第06講導(dǎo)數(shù)中切線問(wèn)題-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

一、在點(diǎn)的切線方程
切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．
二、過(guò)點(diǎn)的切線方程
設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，
又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）
三、公切線問(wèn)題一般思路
兩個(gè)曲線的公切線問(wèn)題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行解決，關(guān)鍵是抓住切線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化和過(guò)渡.主要應(yīng)用在求公切線方程，切線有關(guān)的參數(shù)，以及與函數(shù)的其他性質(zhì)聯(lián)系到一起.處理與切線有關(guān)的參數(shù)，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：
①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.
考法1：求公切線方程
已知其中一曲線上的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，進(jìn)而求出另一曲線上的切點(diǎn)；不知切點(diǎn)坐標(biāo)，則應(yīng)假設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)建立切點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系式，解方程.
具體做法為：設(shè)公切線在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，
則f′(x1)＝g′(x2)＝.
考法2：由公切線求參數(shù)的值或范圍問(wèn)題
由公切線求參數(shù)的值或范圍問(wèn)題，其關(guān)鍵是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程．
【考點(diǎn)一：在某一點(diǎn)的切線】
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東梅州·階段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，求出切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出所求切線方程.
【詳解】由，得，
所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
所以所求切線方程為，即.
故選：B.
2．（23-24高二下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)得到切線斜率，再得到直線方程，再得到截距，進(jìn)而得到面積.
【詳解】解：由，
則，
，
所以在處切線的方程為，
令，得，
令，得，
所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.
故選：A
二、填空題
3．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
【答案】
【分析】先求出切線的斜率，即可寫(xiě)出切線的點(diǎn)斜式方程．
【詳解】，所以，
故切線方程為，
故答案為：．
4．（23-24高二下·廣西·期末）已知曲線C的方程為，則曲線C在點(diǎn)處的切線方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可求解.
【詳解】，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得.
故答案為：.
5．（23-24高二下·福建漳州·階段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為
【答案】x+y=0
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和切線相關(guān)知識(shí)求解切線方程即可.
【詳解】因?yàn)?br>，
所以，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以對(duì)恒成立，
所以，代入函數(shù)表達(dá)式得，
所以，則，
所以在處的切線方程為，即.
故答案為：x+y=0.
6．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)（f'x是的導(dǎo)函數(shù)），則曲線y=fx在處的切線方程為．
【答案】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式求出切線方程即可.
【詳解】由題意設(shè)切點(diǎn)，
因?yàn)?，
令，得，
由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：，
又，
所以切點(diǎn)為，
故曲線在處的切線方程為：，
整理得： .
故答案為：.
【考點(diǎn)二：過(guò)某一點(diǎn)的切線】
一、單選題
1．（24-25高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切線斜率不可能為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)，可得，進(jìn)而確定切線斜率.
【詳解】由，得，
設(shè)切點(diǎn)為，
則切線斜率，
即切線方程為，
又切線過(guò)點(diǎn)，
則，
整理可得，
解得或或，
則切線斜率為或或，
故選：D．
2．（23-24高二下·安徽·期末）過(guò)點(diǎn)能向曲線作切線的條數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)寫(xiě)出切線方程，代入點(diǎn)，化簡(jiǎn)得到，將題設(shè)要求切線條數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為該方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題求解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得,故切線斜率為，則切線方程為：，
因曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，又，則得，，
化簡(jiǎn)得，（*），
令，則，因，故在上恒成立，
即在上為增函數(shù)，
又，而，由零點(diǎn)存在定理可得，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程（*）只有一個(gè)解，故切線只有一條.
故選：B.
二、多選題
3．（23-24高二下·貴州·期中）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，點(diǎn)斜式可解.
【詳解】求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，
則，切線方程為，
又切線過(guò)點(diǎn)，所以，
整理得，解得或.
當(dāng)時(shí)，，切線方程為.
當(dāng)時(shí)，，切線方程為.
故選：BC.
三、填空題
4．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）過(guò)原點(diǎn)的直線與相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是 .
【答案】
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將代入，即可求得答案.
【詳解】由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
由，得，故直線的斜率為，
則直線l的方程為，
將代入，得，
則切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：
5．（23-24高三上·山東青島·期中）曲線過(guò)原點(diǎn)的切線方程為 .
【答案】
【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)即可求解切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.
【詳解】由得
設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為
由于切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，解得，
所以切線方程為，即，
故答案為：
【考點(diǎn)三：切線中平行、垂直、重合問(wèn)題】
一、單選題
1．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知曲線在處的切線與直線垂直，則的值為（）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在處的切線斜率為，結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，可得?br>即曲線在處的切線斜率為，
且直線的斜率為，
由題意可得：，解得.
故選：B.
2．（23-24高二下·河南漯河·階段練習(xí)）函數(shù)和的圖象有公共點(diǎn)P，且在點(diǎn)P處的切線相同，則這條切線的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（），先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程組，可得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定其解，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.
【詳解】由，，
則，，
設(shè)切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（），則根據(jù)題意可得，
得，即，
設(shè)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，
所以方程有唯一解，
所以切點(diǎn)P坐標(biāo)為，切線斜率，
則切線方程為.
故選：D.
二、多選題
3．（23-24高二下·山東菏澤·期末）已知曲線在原點(diǎn)處的切線與曲線在處的切線重合，則（）
A．B．
C．D．曲線在處的切線方程為
【答案】ACD
【分析】令，求出的導(dǎo)函數(shù)，依題意，即可判斷A，又曲線在原點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，即可得到，即可判斷C，再由求出，即可判斷B、D.
【詳解】令，則，
依題意，解得，故A正確；
依題意可得曲線在原點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，所以，故C正確；
又，所以，
則曲線在處的切線方程為，故B錯(cuò)誤，D正確.
故選：ACD
三、填空題
4．（2023·廣東茂名·二模）已知曲線在處的切線與在處的切線平行，則的值為 .
【答案】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)列方程可得.
【詳解】，
由題意可知，，即，解得.
故答案為：
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）曲線與在交點(diǎn)處存在公切線，則．
【答案】2
【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算來(lái)判定單調(diào)性和求最值，計(jì)算即可，
【詳解】設(shè)兩曲線的公切點(diǎn)為，因?yàn)?，?br>依題意得，，
由，解得，將代入，
整理得，令，則，令，
則，令，解得（舍負(fù)），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以有最小值f1=0，所以方程有唯一解，此時(shí)，解得．
故答案為：2.
【考點(diǎn)四：求公切線】
一、單選題
1．（23-24高二下·河北·期末）若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)出直線與曲線和的切點(diǎn)分別為和，由公切線得到方程解出切點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算求解即可.
【詳解】由，得，由，得.
設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，
與曲線相切于點(diǎn)，
則，故.又，
解得，所以直線過(guò)點(diǎn)，斜率為1，
即直線的方程為.
故選：A
二、多選題
2．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.
【詳解】令，則，
令，有，則，
即有，即，故，
令，則，
令，有，則，
即有，即，
故有，即.
故選：BD.
三、填空題
3．（23-24高二下·四川廣安·階段練習(xí)）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則 .
【答案】/
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)曲線與的切點(diǎn)分別為，
易知兩曲線的導(dǎo)函數(shù)分別為，，
所以，
則.
故答案為：.
4．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知直線分別與曲線，相切于點(diǎn)，，則的值為 .
【答案】1
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)處的切線方程，可得，通過(guò)指數(shù)式對(duì)數(shù)式的運(yùn)算，求出的值.
【詳解】由，，有，，
在點(diǎn)處的切線方程為，
在點(diǎn)處的切線方程為，
則有，得，
所以，可得.
故答案為：1.
5．（23-24高三上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率，利用兩點(diǎn)間距離，兩直線位置關(guān)系，結(jié)合圖象，可得答案.
【詳解】
由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，
在處的切線方程為，整理可得：；
由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，
在處的切線方程為，整理可得；
由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..
故答案為：.
【考點(diǎn)五：切線的條數(shù)問(wèn)題】
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東·期中）過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，.設(shè)，的夾角為，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出兩條切線的斜率，由兩直線的夾角公式求得夾角的正切值．
【詳解】?jī)蓷l切線，的傾斜角分別為，，
根據(jù)題意，，
若點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，切線斜率為，
若點(diǎn)是切點(diǎn)（點(diǎn)不重合），則，
由，解得（舍去），
所以直線斜率為，
則．
故選：C．
2．（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則的取值范圍（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所作切線斜率為，則，
當(dāng)時(shí)，，故不存在；
當(dāng)時(shí)，滿足：.
所以：.
故選：C.
3．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，表示出切線方程，根據(jù)題意可得方程有兩個(gè)不同的根，由此可得a的范圍．
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∴切線的斜率，
∴切線方程是，
∵切線過(guò)點(diǎn)A（a，0），
∴，即，
∵過(guò)點(diǎn)A（a，0）可以作兩條切線，
∴方程有兩個(gè)不同的根，
∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3．
故選：D.
4．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）若曲線與曲線存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解斜率，可得和，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解.
【詳解】由得，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為
由得在點(diǎn)處的切線斜率為，
如果兩條曲線存在公共切線，那么．
又由斜率公式可得，由此得到，則有解，
所以直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)即可．
當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為，則，且，得，即有切點(diǎn)，此時(shí)，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

故選：D．
5．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)若過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不等實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性最值，畫(huà)出圖象求參數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為.
由題意得，
所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，
所以切線方程為，
因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，
則，由題意可知，這個(gè)方程有三個(gè)不等實(shí)根.
設(shè)，則，
由得，由得或.
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，又當(dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于；
當(dāng)趨近于負(fù)無(wú)窮，趨近于正無(wú)窮，且，
所以的大致圖象如圖，
所以要使直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
則.
故選：C
6．（23-24高二下·湖南衡陽(yáng)·期中）已知函數(shù).若過(guò)點(diǎn)可以作曲線三條切線，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，設(shè)切線為：，可得，設(shè)，求，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，切線的條數(shù)即為直線與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象即可得出答案.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，
所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，
所以在點(diǎn)處的切線為：，
因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，
即，即這個(gè)方程有三個(gè)不等根即可，
切線的條數(shù)即為直線與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
設(shè)，
則
由可得，由可得：或，
所以在和1,+?上單調(diào)遞減，在-1,1上單調(diào)遞增，
當(dāng)趨近于正無(wú)窮，趨近于0，當(dāng)趨近于負(fù)無(wú)窮，趨近于正無(wú)窮，
的圖象如下圖，且，
要使與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則.
則的取值范圍是:.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是通過(guò)分離參數(shù)得出關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可順利得解.
【考點(diǎn)六：切線問(wèn)題中的參數(shù)問(wèn)題】
一、單選題
1．（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）已知曲線，在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a的值為（）
A．1B．C．3D．
【答案】C
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，再根據(jù)兩條互相垂直的直線斜率之積等于算出即可.
【詳解】，則，
則，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，
所以，解得.
故選：C
2．（23-24高二下·山東棗莊·期中）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)到直線的距離即為所求最小距離．
【詳解】直線的斜率，函數(shù)定義域?yàn)?,+?，
點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)，由，
令，解得或（舍去），
，此時(shí)，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，
所以曲線上點(diǎn)到直線的最小距離，
為點(diǎn)到直線的距離.
故選：C.
3．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）若存在過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于軸右側(cè)，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先求得，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)，列出方程，得到，結(jié)合方程的根，即可求解.
【詳解】
由函數(shù)，可得，
設(shè)切點(diǎn)為，可得，即，
整理得，解得或（舍去），
因?yàn)榇嬖谶^(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于軸右側(cè)，
所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
4．（23-24高二下·山東·期中）已知曲線過(guò)點(diǎn)的切線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（）
A．0或1B．0或C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與斜率的關(guān)系求出切線方程，分類討論和時(shí)，方程只有一個(gè)解求解即可.
【詳解】設(shè)切線與曲線的切點(diǎn)為，
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故，
解得，所以，故切線方程為，
當(dāng)時(shí)，，顯然成立，
當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，，
其中，解得，
綜上所述，的值為0或1.
故選：A
5．（24-25高三上·遼寧·期中）若曲線的一條切線為，則的最大值為（）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】設(shè)切點(diǎn)，由題意得，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，所以，切線方程為，
整理得，所以，
設(shè)得，
又因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
故選：B.
二、填空題
6．（22-23高二下·北京房山·期末）函數(shù)，若，則．
【答案】/
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由給定導(dǎo)數(shù)值求出a值作答.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，而，
即，解得，
所以.
故答案為：
7．（24-25高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知曲線在處的切線與曲線相切，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在處的切線，對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，可得切線斜率為，求切線方程列式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
當(dāng)，可得，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，
則切線方程為，即；
又因?yàn)?，則，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，
所以切線方程為，即，
可得，解得.
故答案為：.
三、解答題
8．（23-24高二下·河北·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（，）的圖象過(guò)點(diǎn)，且．
(1)求，的值；
(2)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，由，可得，聯(lián)立即可得解；
（2）由可設(shè)曲線上的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，利用點(diǎn)斜式可得切線方程，帶入點(diǎn)，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以①．
又，，所以②，
由①②解得，．
（2）由（1）知，
設(shè)所求切線在曲線上的切點(diǎn)為，則，
所以切線方程為，
又切線過(guò)點(diǎn)，所以，
可得，
，
，解得，
所以切點(diǎn)為，切線方程為．
故曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為．
一、單選題
1．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）曲線在x=0處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)值得出切線斜率，最后應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可.
【詳解】由，得，
當(dāng)x=0時(shí)，，
故曲線在x=0處的切線方程為，即.
故選：D.
2．（24-25高三上·福建三明·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】在已知等式中，以替換，求解方程組得函數(shù)的解析式，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而可得，再求出，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程．
【詳解】，
．
解得，，
在處的切線斜率為．
又，
函數(shù)在處的切線方程為，
即．
故選：C．
3．（24-25高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為（）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)坐標(biāo)和面積.
【詳解】因?yàn)?，則，可得，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為2，
則切線方程為，其與x軸交點(diǎn)為，
所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為.
故選：B.
4．（24-25高三上·山東聊城·階段練習(xí)）已知曲線與曲線有唯一交點(diǎn)，且在交點(diǎn)處有相同的切線，則（）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩曲線交點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可構(gòu)造方程求得a的值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有唯一交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹驮?,+?上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在0,+?上單調(diào)，
因?yàn)榍€在0,+?上單調(diào)遞增，且兩曲線有相同切線，
所以函數(shù)在0,+?上單調(diào)遞增，故，
，，與的交點(diǎn)為，
，在處的切線斜率，
，，解得：.
記，則，
所以在0,+?上單調(diào)遞減，故有唯一解，
即曲線與曲線有唯一交點(diǎn)，滿足題意.
故選：D.
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（）
A．0條B．1條C．2條D．3條
【答案】C
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式直線方程求出切線方程，根據(jù)過(guò)點(diǎn)建立方程，求得切點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為切線的條數(shù).
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，得，
所以切線方程為，即．
因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得或，
所以過(guò)點(diǎn)作曲線的切線可以作2條.
故選：C
6．（2024·四川成都·二模）直線與函數(shù)和的圖象都相切，則（）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為x1,y1，與函數(shù)的切點(diǎn)為x2,y2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即切點(diǎn)的坐標(biāo)，可求的值.
【詳解】設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為x1,y1，則.
設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為x2,y2，則.
由；
由，；
由.
由，所以.
故選：D
7．（24-25高三上·湖南懷化·期中）已知過(guò)點(diǎn)可以作函數(shù)的三條切線，如果，則和應(yīng)該滿足的關(guān)系是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過(guò)點(diǎn)的切線方程，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的條件即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)，由，求導(dǎo)得，
則切線方程為，由切線過(guò)點(diǎn)，
得，整理得，
令函數(shù)，求導(dǎo)得，而，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，
由過(guò)點(diǎn)可以作函數(shù)的三條切線，得有3個(gè)不等實(shí)根，
即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以.
故選：D.
二、多選題
8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若直線是函數(shù)圖象的一條切線，則函數(shù)可以是（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】依次對(duì)各項(xiàng)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及已知切線的斜率判斷是否存在導(dǎo)數(shù)值為，即可得答案.
【詳解】直線的斜率為，
由的導(dǎo)數(shù)為，故A錯(cuò)；
由的導(dǎo)數(shù)為，令，解得，故B對(duì)；
由的導(dǎo)數(shù)為，而有解，故C對(duì)；
由的導(dǎo)數(shù)為，令，解得，故D對(duì)．
故選：BCD
9．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）記函數(shù)的圖象為曲線，點(diǎn)不在曲線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．若，，可作1條切線
B．若，，可作0條切線
C．若，，可作3條切線
D．若，，可作2條切線
【答案】BCD
【分析】根據(jù)數(shù)形結(jié)合得到在上方，作兩條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)，，一個(gè)在，一個(gè)在，而若在下方，上方若，則兩切點(diǎn)都在上，若，則兩切點(diǎn)都在上，對(duì)，根據(jù)對(duì)稱性也有類似結(jié)論.
【詳解】曲線如圖實(shí)線部分，不妨補(bǔ)全下方圖象，

顯然，曲線的切線必在其“凸面”，即單獨(dú)對(duì)而言，在時(shí)不可作切線，在時(shí)不可作切線，而在其“凹面”能作條切線，

因此在區(qū)域內(nèi)和都不可作切線，
因?yàn)樵谔幥芯€為，
所以又可分為三個(gè)區(qū)域，在上方，作兩條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)，，一個(gè)在，一個(gè)在，
而若在下方，上方，
若，則兩切點(diǎn)都在上，

若，則兩切點(diǎn)都在上，

對(duì)，根據(jù)對(duì)稱性也有類似結(jié)論，
回到題目中，可分為如圖的個(gè)區(qū)域，區(qū)域不可作切線，

由于區(qū)域和在的“凹面”，故在段必不可作切線，
由于區(qū)域在上方，區(qū)域在下方，
所以在上區(qū)域可作條切線，區(qū)域可作條切線，
根據(jù)對(duì)稱性，區(qū)域和區(qū)域在的“凹面”，
所以在必不可作切線，區(qū)域在下方，區(qū)域在上方，
所以在上，區(qū)域可作條切線，區(qū)域不可作切線，
同理，區(qū)域在，的“凸面”，又在上側(cè)，上側(cè)，
所以在可作條切線，在可作條切線，
所以區(qū)域可作條切線，由對(duì)稱性知區(qū)域僅在作條切線，
最后，區(qū)域在可作條切線，在可作條切線，
對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，?br>所以區(qū)域內(nèi)可作一條切線，而區(qū)域可作條切線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，?br>所以在區(qū)域，可作條切線，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，?br>所以在區(qū)域上，可作條切線，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以在區(qū)域上，可作條切線，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法并得出普適性結(jié)論.
三、填空題
10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為 .
【答案】/
【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得正確答案.
【詳解】由，得，，化簡(jiǎn)得，，
則，設(shè)切點(diǎn)為，顯然不在曲線上，
則，解得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：
11．（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為l，則l與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【答案】0,1
【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線l的方程，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由，，
而，則，
所以切線l的方程為，
令，得，
即l與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：.
12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于的方程有兩不等根由可解.
【詳解】，.
設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率，
切線方程為.
切線過(guò)原點(diǎn)，，
整理得.
切線有兩條，，解得或，
的取值范圍是.
故答案為：.
13．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，請(qǐng)寫(xiě)出與的一條公切線的方程 .
【答案】或(寫(xiě)出其中一條即可)
【分析】分別設(shè)、并利用導(dǎo)數(shù)幾何意義寫(xiě)出切線方程，根據(jù)所得切線相同列方程求參數(shù)，即可得切線方程.
【詳解】設(shè)公切線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，
，，則公切線斜率，
公切線方程為或，
整理得或，
所以，即，
，解得或，
公切線方程為或.
故答案為：或

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