6.1 和角公式
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一下冊）
授課
時長
4 課時
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課先復(fù)習(xí)了誘導(dǎo)公式，將和角公式看作是廣義的誘導(dǎo)公式，從而利用特殊到一般的方法說明和角公式解決的問題是：已知任意兩個角的三角函數(shù)，能夠求得它們和角或者差角的三角函數(shù)．然后利用解析法研究了兩角和與差的余弦公式，再借助兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)兩角和與差的正弦公式以及啟發(fā)學(xué)生推
導(dǎo)兩角和與差的正切公式.
教學(xué)目標(biāo)
掌握公式及其推導(dǎo)過程，理解公式成立的條件，會用公式求值、化簡和證明；通過探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)公式，逐步培養(yǎng)分析問題、解決問題、合作交流的能力；通過公式的運用，掌握求值和化簡的各種方法；通過學(xué)習(xí)，逐步提升數(shù)學(xué)抽象、
邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．
教學(xué)
重點
利用和角公式求值、化簡和證明三角函數(shù)式．
教學(xué)
難點
兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo).
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動
學(xué)生
活動
設(shè)計
意圖
引入
在基礎(chǔ)模塊，我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：
它們在三角計算和化簡中具有重要作用.
觀察這些公式可以發(fā)現(xiàn)，等式左邊都是兩個角的和 (或差)的三角函數(shù).其中第一個角是特殊角，第二個角 α是任意角．如果這兩個角都是任意角,那么它們的和(或差)的三角函數(shù)又是怎樣的呢？
現(xiàn)實中,很多與三角函數(shù)有關(guān)的實際問題常常涉及兩個任意角的和(或差)的三角函數(shù).為此，我們進一步學(xué)習(xí)
兩角和與差的三角函數(shù)公式.
提出問題
引發(fā)思考
思考分析回答
利用特殊到一般的方法說明和角公式解決的問題
情境導(dǎo)入
6.1.1 兩角和與差的余弦公式
早在公元 2 世紀(jì)，人們就推導(dǎo)出了兩角和與差的余弦公式.
隨著時間的推移和研究的深入,現(xiàn)在數(shù)學(xué)中已很少使用公元 2 世紀(jì)的推導(dǎo)方法，而是首先推導(dǎo)兩角差的余弦公式,再通過誘導(dǎo)公式得到兩角和的余弦公式.那么現(xiàn)在是
怎樣推導(dǎo)兩角差的余弦公式的呢？
提出問題引發(fā)思考
觀察思考討論交流
結(jié)合數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
如圖所示，設(shè)單位圓與 x 軸的交點為 P1，角 α、β 和
β-α 的終邊與單位圓的交點分別為 P2、P3 和 P4，則點 P1、P2、P3、P4 的坐標(biāo)分別為(1,0)、(csα,sin α)、
講解
理解
利用
解析法研
新知探索
(csβ,sinβ)、(cs (β-α),sin (β-α)).
當(dāng) P2、O、P3 不在同一條直線上時，
∠P2OP3=∠P4OP1=α-β，
且
|OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|=1，
因此
ΔP2OP3≌ΔP1OP4，
所以| P2P3|=| P1P4|.
當(dāng) P2、O、P3 在同一條直線上時，容易看出也有
| P2P3|=| P1P4|.
根據(jù)兩點之間的距離公式，可得
?cs ? ? cs ? ?2 ? ?sin ? ? sin ? ?2
=??cs ?? ? ? ? ?1??2 ? ??sin ?? ? ? ? ? 0??2 ，整理可得，
cs(? ? ? ) ? cs ? ? cs? ? sin ? ? sin ? .
由誘導(dǎo)公式 cs(-α)=csα，得
cs(? ? ? ) ? cs? ? cs ? ? sin ? ? sin ? .
在上式中，以-β 代替 β，得到
cs[α- (-β)]=csαcs(-β)+sinαsinβ
即
cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβ.
于是，我們得到兩角和與差的余弦公式：
cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβCα+β
cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβCα-β
展示圖形提示說明
說明強調(diào)
觀察特征交流討論
領(lǐng)會要點
究兩角和與差的余弦公式 ,解析法對近代數(shù)學(xué)的機械化證明提供了有力的工 具．后續(xù)正 弦、余弦定理以及三角形面積公式的證明都采用了這種方法
典型例題
例 1求 cs15°的值.
解 cs15? ? cs(45? ? 30?)
? cs 45?cs 30?+sin 45?sin 30?
?2 ? 3 + 2 ? 1
2222
? 6+ 2
4
例 2已知設(shè)sin ? ? 3，cs ? ? 5 ，并且? 和 ? 都是第一象
513
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
思考分析
解決交流
例 1表明如果一個角可以化成兩個特殊角
限角，求 cs(α+β)的值．
解 因為sin ? ? 3，cs ? ? 5 ，并且? 和 ? 都是第一象限
513
角，所以
cs? ? 1 ? sin2 ? ? 4 ， sin ? ? 1 ? cs2 ? ? 12 .
513
因此
cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβ
= 4 ? 5 ? 3 ? 12 ? ? 16 .
5 135 1365
例 3 證明： cs? π ? ? ?=sin ?.
? 2?
??
證明 因為 cs? π ? ? ?= cs π ? cs? ? sin π ? sin ?
? 2?22
??
? 0 ? cs? ? 1?sin? ? sin? ，
所以cs? π ? ? ? ? sin? ．
? 2?
??
探究與發(fā)現(xiàn)
化簡.
指導(dǎo)學(xué)習(xí)
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
主動求解
思考分析
解決交流
的和
（或差），就可以直接應(yīng)用和角公式
例 2強調(diào)要注意角的取值范圍 例 3與本節(jié)開篇復(fù)習(xí)的誘導(dǎo)公式呼應(yīng)
鞏固練習(xí)
練習(xí) 6.1.1
1.求下列各式的值.
(1) cs105°；(2) cs75°；
(3) cs55°cs10°+sin55°sin10°；
(4) cs222.5°-sin222.5°.
已知sin ? ? 3 ，且 α∈ ? ? ??? ，求 cs ? ? +? ? 、
5? 2?? 3?
????
cs? ? ? ? ? 的值.
? 3?
??
證明：cs ? ? +? ? =-sinα.
? 2?
??
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動手求解
交流
及時掌握學(xué)生情況查漏補缺
情境導(dǎo)入
6.1.2 兩角和與差的正弦公式
上一節(jié)學(xué)習(xí)了 α±β 的余弦，即 cs(α±β)可以用 α、β 的正弦、余弦來表示.那么，α±β 的正弦，即 sin(α±β)是否也
可以用 α、β 的正弦、余弦來表示呢？
引發(fā)思考
討論交流
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)
問題
新知探索
由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可知，sinx=cs ? ? ? x ? .因此，
? 2?
??
有sin(? ? ? )= cs ?? π ? ?? ? ? ???
? 2?
講解
展示圖形
理解
觀察特征
借助兩角和的
余弦
= cs ?? π ? ? ? ? ? ?
?? 2??
????
=cs? π ? ? ? ? cs ? ? sin ? π ? ? ? ? sin ?
? 2?? 2?
????
=sin? ? cs ? ? cs? ? sin ? .
即
sin(? ? ? ) = sin? ? cs ? ? cs? ? sin ? .在上式中，用-β 代替 β，可得
sin ??? ? ??? ??? ? sin? ? cs??? ? ? cs? ? sin ??? ?
即
sin ?? ? ? ? ? sin? ? cs ? ? cs? ? sin ? .于是，我們得到兩角和與差的正弦公式：
sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβSα+β
sin(α-β)=sinαcsβ- csαsinβSα-β
提示說明
說明強調(diào)
交流討論
領(lǐng)會要點
公式對角兩角和的正弦公 式，強調(diào)知識間的的聯(lián)系
典型例題
例 4 求 sin15°的值.
解sin15? ? sin(60? ? 45?)
= sin 60?cs 45? ? cs 60?sin 45?
= 3 ? 2 ? 1 ? 2
2222
= 6 ? 2 .
4
例 5 已知sin? ? 5 ，cs ? ? ? 4 并且? 和 ? 都是第二象限
135
角，求 sin(α+β)的值．
解 因為sin? ? 5 ，cs ? ? ? 4 并且? 和 ? 都是第一象限
135
角，所以
cs? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 12 ， sin ? ? 1 ? cs2 ? ? 3 .
135
因此
sin(α+β)= sinαcsβ+csαsinβ
= 5 ? ? ? 4 ? ? ? ? 12 ? ? 3 ? ? 56 .
13 ? 5 ? ? 13 ? 565
?? ??
例 6 求下列各式的值.
sin 80?cs10? ? cs80?sin10? ；
3 sin15 + 1 cs15 .
22
解 (1) sin 80?cs10? ? cs80?sin10? =sin(80°+10°)
=sin90°=1；
(2)3 sin15 + 1 cs15 =sin15°cs30°+cs15°sin30°
22
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
主動求解
例 4直接應(yīng)用公式解決問 題，也可以用 45°
與
30°
的差
例 5設(shè)計已知一個正弦或余弦值求余弦或正弦值 例 6逆向使用公式
=sin(15°+30°)=sin45°= 2 .
2
鞏固練習(xí)
練習(xí) 6.1.2
求 sin105°的值.
求下列各式的值.
sin5°cs25°+cs5°sin25°；
sin70°cs10°-cs70°sin10°；
2 sin ? ?2 cs ? ；
212212
1 sin15 ? 3 cs15 .
22
3.已知sin? = ? 2 ，cs ? = ? 3 ，且 α、β 都是第三象限
34
的角，求 sin(α+β)和 sin(α-β)的值.
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動手求解
交流
及時掌握學(xué)生情況查漏補缺
情境導(dǎo)入
6.1.3 兩角和與差的正切公式
我們知道，α±β 的正弦、余弦都可以用 α、β 的正弦與余弦表示，那么 α±β 的正切，即tan(α±β)，能否用 α、β 的
正切來表示呢？
提出問題引發(fā)
思考
思考
分析回答
創(chuàng)設(shè)問題情境
探索新知
由公式 Cα+β、Sα+β 和tan ? = sin? ，可得
cs?
sin(? ? ? )sin ? cs ? ? cs ? sin ?
tan(? ? ? ) ??.
cs(? ? ? )cs ? cs ? ? sin ? sin ?
當(dāng) csαcsβ≠0 時，得到
tan ? ? tan ?
tan(? ? ? ) ?.
1 ? tan ? ? tan ?
將公式中的 β 替換成-β，可得
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? .
1 ? tan ? ? tan ?
于是，我們得到兩角和與差的正切公式：
tan ? ? tan ?
tan(? ? ? ) ?Tα+β
1 ? tan ? ? tan ?
tan ? ? tan ?
tan(? ? ? ) ?Tα-β
1 ? tan ? ? tan ?
公式中 α、β 的取值應(yīng)使分式有意義.
講解
說明
展示圖像引發(fā)思考
理解
領(lǐng)會
觀察圖像分析問題
兩角和的正切公式應(yīng)啟發(fā)學(xué)生如何用兩個角的正切來表示兩角和的正切
典型例題
例 7 求 tan15°的值.
解 tan15 ? tan(45 ? 30 ) ? tan 45 ? tan 30
1 ? tan 45 tan 30
1 ? 3
?3? 3 ? 3 ? 2 ? 3 .
1 ? 1? 33 ? 3
3
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
求解
例 7是直接應(yīng)用公式解決問題
例 8 求下列各式的值.
tan 25 ? tan 35 ；(2) 1 ? tan15 ．
1 ? tan 25 tan 351 ? tan15
解 (1) tan 25 ? tan 35 ＝tan(25 ? 35 ) ＝tan 60 ＝ 3 ；
1 ? tan 25 tan 35
1 ? tan15 ＝ tan 45 ? tan15 ＝tan(45 ? 15 )
1 ? tan151 ? tan 45 tan15
＝tan 60 ＝ 3 ．
例 9 已知 tanα= 2 ，求 tan ? ? +? ? 的值.
5? 4?
??
? ??tan ? +tan?1+ 2
解 tan ?+? ? =4= 5 = 7 .
? 4? 1 ? tan ? tan?1 ?1? 23
45
Sα±β、Cα±β、Tα±β 三組公式統(tǒng)稱和角公式.應(yīng)用和角公式可以計算三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒
等式.
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
指導(dǎo)
說明
思考分析
解決交流
求解
領(lǐng)會
例 8是逆向使用公式和公式應(yīng)用的特殊形式
例 9與例 8(2)
相呼應(yīng)
鞏固練習(xí)
練習(xí) 6.1.3
1.求下列各式的值.
(1) tan75°；(2) tan105°；
(3)tan15 +tan30； (4)3 ? tan15 .
1 ? tan15 tan 301+ 3 tan15
已知 tanx=2，tany=3，求 tan(x+y)和 tan(x-y)的值.
證明： 1+tan? = tan ? ? +? ? .
1 ? tan?? 4?
??
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
求解
交流
及時掌握學(xué)生情況查漏補缺
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程能力
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
查漏補缺：根據(jù)個人情況對課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴展延伸內(nèi)容.
說明
記錄
繼續(xù)探究延伸
學(xué)習(xí)

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6.1 和角公式

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