8.1 計(jì)數(shù)原理
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一下冊(cè)）
授課
時(shí)長
2 課時(shí)
授課類型
新授課
教學(xué)提示
計(jì)數(shù)原理是加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算的延伸與推廣，是生活中分類、分步背后所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)刻畫，是后續(xù)學(xué)習(xí)排列、組合和二項(xiàng)式定理的理論依據(jù)，是本章的基礎(chǔ)性知識(shí). 本課首先通過“推選學(xué)生參加技能大賽”創(chuàng)設(shè)情境與問題，引導(dǎo)學(xué)生分析比較各自的問題特征及解決問題的基本環(huán)節(jié)，然后從特殊到一般，抽象概括出兩個(gè)基本原理，然后以典型例題和練習(xí)題以及不同的情境與問題
強(qiáng)化學(xué)生對(duì)原理的理解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步辨析與深層理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.
教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的形成過程，理解分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，會(huì)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成一件事情的方法總數(shù)；通過實(shí)例感知兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別,能根據(jù)具體問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)脑斫鉀Q一些簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)；通過觀察、分析、概括、比較，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活服務(wù)于生活，感悟從具體到抽象、從特殊到一般的思想方法，形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，養(yǎng)成周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；通過學(xué)習(xí)，逐步
提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)．
教學(xué)
重點(diǎn)
分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別，能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決簡
單的實(shí)際問題.
教學(xué)
難點(diǎn)
理解“完成一件事情”的含義；準(zhǔn)確區(qū)分“分類”或“分步”.
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
設(shè)計(jì)
意圖
引入
計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理也稱為基本計(jì)數(shù)原理，是解決計(jì)數(shù)問題的基本方法，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想
和工具.
引發(fā)思考
感受體會(huì)
引出課題
8.1.1 分類計(jì)數(shù)原理
某校擬從 3 名男生、6 名女生中，推選 1 名參加全國
職業(yè)院校技能大賽某一賽項(xiàng)的市級(jí)選拔賽，問共有多少種不同的選法？
創(chuàng)設(shè)
情境
提出
討論
情境
導(dǎo)入
問題
交流
引發(fā)
思考
推選工作可以分兩類進(jìn)行.第 1 類是從男生中選，有 3
種選法；第 2 類是從女生中選，有 6 種選法. 并且，每一種選法都能夠完成推選工作.因此，不同的選法共有
3+6=9（種）.
一般地，如果完成一件事有 n 類方式. 第 1 類方式有 k1 種方法， 第 2 類方式有 k2 種方法，… ，第 n 類方式有 kn 種方法，那么完成這件事的方法共有
N= k1+k2+… +kn(種).
上面的計(jì)數(shù)原理稱為分類計(jì)數(shù)原理.分類計(jì)數(shù)原理又稱加法原理.
講解
理解
從特
殊到
—
般，
新知
概括
探索
加法
計(jì)數(shù)
說明
強(qiáng)調(diào)
領(lǐng)會(huì)
要點(diǎn)
原理
典型例題
例 1 張老師要從某市去上海出差,出發(fā)前查詢到,當(dāng)天抵
達(dá)的高 鐵有 46 班次,客運(yùn)汽車有62 班次,輪船有4 班次．張老師當(dāng)天要從某市到上海,共有多少種不同的選擇？
分析 在高鐵、客運(yùn)汽車、輪船三類公共交通工具中任選一類,都 可以完成這件事(當(dāng)天從某市到上海),符合分類計(jì)數(shù)原理.
第 1 類：乘坐高鐵,從 46 個(gè)班次中任意選擇一個(gè),有 k1
=46 種選擇；
第 2 類：乘坐汽車,從 62 個(gè)班次中任意選擇一個(gè),有
k2=62 種選擇；
第 3 類：乘坐輪船,從 4 個(gè)班次中任意選擇一個(gè)，有
k3=4 種選擇.
解根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的選擇共有
N=46+62+4=112(種).
提問引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
指導(dǎo)學(xué)習(xí)
思考分析
解決交流
主動(dòng)求解
引導(dǎo)學(xué)生概括有三類選擇都可 以，每一類方法又有若干種
選擇
鞏固練習(xí)
練習(xí) 8.1.1
書架上有 9 本數(shù)學(xué)書 、6 本語文書、4 本英語書. 從書架上任取一本，共有多少種不同的取法？
某地區(qū)山川秀美，3A 級(jí)景區(qū)有 7 個(gè)，4A 級(jí)景區(qū)有 5個(gè). 某旅行團(tuán)計(jì)劃從中任選一處景區(qū)游玩，有多少種不同的選法？
用一個(gè)大寫的英文字母或 0~9 中的一個(gè)數(shù)字給新植的樹苗進(jìn)行編號(hào)，一共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動(dòng)手求解
交流
及時(shí)掌握學(xué)生情況查漏補(bǔ)缺
情境導(dǎo)入
8.1.2 分步計(jì)數(shù)原理
某校擬從 3 名男生、6 名女生中，各推選 1 名參加全
國職業(yè)院校技能大賽某一賽項(xiàng)的市級(jí)選拔賽，問共有多少種不同的選法？
引發(fā)思考
討論交流
創(chuàng)設(shè)情境發(fā)現(xiàn)
問題
新知探索
要推選男生、女生各 1 名，可以分兩個(gè)步驟進(jìn)行. 第一步選男生，第二步選女生.若選出“男生 1”后再選女生，可列出6 種不同的選法.類似地，我們可以列出第一步選“男
生 2 ”時(shí)所有可能的選法和第一步選“男生 3” 時(shí)所有可能的選法．因此，不同的選法共有
6+6+6=3×6=18(種).
一般地，如果完成一件事有 n 個(gè)步驟. 完成第一個(gè)步
驟有 k1 種方法，完成第 2 個(gè)步驟有 k2 種方法，… ，完成第 n 個(gè)步驟有 kn 種方法，并且只有這 n 個(gè)步驟都完成后，
講解
展示圖形提示說明
說明強(qiáng)調(diào)
理解
觀察特征交流討論
領(lǐng)會(huì)要點(diǎn)
為幫助學(xué)生理解，采用學(xué)生熟悉的 “樹狀 圖”幫助解決
這件事才能完成，那么完成這件事的方法共有
N= k1k2 … kn(種).
上面的計(jì)數(shù)原理稱為分步計(jì)數(shù)原理.分類計(jì)數(shù)原理又稱乘法原理.
典型例題
例 2 書架的第一層有 6 本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有 7 本不同的語文書，第三層有 5 本不同的英語書. 若從這些書中取 1 本數(shù)學(xué)書、1 本語文書和 1 本英語書，共有多少種不同的取法？
分析 解決這個(gè)問題可以分成 3 個(gè)步驟：第 1 步取 1 本數(shù)
學(xué)書，第 2 步取 1 本語文書，第 3 步取 1 本英語書.符合分步計(jì)數(shù)原理.
第 1 步：從 6 本不同的數(shù)學(xué)書中取 1 本，有 k1=6 種取法；
第 2 步：從 7 本不同的語文書中取 1 本，有 k2=7 種取法；
第 3 步：從 5 本不同的英語書中取 1 本，有 k3=5 種取法．
解根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有
N=6×7×5 = 210 (種).
提問引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
主動(dòng)求解
鞏固對(duì)分步計(jì)數(shù)原理的理 解，引導(dǎo)學(xué)生分析完成這件事的步驟
鞏固練習(xí)
練習(xí) 8.1.2
小明到黃山游覽，他計(jì)劃先從某市乘坐火車到合肥，第二天再從合肥乘坐汽車到黃山.一天中從該市到合肥適合乘坐的火車有 10 個(gè)班次，從合肥到黃山適合乘坐的汽車有 10 個(gè)班次，那么小明從該市到黃山有多少種不同的乘車方案？
某班甲、乙、丙、丁 4 名同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校的兵乓球、羽毛球、網(wǎng)球三項(xiàng)不同的 比賽，每人只能報(bào)名參加一項(xiàng)比賽，且每項(xiàng)比賽只允許 1 人報(bào)名參加，問共有多少種
不同的參賽方案？
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動(dòng)手求解
交流
及時(shí)掌握學(xué)生情況查漏補(bǔ)缺
情境導(dǎo)入
8.1.3 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
一個(gè)口袋內(nèi)裝有 3 個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有 4 個(gè)小球，所有這些小球的顏色各不相同.
(1)從兩個(gè)口袋內(nèi)任取 1 個(gè)小球，有多少種不同的取法？
(2)從兩個(gè)口袋內(nèi)各取 1 個(gè)小球，有多少種不同的取
法？
提出問題
引發(fā)思考
思考
分析回答
與前面情境相同問題不同
典型例題
分析 (1)從兩個(gè)口袋內(nèi)任取 1 個(gè)小球，有兩類方式：第一類是從第一個(gè)口袋內(nèi)任取 1 個(gè)小球，有 k1=3 種取法；第二類是從第二個(gè)口袋內(nèi)任取 1 個(gè)小球，有 k2=4 種取法；
(2)從兩個(gè)口袋內(nèi)各取 1 個(gè)小球，分為兩個(gè)步驟來完成：第一步是從第一個(gè)口袋內(nèi)取 1 個(gè)小球，有 k1=3 種取法；第二步是從第二個(gè)口袋內(nèi)取 1 個(gè)小球，有么 k2=4 種取法.
解 (1)根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有 3+4=7 (種) ；
提問引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
求解
幫助學(xué)生辨析兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)
別
(2)根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有 3×4= 12 (種).
情境導(dǎo)入
學(xué)校開展“我和我的祖國”書面展，要從 8 幅學(xué)生作品
中選出 4 幅分別掛在 1—4 號(hào)四個(gè)不同的展位上，一共有多少種不同的掛法？
提出問題
分析回答
創(chuàng)設(shè)情境
典型例題
分析 解決這個(gè)問題需要四個(gè)步驟：第一步，從 8 幅作品中選擇 1 幅作品掛在 1 號(hào)展位，有 k1=8 種不同的選擇；第二步，從剩下的 7 幅作品中選擇一幅掛在 2 號(hào)展位上，有 k2=7 種不同的選擇，以此類推，我們可以用下圖來表示.
解 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的掛法共有
8×7×6×5=1680 (種).
提問引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
求解
單獨(dú)運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理
情境導(dǎo)入
甲廠生產(chǎn)的汽車型號(hào)有 3 種，每種有 4 個(gè)顏色；乙廠
生產(chǎn)的汽車型號(hào)有 4 種，每種有 5 個(gè)顏色；丙廠生產(chǎn)的汽
車型號(hào)有 5 種，每種有 3 個(gè)顏色. 劉某要從中選購一款，他共有多少種不同的選擇？
提出問題
分析回答
典型例題
分析 解決這個(gè)問題要分別對(duì)甲、乙、丙三個(gè)汽車廠討論，并考慮每個(gè)汽車廠生產(chǎn)的汽車有多少種不同的款式．需要綜合運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理.
第 1 類：從甲廠生產(chǎn)的汽車中選擇，分兩步：第 1 步
選擇汽車型號(hào)，有 3 種；第 2 步選擇汽車顏色，有 4 個(gè)．共
k1=3×4=12 種款式；
第 2 類：從乙廠生產(chǎn)的汽車中選擇，分兩步：第 1 步
選擇汽車型號(hào)，有 4 種；第 2 步選擇汽車顏色，有 5 個(gè)．共有 k2=4×5=20 種款式；
第 3 類：從丙廠生產(chǎn)的汽車中選擇，分兩步：第 1 步
選擇汽車型號(hào)，有 5 種；第 2 步選擇汽車顏色，有 3 個(gè)．共有 k3=5×3=15 種款式.
解 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，劉某的選擇共有
3×4+4×5+5×3=47(種).
提問引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
求解
綜合運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原 理，先分類再對(duì)每一類分步計(jì)算
鞏固練習(xí)
練習(xí) 8.1.3
某電路包含開關(guān)組A 和開關(guān)組B.
如左圖所示，若只閉合 1 只開關(guān)接通電路，使電燈發(fā)光，有多少種不同的方法(開關(guān)組 A 與開關(guān)組 B 是并聯(lián)關(guān)系)？
如右圖所示，若閉合 A、B 中各 1 只開關(guān)接通電路，使電燈發(fā)光，有多少種不同的方法(開關(guān)組A 與開關(guān)組 B是串聯(lián)關(guān)系)？
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
求解
交流
及時(shí)掌握學(xué)生情況查漏補(bǔ)缺
從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選擇兩名同學(xué)參加學(xué)校羽毛球、跳繩兩個(gè)活動(dòng)，每人最多只能參加一項(xiàng)，一共有多少種選擇？
有 9 個(gè)互不相同的小球，其中 4 個(gè)紅球、3 個(gè)綠球和 2 個(gè)黃球. 現(xiàn)從中取兩個(gè)顏色相同的球，分別放入兩個(gè)
不同的杯子，一共有多少種放法？
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程
能力
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.
說明
記錄
繼續(xù)探究延伸
學(xué)習(xí)

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