考點(diǎn)1：方程解的應(yīng)用典例1-1：關(guān)于，的方程組的解中與的和不小于5，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【變式1】若x=1是關(guān)于x的方程2x-a=0的解，則a的值是（　?。?/span>A．-2 B．2 C．-1 D．1【變式2】閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是________．【變式3】若是二元一次方程組的解，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第________象限考點(diǎn)2：等式的性質(zhì)性質(zhì)1：若a=b，則a±c=b±c。等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。性質(zhì)2：若a=b，則ac=bc；(c≠0)。等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。典例2：設(shè)x，y，c是實(shí)數(shù)，（　?。?/span>A．若x=y，則x+c=y-c B．若x=y，則xc=ycC．若x=y，則                      D．若  ，則2x=3y【變式1】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．例如，有人聲稱(chēng)可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令，等式兩邊都乘以x，得．①等式兩邊都減，得．②等式兩邊分別分解因式，得．③等式兩邊都除以，得．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.以上推理過(guò)程中，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．    【變式2】在如圖解分式方程：的4個(gè)步驟中，根據(jù)等式基本性質(zhì)的是（    ）A．①③ B．①② C．②③ D．①④【變式3】（2022·湖南·株洲市蘆淞區(qū)教育教學(xué)研究指導(dǎo)中心模擬預(yù)測(cè)）已知等式，則下列等式中不一定成立的是（    ）A． B．C． D．考點(diǎn)3：解一元一次方程（1）一般步驟：①去分母：②去括號(hào)：③移項(xiàng)：④合并同類(lèi)項(xiàng)：⑤系數(shù)化為1．（2）理論根據(jù)和注意點(diǎn)①去分母→根據(jù)等式性質(zhì)2→注意點(diǎn)：勿漏乘不含分母的項(xiàng)，分子是兩項(xiàng)以上的代數(shù)式須加上括號(hào)；②去括號(hào)→根據(jù)去括號(hào)法則（分配律）→注意點(diǎn)：一是勿漏乘括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)；二是括號(hào)前是“－”，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)；③移項(xiàng)→根據(jù)移項(xiàng)法則（等式性質(zhì)1）→注意點(diǎn)：一是移項(xiàng)要變號(hào)，二是勿漏項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)→根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則→注意點(diǎn)：系數(shù)相加，字母及它的指數(shù)不變典例3：在解方程 =時(shí)，方程兩邊同時(shí)乘以6，正確的是（    ）A．2x-1+6x=3（3x+1） B．2（x-1）+6x=3（3x+1）C．2（x-1）+x=3（3x+1） D．（x-1）+x=3（x+1）【變式1】小明解方程的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得①去括號(hào)，得②移項(xiàng)，得③合并同類(lèi)項(xiàng)，得④以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（    ）A．① B．② C．③ D．④【變式2】設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算，則滿足等式的x的值為_(kāi)__________   【變式3】嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程☆＝3時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)☆被污染了；(1)嘉淇猜☆是2，請(qǐng)解一元一次方程；(2)若老師告訴嘉淇這個(gè)方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？   考點(diǎn)4：一次方程的實(shí)際應(yīng)用步驟：設(shè)（未知數(shù)）→列（方程）→解（方程）→答（作答）關(guān)鍵點(diǎn)：確認(rèn)等量關(guān)系；常見(jiàn)的等量關(guān)系：①行程問(wèn)題基本等量關(guān)系：路程=時(shí)間×速度；時(shí)間=路程÷速度；速度=路程÷時(shí)間。順行：順行速度＝自身速度＋風(fēng)速（水速）；逆行速度＝自身速度－風(fēng)速（水速）②工程問(wèn)題：工作總量=工作時(shí)間×工作效率。③配套問(wèn)題：實(shí)際生產(chǎn)比＝配套比。④商品銷(xiāo)售問(wèn)題：利潤(rùn)＝售價(jià)－成本；售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×0.1折扣；利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)×100%總利潤(rùn)＝單利潤(rùn)×數(shù)量現(xiàn)單利潤(rùn)＝原單利潤(rùn)＋漲價(jià)部分（－降價(jià)部分）現(xiàn)數(shù)量＝原數(shù)量－（原數(shù)量＋）⑤數(shù)字問(wèn)題：一個(gè)十位數(shù)可表示為：10×十位上的數(shù)字＋個(gè)位上的數(shù)字；一個(gè)百位數(shù)可表示為：100×百位上的數(shù)字＋10×十位上的數(shù)字＋個(gè)位上的數(shù)字。以此類(lèi)推。⑥平均增長(zhǎng)率（下降率）問(wèn)題：計(jì)算公式：原數(shù)×（1＋增長(zhǎng)率）＝總數(shù)，                                      原數(shù)×（1－下降率）＝總數(shù)。典例4：我國(guó)“DF－41型”導(dǎo)彈俗稱(chēng)“東風(fēng)快遞”，速度可達(dá)到26馬赫（1馬赫＝340米/秒），則“DF－41型”導(dǎo)彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標(biāo)？設(shè)飛行分鐘能打擊到目標(biāo)，可以得到方程（    ）A． B．C． D．【變式1】《九章算術(shù)》中記載：“今有共買(mǎi)羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買(mǎi)羊，若每人出5錢(qián)，還差45錢(qián)；若每人出7錢(qián)，多余3錢(qián)。問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為_(kāi)__________．【變式2】閩北某村原有林地120公頃，旱地60公頃，為適應(yīng)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，需把一部分旱地改造為林地，改造后，旱地面積占林地面積的20%，設(shè)把x公頃旱地改造為林地，則可列方程為（    ）A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120【變式3】《算學(xué)啟蒙》中有一道題，原文是：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？譯文為：跑的快的馬每天走240里，跑的慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？設(shè)快馬x天可以追上慢馬，可列方程（　　）A．240x＝150（x+12） B．240（x﹣12）＝150xC．240（x+12）＝150x D．240x＝150（x﹣12）【變式4】我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》中有一問(wèn)題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問(wèn)何日相逢？”假設(shè)經(jīng)過(guò)x天相逢，則可列方程為_(kāi)__________．【變式5】（2022·陜西師大附中模擬預(yù)測(cè)）《河?jì)D蕩杯》是《孫子算經(jīng)》中著名的趣題之一．原題是：今有婦人河上蕩杯，津吏問(wèn)曰：“杯何以多？”“家有客．”津吏曰：“客幾何？”婦人曰：“二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客幾何？”意思是：“一位婦人在河邊洗碗．津吏問(wèn)道：“為什么要洗這么多碗”？婦人回答：“家里來(lái)客人了”．津吏問(wèn)：“有多少客人”？婦人回答：“每二人合用一只飯碗，每三人合用一只湯碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”問(wèn)：“農(nóng)婦家一共來(lái)了多少客人”？    考點(diǎn)5：解二元一次方程組解二元一次方程組的基本思想是消元，即化二元一次方程組為一元一次方程，主要方法有代入消元法和加減消元法． 典例5：解方程組：（代入消元和加減消元）           【變式1】解方程組：．小海同學(xué)的解題過(guò)程如下：解：由②，得③……（1）把③代入①，得：……（2）解得：……（3）把代入③，得……（4）∴此方程組的解為……（5）判斷小海同學(xué)的解題過(guò)程是否正確，若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，并給出正確的解題過(guò)程． 【變式2】若方程組的解是，則方程組的解是（    ）A． B． C． D． 【變式3】已知是關(guān)于x，y的二元一次方程組的一組解，則a+b=　    　．  考點(diǎn)6：方程組的實(shí)際應(yīng)用一般步驟（1）審題；（2）設(shè)元；（3）找出能夠包含未知數(shù)的等量關(guān)系；（4）列出方程(組)；（5）求出方程(組)的解；（6）檢驗(yàn)并作答．典例6：某抗戰(zhàn)紀(jì)念館館長(zhǎng)找到大學(xué)生團(tuán)干部小張，聯(lián)系青年志愿者在周日參與活動(dòng)，活動(dòng)累計(jì)56個(gè)小時(shí)的工作時(shí)間，需要每名男生工作5個(gè)小時(shí)，每名女生工作4個(gè)小時(shí)，小張可以安排學(xué)生參加活動(dòng)的方案共有（　　）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【變式1】國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某校開(kāi)展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．某班同學(xué)報(bào)名參加書(shū)法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長(zhǎng)為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)毛筆和圍棋（兩種都購(gòu)買(mǎi)）共花費(fèi)360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購(gòu)買(mǎi)方案？（    ）A．5 B．6 C．7 D．8  【變式2】某中學(xué)開(kāi)學(xué)初到商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)A，B兩種品牌的足球，購(gòu)買(mǎi)A種品牌的足球50個(gè)，B種品牌的足球25個(gè)，共花費(fèi)4500元，已知購(gòu)買(mǎi)一個(gè)B種品牌的足球比購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A種品牌的足球多花30元．(1)求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A種品牌、一個(gè)B種品牌的足球各需多少元？(2)學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌的足球共50個(gè)，正好趕上商場(chǎng)對(duì)商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價(jià)比第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)提高4元，B品牌足球按第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)售價(jià)的9折出售．如果學(xué)校此次購(gòu)買(mǎi)A、B兩種品牌的足球總費(fèi)用不超過(guò)第一次花費(fèi)的70%，且保證這次購(gòu)買(mǎi)的B種品牌足球不少于23個(gè)，則這次學(xué)校有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？(3)請(qǐng)你求出學(xué)校在第二次購(gòu)買(mǎi)活動(dòng)中最多需要多少資金？   【變式3】某中學(xué)組織一批學(xué)生開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，原計(jì)劃租用45座客車(chē)若干輛，但有15人沒(méi)有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車(chē)，則多出一輛車(chē)，且其余客車(chē)恰好坐滿．已知45座客車(chē)租金為每輛220元，60座客車(chē)租金為每輛300元．（1）這批學(xué)生的人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用45座客車(chē)多少輛？（2）若租用同一種客車(chē)，要使每位學(xué)生都有座位，應(yīng)該怎樣租用合算？   鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．(2022·白銀)已知＝(a≠0，b≠0)，下列變形錯(cuò)誤的是(　　)A.＝        B．2a＝3bC.＝        D．3a＝2b2．(2022·天津)方程組的解是 (　　)A.    B.    C.    D.3. (2022·恩施州)一商店在某一時(shí)間以每件120元的價(jià)格賣(mài)出兩件衣服，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，在這次買(mǎi)賣(mài)中，這家商店(　　)A．不盈不虧      B．盈利20元C．虧損10元      D．虧損30元 4．(2022·杭州)某次知識(shí)競(jìng)賽共有20道題，規(guī)定：每答對(duì)一道題得＋5分，每答錯(cuò)一道題得－2分，不答的題得0分，已知圓圓這次競(jìng)賽得了60分，設(shè)圓圓答對(duì)了x道題，答錯(cuò)了y道題，則(　　)A．x－y＝20      B．x＋y＝20C．5x－2y＝60     D．5x＋2y＝60 5．(2022·泰安)夏季來(lái)臨，某超市試銷(xiāo)A、B兩種型號(hào)的風(fēng)扇，兩周內(nèi)共銷(xiāo)售30臺(tái)，銷(xiāo)售收入5 300元，A型風(fēng)扇每臺(tái)200元，B型風(fēng)扇每臺(tái)150元，問(wèn)A、B兩種型號(hào)的風(fēng)扇分別銷(xiāo)售了多少臺(tái)？若設(shè)A型風(fēng)扇銷(xiāo)售了x臺(tái)，B型風(fēng)扇銷(xiāo)售了y臺(tái)，則根據(jù)題意列出方程組為(　　)A.     B.C.   D.6．(2022·龍巖質(zhì)檢)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車(chē)”問(wèn)題：今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步，問(wèn)人與車(chē)各幾何？其大意是：每車(chē)坐3人，兩車(chē)空出來(lái)；每車(chē)坐2人，多出9人無(wú)車(chē)坐．問(wèn)人數(shù)和車(chē)數(shù)各多少？設(shè)車(chē)有x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是(　　)A．3x－2＝2x＋9      B．3(x－2)＝2x＋9C.＋2＝－9      D．3(x－2)＝2(x＋9)7．(2022·泉州質(zhì)檢)在《九章算術(shù)》中有“盈不足術(shù)”的問(wèn)題，原文如下：今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)幾何？大意為：現(xiàn)有一些人共同買(mǎi)一個(gè)物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問(wèn)人數(shù)是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則下列關(guān)于x的方程符合題意的是(　　)A．8x－3＝7x＋4      B．8(x－3)＝7(x＋4)C．8x＋4＝7x－3      D.x－3＝x＋48．(2022·邵陽(yáng))程大位是我國(guó)明朝商人，珠算發(fā)明家．他60歲時(shí)完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤(pán)用法．書(shū)中有如下問(wèn)題： 意思是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解結(jié)果正確的是(　　)A．大和尚25人，小和尚75人        B．大和尚75人，小和尚25人C．大和尚50人，小和尚50人       D．大、小和尚各100人二、填空題9．(2022·成都)已知＝＝，且a＋b－2c＝6，則a的值為_(kāi)_______．10.(2022·雅安)若關(guān)于x、y的二元一次方程3x－ay＝1有一個(gè)解是，則a＝______．11．(2022·寧波)已知x，y滿足方程組則x2－4y2的值為_(kāi)_________. 12．(2022·隨州)已知是關(guān)于x，y的二元一次方程組的一組解，則a＋b＝______． 三、解答題13．(2022·泉州質(zhì)檢)解方程：－＝1.   14．(2022·安徽)《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡．問(wèn)：城中家?guī)缀危?/span>大意為：今有100頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問(wèn)：城中有多少戶人家？請(qǐng)解答上述問(wèn)題．   15．(2022·福州質(zhì)檢)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”一章里，一次方程組是由算籌布置完成的．如圖①，圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，把圖①所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組的形式表述出來(lái)，就是請(qǐng)你根據(jù)圖②所示的算籌圖，列出方程組，并求解．16.(2022·黃岡)在端午節(jié)來(lái)臨之際，某商店訂購(gòu)了A型和B型兩種粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的數(shù)量比A型粽子的2倍少20千克，購(gòu)進(jìn)兩種粽子共用了2 560元，求兩種型號(hào)粽子各多少千克．      17．(2022·揚(yáng)州)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義關(guān)于“?”的一種運(yùn)算如下： a?b＝2a＋b.例如 3?4＝2×3＋4＝10.(1)求2?(－5)的值；(2)若x?(－y)＝2且2y?x＝－1，求x＋y的值．        18．(2022·長(zhǎng)沙)隨著中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場(chǎng)決定開(kāi)展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷(xiāo)活動(dòng)，對(duì)部分品牌粽子進(jìn)行打折銷(xiāo)售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，買(mǎi)6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買(mǎi)50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．(1)打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？(2)陽(yáng)光敬老院需購(gòu)買(mǎi)甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問(wèn)打折后購(gòu)買(mǎi)這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢(qián)？ 

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