉餡粽，個(gè)咸鴨蛋．經(jīng)核算，盒的成本為元，盒的成本為元（每種禮盒的成本為該盒中甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋的成本之和），則盒的成本為______元．
【答案】
【分析】根據(jù)題意確定禮盒各種物品的數(shù)量，設(shè)出三種物品的價(jià)格列出方程組，進(jìn)而可求盒的成本．
【詳解】解：∵甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋共個(gè)；盒中有個(gè)甜味粽，個(gè)肉餡粽，個(gè)咸鴨蛋；盒中有個(gè)甜味粽，個(gè)肉餡粽，個(gè)咸鴨蛋，
∴盒中甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋共（個(gè)），
∵盒中甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之和等于肉餡粽的數(shù)量，甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之比為，
∴盒中有肉餡粽（個(gè)），
甜味粽有（個(gè)），
咸鴨蛋有（個(gè)）；
設(shè)甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋的成本價(jià)分別為元，元，元，則盒的成本為元，依題意得：
3×②－4×①，得：
，
∴，
∴盒的成本為元．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查三元一次方程組的應(yīng)用，列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，運(yùn)用了整體代入的思想．解題關(guān)鍵是根據(jù)題目信息求出盒中甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋的數(shù)量從而列出代數(shù)式表示盒的成本，并根據(jù)題意列出方程組．
【變式12-1】（2022·北京平谷·二模）明明和麗麗去書店買書，若已知明明買了A、B兩本書共花費(fèi)100.5元，麗麗買了A、C兩本書共花費(fèi)88.5元，則B書比C書貴___________元；若又知B、C兩本書的總價(jià)錢恰好等于A書的價(jià)錢，則A、B、C三本書的總價(jià)錢為___________．
【答案】 12 126
【分析】設(shè)A、B、C書的單價(jià)分別是x、y、z元，根據(jù)題意可得三元一次方程組，解方程組即可求解．
【詳解】設(shè)A、B、C書的單錢分別是x、y、z元，根據(jù)題意可得：
∴（元），
即B書比C書貴12元，
∵，
∴
整理得：，
解得：，
∴
解得：
∴A、B、C三本書的總價(jià)錢為（元），
故答案為：12；126．
【點(diǎn)睛】本題考查三元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，正確解讀題意，找出等量關(guān)系列出方程組．
【變式12-2】（2022·重慶南開中學(xué)三模）端午節(jié)將至，某商店推出“情有獨(dú)粽”“我最出粽”“年年高粽”三種粽子，定價(jià)分別為7元/個(gè)、8元/個(gè)、9元/個(gè)；甲、乙、丙、丁四人分別去該商店采購(gòu)了一些粽子，買完后發(fā)現(xiàn)，“情有獨(dú)粽”買的數(shù)量甲、乙相同，丙、丁也相同；“我最出粽”買的數(shù)量甲、丁相同，乙、丙也相同；“年年高粽”買的數(shù)量甲、丙相同，乙、丁也相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了100元，丙一共花了97元，若每人買的每種粽子數(shù)量都不超過10個(gè)，則丁花了______元．
【答案】47
【分析】設(shè)甲乙購(gòu)買“情有獨(dú)粽”的數(shù)量比丙丁多個(gè)，甲丁購(gòu)買“我最出粽”的數(shù)量比乙丙多y個(gè)，甲丙購(gòu)買“年年高粽”的數(shù)量比乙丁多個(gè)，根據(jù)題意列三元一次方程組并求解，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲乙購(gòu)買“情有獨(dú)粽”的數(shù)量比丙丁多個(gè)，甲丁購(gòu)買“我最出粽”的數(shù)量比乙丙多y個(gè)，甲丙購(gòu)買“年年高粽”的數(shù)量比乙丁多個(gè)，
∴甲比乙多購(gòu)買的粽子為：“我最出粽”y個(gè)“年年高粽”個(gè)，
乙比丙多購(gòu)買的粽子為：“情有獨(dú)粽”個(gè)“年年高粽”個(gè)，
甲比丙多購(gòu)買的粽子為：“情有獨(dú)粽”個(gè)“我最出粽”y個(gè)，
∴
∵每個(gè)人購(gòu)買的每種粽子均不超過10個(gè)，即
∴的解為：，或，
的解為：，或，
∴
∴丁花了：元
故答案為：47．
【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三元一次方程組的性質(zhì)，從而完成求解．
【變式12-3】（2022·重慶巴蜀中學(xué)三模）現(xiàn)有A、B、C三個(gè)容器裝有不同濃度的三種鹽水，其濃度之比為1:2:3．若將A容器中的鹽水取出20kg倒入B容器中，將C容器中的鹽水取出10kg也倒入B容器中，再將A容器中剩下的的鹽水倒入C容器中，這時(shí)發(fā)現(xiàn)B容器和C容器中的鹽水濃度一樣．又若在原C容器鹽水中加入與原C容器相同濃度的鹽水25kg后，其溶質(zhì)正好是原A容器鹽水取出5kg鹽水后溶質(zhì)的3倍．則原A容器鹽水質(zhì)量的3倍與原C容器鹽水質(zhì)量之和比原B容器鹽水質(zhì)量的4倍多______kg．
【答案】
【分析】由題意可設(shè)設(shè)A、B、C的濃度分別為、和，A、B、C三個(gè)容器的質(zhì)量分別為、和，根據(jù)題意，利用，列出兩個(gè)等量關(guān)系，在利用等量關(guān)系即可求得的值，即可求得答案．
【詳解】解：由A、B、C三個(gè)容器三種鹽水的濃度之比為1:2:3，設(shè)A、B、C的濃度分別為、和，A、B、C三個(gè)容器的質(zhì)量分別為、和，由題意得，
，
整理得，
交叉相乘得，
去括號(hào)得，
整理得，
又，即，
由①式和 ②式可得，
，
得，
則，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程的實(shí)際應(yīng)用、已知式子的值求代數(shù)式的值問題，解題的關(guān)鍵根據(jù)，公式找出等量關(guān)系列出方程求解． 日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
貨車類型
載重量（噸/輛）
運(yùn)往A地的成本（元/輛）
運(yùn)往B地的成本（元/輛）
甲種
16
1200
900
乙種
12
1000
750
5號(hào)電池（節(jié)）
7號(hào)電池（節(jié)）
總質(zhì)量（克）
第一天
2
2
72
第二天
3
2
96

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