高教版（2021·十四五）拓展模塊一（下冊）第7章數(shù)列7.3 等比數(shù)列優(yōu)質(zhì)教學設(shè)計-教案下載-教習網(wǎng)

7.3 等比數(shù)列
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學》
（拓展模塊一下冊）
授課
時長
4 課時
授課類型
新授課
教學提示
本課通過我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》趣題引出等比數(shù)列的概念，介紹了等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用．根據(jù)具體實例給出等比中項的定義及等比中項公式，引導學生從“棋盤上的麥?！钡墓适轮谐橄蟪龅缺葦?shù)列模型，然后利用“錯位相減法”推導出前 n 項和公式．其中等比數(shù)列的定義是推導通項公式、前 n 項和公式的基礎(chǔ)．在等比數(shù)列的教學中，可采用類比的方法，在復習等差數(shù)列的有
關(guān)知識的同時，對等比數(shù)列的相應(yīng)知識進行類比學習．
教學目標
了解等比數(shù)列的概念；掌握等比數(shù)列的通項公式；了解等比數(shù)列前 n 項和公式的推導過程；掌握等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式；能夠通過具體實例，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)等比數(shù)列的概念及公比的概念；理解并掌握等比數(shù)列前 n 項和公式，并應(yīng)用公式解決簡單的問題；結(jié)合中國歷史著作《孫子算經(jīng)》趣題、棋盤麥粒故事等情境與問題，培養(yǎng)學生建模思想，體驗歷史文化，培養(yǎng)學生觀察、歸納、分析、綜合推理的能力，滲透特殊到一般的思想；通過學習，逐步
提升數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象和數(shù)學建模等核心素養(yǎng).
教學
重點
等比數(shù)列的概念，通項公式的應(yīng)用，等比數(shù)列前 n 項和公式及應(yīng)用．
教學
難點
等比數(shù)列概念的理解，等比數(shù)列前 n 項和公式的推導及知識的實際應(yīng)用．
教學
環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容
教師
活動
學生
活動
設(shè)計
意圖
引入
等比數(shù)列是另一種有特殊規(guī)律的數(shù)列，其通項公式、求和公式的推導蘊含著與等差數(shù)列不同的重要的數(shù)學思想
方法.
介紹
體會
引出學習
情境導入
7.3.1 等比數(shù)列的概念
我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個趣題： “今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色。問：各幾何？”試依次把堤、木、枝、巢……的數(shù)量計算出來，這組數(shù)有
什么規(guī)律？
提出問題
引發(fā)思考
觀察思考
討論交流
古代趣題提升文化素養(yǎng)
不難看出,這組數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列：9，81，729，8561…,我們也可以將其表示成 9，92，93，94，….在這個數(shù)列中，從第二項起每項與它前一項的比都是 9.
類似的數(shù)列還有 32，16，8，4，….
不難看出, 從第二項開始，每一項與它前一項的比都
1
是 .
2
一般地，如果一個數(shù)列?an?從第二項起，每一項與它前一項的比都等于同一個非零常數(shù)時，就稱這個數(shù)列為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比，通常用字母 q 來表示．
如數(shù)列 9，81，729，6561，…為等比數(shù)列，其公比 q=9；
講解
展示圖形提示說明
說明
理解
觀察特征交流討論
領(lǐng)會
結(jié)合實例學習等比數(shù)列的定義，應(yīng)強調(diào) q
為 1的等比數(shù)
新知探索
1
數(shù)列 32，16，8，4，…是等比數(shù)列，公比 q=.
2
如果數(shù)列?an?是一個公比為 q 的等比數(shù)列，那么從第二項起，數(shù)列的每一項都等于它的前一項與公比的乘積，即
a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2 ， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 ，
……
因此，首項為 a1、公比為 q 的等比數(shù)列?an?的通項公式為
a ? a qn?1 (其中 a1 與 q 均不為 0)．
n1
探究與發(fā)現(xiàn)
當一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列時，這個數(shù)列具有什么特征？
強調(diào)
講解分析
引發(fā)思考
要點
體會學習
分析討論
列是常數(shù)列，但常數(shù)列不一定是等比數(shù)列
感受典型數(shù)列的關(guān)系
典型例題
例１在等比數(shù)列?an? 中， a1=2，q=4，求 an，a5．解根據(jù)等比數(shù)列通項公式 an=a1 qn-1 可知
an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1；
即an= 22n-1 ．
因此，a5 = 22?5?1 =29=512．
例 2 將一張報紙反復對折,若不考慮其它因素,則報紙層數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列：2,4,8,…．
求這個數(shù)列的通項公式；
求第 5 次對折后報紙的層數(shù)；
問第幾次對折之后報紙的層數(shù)是 128？
解 (1) 設(shè)這個數(shù)列為?an?,則 a1=2,q=4,故該等比數(shù)列的通項公式為
an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
根據(jù)通項公式可知，a1=25=32，因此第 5 次對折之
后的報紙的層數(shù)為 32 層.
設(shè)第 n 次對折后報紙的層數(shù)是 128,即 an＝128,則由通項公式可知
2n=128，
2n =27，
解得n=7.
因此，第 7 次對折后報紙的層數(shù)是 128.
例 3 在等比數(shù)列{an}中，a4=36，a6=144，求首項 a1 和公比 q．
解根據(jù)等比數(shù)列的通項公式 an=a1qn-1 可得
? a q3 ? 36,①
? 1
?a q5 ? 144.②
1
提問引導
講解強調(diào)
指導學習
提問引導
講解強調(diào)
思考分析
解決交流
主動求解
思考分析
解決交流
例 1
和例
2 是鞏固性練習，目的是使學生會直接利用通項公式進行求解
例 3是理解性練習，
②式除以①式，并整理得
q2 ? 144 ? 4
36
解得q=±2.
9
當 q=2 時，a1×23=36，解得 a1=；
2
9
當 q=-2 時，a1×(-2)3=36，解得 a1= ?.
2
99
所以, a1=，q=2 或 a1= ?, q=-2.
22
例 4 已知三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為 28，其積為 512，求這三個數(shù)．
分析對于構(gòu)成等差數(shù)列的三個數(shù)，可以將它們設(shè)為 a1，
a1q，a1q2，也可以將它們設(shè)為 a ,a,aq，其中 q 為公比.若
q
a
已知這三數(shù)的積，則將它們設(shè)為 ,a,aq 更有利于計算.
q
a
解設(shè)這三個數(shù)分別為 ,a,aq，則
q
? a ? a ? aq ? 28①
? q
? a
?? a ? aq ? 512②
?? q
由②式得 a3=83，解得 a=8 .
將 a=8 代入①式，化簡得
2 ? 2q ? 5③
q
③式兩邊同時乘 q，整理得
2q2-5q+2=0，
解得
當 q=2 時，所求的三個數(shù)分別為 4，8，16；
1
當 q=時，所求的上數(shù)分別為 16，8，4.
2
所以，這三個數(shù)為 4，8，16 或 16，8，4.
提問引導
講解強調(diào)
思考交流
解決問題
結(jié)合方程組練習加深對通項公式的理解
例 4主要讓學生了解，如果三個數(shù)成等比數(shù) 列，且已知三個數(shù)的乘積，可以設(shè)這三個數(shù)分別為
a ，
q
a ，
aq
新知探索
一般地，當 a，G，b 成等比數(shù)列時，G 稱為 a 和 b
的等比中項.
當 G 是 a 與 b 的等比中項G b ，
時，有a=G
因此 G2=ab 或 G=± ab ．
例如，若 3，G，12 三個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則
G2=3×12，從而 3 與 12 的等比中項 G＝±6．
講解說明
領(lǐng)會要點
借助實例進行說明
鞏固練習
練習 7.3.1
判斷下列說法是否正確列(是打“√”，否打“×”).
在下列等比數(shù)列中填上所缺的項．
(1) 3，6，12，，48，…； (2)，4，-2，1，； (3)5，5，5，，5；
(4)1，-1，1，，1．
在等比數(shù)列{an}中，a1=3，q=-2，求 a3、a4．
求下列各組數(shù)的等比中項：
(1) 4 與 25；(2) -3 與-27．
在等比數(shù)列{an}中，a2=8，a3=4，求公比 q 和首項
a1．
在等比數(shù)列{an}中，a1=1，an=256，q=2，求 n．
已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為 14，它們的積為 64，求這三個數(shù)．
在等比數(shù)列 1 , 1 ,1…中，8 是第幾項？
42
一輛車現(xiàn)價為 10 萬元，年折舊率為 10%(不考慮其他因素) ，問該車第 10 年后的車價是多少元(保留兩位小
數(shù))？
提問
巡視
指導
思考
動手求解
交流
及時掌握學生情況查漏補缺
情境導入
7.3.2 等差數(shù)列前 n 項和公式
相傳古時候有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，并將其獻給了國王，國王從此迷上了下棋.作為對這位大臣的獎勛，國王許諾滿足大臣一個要求.大臣說“: 就在這個棋盤上放上一些麥粒吧，第一格放 1 粒,第二格放 2 粒,第三
格放 4 粒，然后依次是 8 粒，，16 粒，…，一直到第六十四格.”“就要這么一點兒麥粒？”國王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了.大臣:“就怕您的國庫里沒有這么多麥粒！”為什么大臣說國庫里沒有這么麥粒呢？
引發(fā)思考
討論交流
借助經(jīng)典數(shù)學故事增加知識趣味性
新知探索
可以看出，按照大臣的要求，在棋盤上六十四個格中所放的麥粒數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列 1，2，4，8，16，32，64，…， 263 .到底棋盤上需要放多少麥粒呢？要回答這一問題，就需要計算出等比數(shù)列 1，2，4，8，16，32，64，…，263 各項的和.
設(shè){an}是一個公比為 q 的等比數(shù)列，記{an}的前 n 項和為
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.(1)
根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，等比數(shù)列的每一項與公比的乘積等于與它相鄰的后一項.我們將(1)式的兩邊同時乘公比 q,得到
qSn=a1q+a2q+a3q+…+aqn-1+anq，
即qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1.(2)
比較(1) 、(2)兩式可以看出, (1)式的右邊從第 2 項至最后一項與(2)式右邊的第 1 項至倒數(shù)第 2 項分別相同．將(1)式的兩邊分別減去(2)式的兩邊就可消去相同的項，得到
(1-q)Sn=a1-an+1
a (1 ? qn )
當 q≠1 時，Sn ? 1 .
1 ? q
由等比數(shù)列的通項公式可得 an+1=a1q n，將其代入上式即得等比數(shù)列前 n 項和公式
a (1 ? qn )
Sn ? 1( q≠1).
1 ? q
由等比數(shù)列的定義得 an+1=anq，帶入前式得等比數(shù)列前 n 項和公式為
當 q=1 時，等比數(shù)列是一個常數(shù)列，其前 n 項和為
Sn=na1.
現(xiàn)在，我們回到本節(jié)“情境與問題”的等比數(shù)列{an}中， a1=1，q=2，n=64. 因此，棋盤上六十四個格中所放的麥?？倲?shù)為
1?(1 ? 264 )
S64 ?=264-1=18446744073709551615(粒).
1 ? 2
根據(jù)實際測算可知，1kg 麥粒約有 52000 粒.因此，這
些麥粒的總質(zhì)量約為 354745078340t，這大約相當于全世界一千年生產(chǎn)的小麥質(zhì)量的幾百倍.
講解
展示圖形
提示說明
說明強調(diào)
理解
觀察特征
交流討論
領(lǐng)會要點
引導學生從 “棋盤上的麥粒”的故事中抽象出等比數(shù)列模型，然后利用 “錯位相減法”推導出前 n 項和公式，觀察歸納等比數(shù)列的特點，培養(yǎng)和提升歸納分析能力
典型例題
例 5 在等比差數(shù)列{an}中，a1=2，q=3，求該數(shù)列前 5 項的和．
解由等比數(shù)列的前 n 項和公式
提問引導
講解強調(diào)
思考分析
解決交流
例 5
和例
6 是鞏固性練習，
例 6 在等比數(shù)列{an}中，a1=2， q=3，an=162，求該數(shù)列前 n 項的和．
解由等比數(shù)列前 n 項和公式
例 7 已知等比數(shù)列 1，2，4，8，…，求該數(shù)列第 5 項至第
10 項的和．
分析第 5 項至第 10 項的和為 a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示為該數(shù)列前 10 項的和減去其前 4 項的和．
解根據(jù)已知條件a1=1，q 2 2. 因此，
=1=
a (1 ? q4 ) 1?(1 ? 24 )
S4 ? 1 ==15 ，
1 ? q1 ? 2
a (1 ? q10 ) 1?(1 ? 210 )
S10 ? 1 ==1023 .
1 ? q1 ? 2
于是，該數(shù)列第 5 項至第 10 項的和為
S10-S4=1023-15=1008．
指導
主動求解
使學生掌握公式能直接利用公式求解例 7是理解性練習，使學生加深對公式的理解
鞏固練習
練習 7. 2
在等比數(shù)列{an}中，a1 1q=2，求該數(shù)列前 5 項
=2，
的和．
在等比數(shù)列{an}中，a1=8， q 1，an 1求該數(shù)列
=2=4，
前 n 項的和．
求等比數(shù)列 33，6，12，…前 6 項的和．
2，
求等比數(shù)列 33，6，12，…第 7 項至第 10 項的
2，
和．
提問
巡視
指導
思考
動手求解
交流
及時掌握學生情況查漏補缺
歸納總結(jié)
引導提問
回憶反思
培養(yǎng)學生總結(jié)學習過程
能力
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習題和《學習指導與練習》；
查漏補缺：根據(jù)個人情況對課堂學習復習與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴展延伸內(nèi)容.
說明
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