本節(jié)主要考查基本的計算能力和簡單的應(yīng)用，中考以容易題為主，題型多為選擇題、填空題和解答題。
考標(biāo)要求
1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，會解一元一次方程；
2.了解二元一次方程組的定義，會用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組；
考點精講
3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會方程思想和轉(zhuǎn)化思想.
考點1：等式的基本性質(zhì)
1.等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等，
即如果a=b，那么a±c=b±c
2.等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，
即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（c≠0）,那么
考點2：一元一次方程
考點3：二元一次方程組
1.定義：含有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程組
2.解法基本思想：消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程
（1）代入消元法：當(dāng)方程組中一個方程的常數(shù)項為0或者方程組中某個未知數(shù)的系數(shù)為1或-1時，用代入消元法比較簡單
（2）加減消元法：當(dāng)兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)相同、互為相反數(shù)或成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系時，用加減消元法比較簡單
考點4：一次方程（組）應(yīng)用
(1)審清題意，搞清楚什么是條件，求什么
(2)設(shè)未知數(shù)(直接設(shè)未知數(shù)，問什么就設(shè)什么；或間接設(shè)未知數(shù))
(3)找出能夠包含未知數(shù)的等量關(guān)系(一般情況下設(shè)幾個未知數(shù)，就找?guī)讉€等量關(guān)系)
(4)列出方程(組)
(5)求出方程(組)的解
(6)檢驗(看是否符合題意)
(7)寫出答案(包括單位名稱)
母題精講
【典例1】（2022?柳州）解方程組：．
【解答】解：①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
將x＝3代入②得：6+y＝7，
∴y＝1．
∴原方程組的解為：．
【典例2】（2020秋?原州區(qū)期末）希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3﹣﹣4世紀(jì)）的墓碑上記載著：
“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長起了細(xì)細(xì)的胡須；他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世常辭了．”
根據(jù)以上信息，請你求出：
（1）丟番圖的壽命；
（2）兒子死時丟番圖的年齡．
【解答】解：（1）設(shè)丟番圖的壽命為x歲，
依題意得：x+x+x+5+x+4＝x，
解得：x＝84．
答：丟番圖的壽命為84歲．
（2）84﹣4＝80（歲）．
答：兒子死時丟番圖的年齡為80歲．
【典例3】（2021?桂林）為了美化環(huán)境，建設(shè)生態(tài)桂林，某社區(qū)需要進行綠化改造，現(xiàn)有甲、乙兩個綠化工程隊可供選擇，已知甲隊每天能完成的綠化改造面積比乙隊多200平方米，甲隊與乙隊合作一天能完成800平方米的綠化改造面積．
（1）甲、乙兩工程隊每天各能完成多少平方米的綠化改造面積？
（2）該社區(qū)需要進行綠化改造的區(qū)域共有12000平方米，甲隊每天的施工費用為600元，乙隊每天的施工費用為400元，比較以下三種方案：
①甲隊單獨完成；②乙隊單獨完成；③甲、乙兩隊全程合作完成．
哪一種方案的施工費用最少？
【解答】解：（1）設(shè)乙工程隊每天能完成x平方米的綠化改造面積，則甲工程隊每天能完成（x+200）平方米的綠化改造面積，
依題意得：x+200+x＝800，
解得：x＝300，
∴x+200＝300+200＝500．
答：甲工程隊每天能完成500平方米的綠化改造面積，乙工程隊每天能完成300平方米的綠化改造面積．
（2）選擇方案①所需施工費用為600×＝14400（元）；
選擇方案②所需施工費用為400×＝16000（元）；
選擇方案③所需施工費用為（600+400）×＝15000（元）．
∵14400＜15000＜16000，
∴選擇方案①的施工費用最少．
【典例4】（2012秋?北侖區(qū)期末）某種原料的價格為每噸1000元，用該原料制成產(chǎn)品后原料將損耗25%，產(chǎn)品的價格是每噸8000元，如圖，長青化工廠與A、B兩地游公路、鐵路相連．這家工廠從A地購買一批原料運回工廠，將原料制成產(chǎn)品后全部運往B地．已知公路運價為1.5元/（噸?千米），鐵路運價為1.2元/（噸?千米）．
（1）若設(shè)購買原料x噸，則可制成產(chǎn)品 噸；
（2）若兩次運輸共支出公路運輸費和鐵路運輸費112200元，求該工廠從A地購買了多少噸原料？制成運往B地的產(chǎn)品多少噸？
（3）在（2）的條件下，這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？
【解答】解：（1）∵用該原料制成產(chǎn)品后原料將損耗25%，
∴購買原料x噸，則可制成產(chǎn)品75%x噸；
故答案為：75%x；
（2）由題意得出：1.5（10x+20×75%x）+1.2（120x+110×75%x）＝112200，
整理得出：280.5x＝112200，
解得：x＝400，則75%x＝300，
答：從A地購買了400噸，制成運往B地的產(chǎn)品300噸；
（3）依據(jù)題意得出：
300×8000﹣400×1000﹣112200＝1887800，
∴這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多1887800元．
【典例5】（2021?賀州）為了提倡節(jié)約用水，某市制定了兩種收費方式：當(dāng)每戶每月用水量不超過12m3時，按一級單價收費；當(dāng)每戶每月用水量超過12m3時，超過部分按二級單價收費．已知李阿姨家五月份用水量為10m3，繳納水費32元．七月份因孩子放假在家，用水量為14m3，繳納水費51.4元．
（1）問該市一級水費，二級水費的單價分別是多少？
（2）某戶某月繳納水費為64.4元時，用水量為多少？
【解答】解：（1）設(shè)該市一級水費的單價為x元，二級水費的單價為y元，
依題意得：，
解得：．
答：該市一級水費的單價為3.2元，二級水費的單價為6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超過12m3．
設(shè)用水量為am3，
依題意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：當(dāng)繳納水費為64.4元時，用水量為16m3．
【典例6】（2018?長沙）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，對部分品牌粽子進行打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？
（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？
【解答】解：（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）＝3120（元）．
答：打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了3120元．
真題精選

命題1 一次方程（組）的解法
1．（2022?青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（ ）
A．若＝，則a＝bB．若ac＝bc，則a＝b
C．若a2＝b2，則a＝bD．若﹣x＝6，則x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：A、若＝，則a＝b，故A符合題意；
B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；
C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；
D、﹣x＝6，則x＝﹣18，故D不符合題意；
故選：A．
2．（2022?黔西南州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同類項，得x＝﹣4④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【解答】解：方程兩邊同乘6應(yīng)為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出錯的步驟為：①，
故選：A．
3．（2021?溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣xB．﹣4x+2＝﹣xC．﹣4x﹣1＝xD．﹣4x﹣2＝x
【答案】D
【解答】解：根據(jù)乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括號得：﹣4x﹣2＝x，
故選：D．
4．（2022?株洲）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x﹣1＝7B．x+2x﹣2＝7C．x+x﹣1＝7D．x+2x+2＝7
【答案】B
【答案】B
【解答】解：，將①式代入②式，
得x+2（x﹣1）＝7，
∴x+2x﹣2＝7，
故選：B．
5．（2022?隨州）已知二元一次方程組，則x﹣y的值為 ．
【答案】1
【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二個方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
將y＝1代入第一個方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案為：1；
解法二：∵，
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案為：1．
6．（2022?桂林）解二元一次方程組：．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，
∴y＝1，
∴原方程組的解為：．
命題1 一次方程（組）的應(yīng)用
7．（2022?營口）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解答】解：依題意得：240x﹣150x＝150×12．
故選：D．
8．（2022?銅仁市）為了增強學(xué)生的安全防范意識，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識搶答賽，搶答題一共20個，記分規(guī)則如下：每答對一個得5分，每答錯或不答一個扣1分．小紅一共得70分，則小紅答對的個數(shù)為（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解答】解：設(shè)小紅答對的個數(shù)為x個，
由題意得5x﹣（20﹣x）＝70，
解得x＝15，
故選：B．
9．（2022?十堰）我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5D．+＝5
【答案】A
【解答】解：設(shè)清酒x斗，則醑酒（5﹣x）斗，
由題意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故選：A．
10．（2022?貴陽）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”．如：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，即可表示方程x+4y＝23，則表示的方程是 ．
【答案】x+2y＝32
【解答】解：根據(jù)題知：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，
一個豎線表示一個，一條橫線表示一十，
所以該圖表示的方程是：x+2y＝32．
11．（2022?張家界）中國“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開通后，張家界到懷化的運行時間由原來的3.5小時縮短至1小時，運行里程縮短了40千米．已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時快200千米，求高鐵的平均速度．
【解答】解：設(shè)高鐵的平均速度為xkm/h，則普通列車的平均速度為（x﹣200）km/h，
由題意得：x+40＝3.5（x﹣200），
解得：x＝296，
答：高鐵的平均速度為296km/h．
12．（2022?重慶）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；
（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．
【解答】解：（1）設(shè)乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為1.2x千米/時，
依題意得：×1.2x＝2+x，
解得：x＝20，
∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：甲騎行的速度為24千米/時．
（2）設(shè)乙騎行的速度為y千米/時，則甲騎行的速度為1.2y千米/時，
依題意得：﹣＝，
解得：y＝15，
經(jīng)檢驗，y＝15是原方程的解，且符合題意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：甲騎行的速度為18千米/時．
13．（2022?泰安）泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費6000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%，該店又購進了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費5100元．求第一次購進的A、B兩種茶每盒的價格．
【解答】解：設(shè)第一次購進A種茶的價格為x元/盒，B種茶的價格為y元/盒，
依題意得：，
解得：．
答：第一次購進A種茶的價格為100元/盒，B種茶的價格為150元/盒．
14．（2022?安徽）某地區(qū)2020年進出口總額為520億元，2021年進出口總額比2020年有所增加，其中進口額增加了25%，出口額增加了30%．
注：進出口總額＝進口額+出口額．
（1）設(shè)2020年進口額為x億元，出口額為y億元，請用含x，y的代數(shù)式填表：
（2）已知2021年進出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進口額和出口額分別是多少億元？
【解答】解：（1）由表格可得，
2021年進出口總額為：1.25x+1.3y，
故答案為：1.25x+1.3y；
（2）由題意可得，
，
解得，
∴1.25x＝400，1.3y＝260，
答：2021年進口額是400億元，出口額是260億元．
15．（2020?百色）某玩具生產(chǎn)廠家A車間原來有30名工人，B車間原來有20名工人，現(xiàn)將新增25名工人分配到兩車間，使A車間工人總數(shù)是B車間工人總數(shù)的2倍．
（1）新分配到A、B車間各是多少人？
（2）A車間有生產(chǎn)效率相同的若干條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線配置5名工人，現(xiàn)要制作一批玩具，若A車間用一條生產(chǎn)線單獨完成任務(wù)需要30天，問A車間新增工人和生產(chǎn)線后比原來提前幾天完成任務(wù)？
【解答】解：（1）設(shè)新分配到A車間x人，分配到B車間y人．
由題意可得，，解得，
∴新分配到A車間20人，分配到B車間5人．
（2）由（1）可得，分配后，A車間共有50人，
∵每條生產(chǎn)線配置5名工人，
∴分配工人前共有6條生產(chǎn)線，分配工人后共有10條生產(chǎn)線；
分配前，共需要的天數(shù)為30÷6＝5（天），
分配后，共需要的天數(shù)為30÷10＝3（天），
∴5﹣3＝2（天），
∴A車間新增工人和生產(chǎn)線后比原來提前2天完成任務(wù)．
年份
進口額/億元
出口額/億元
進出口總額/億元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y

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