7.2 等差數(shù)列
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一下冊(cè)）
授課
時(shí)長(zhǎng)
4 課時(shí)
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課通過(guò)中國(guó)古建筑天壇實(shí)例引出等差數(shù)列的概念，然后介紹等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，旨在提升學(xué)生文化素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析、歸納猜想以及應(yīng)用能力；然后教材通過(guò)國(guó)慶布置展臺(tái)實(shí)例給出一個(gè)特殊的等差數(shù)列求和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形為倒序相加法提供了一個(gè)直觀模型．接著從特殊
到一般，推導(dǎo)一般的等差數(shù)列的求和公式．
教學(xué)目標(biāo)
了解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，了解等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式；能夠通過(guò)具體實(shí)例，發(fā)現(xiàn)總結(jié)等差數(shù)列的概念及公差的概念；理解并掌握等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式，并應(yīng)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；結(jié)合古建筑天壇、國(guó)慶展臺(tái)等情境與問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，體驗(yàn)中國(guó)歷史文化，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、分析、綜合推理的能力，滲透特殊到一般的思想；通過(guò)學(xué)習(xí)，逐步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推
理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).
教學(xué)
重點(diǎn)
等差數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式及應(yīng)用．
教學(xué)
難點(diǎn)
等差數(shù)列概念的理解，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用．
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
設(shè)計(jì)
意圖
引入
等差數(shù)列是一種有特殊規(guī)律的數(shù)列，其通項(xiàng)公式的
前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.
介紹
體會(huì)
引出
學(xué)習(xí)
7.2.1 等差數(shù)列的概念
天壇集明清兩代建筑技藝之大成，是古建筑珍品.它以深刻的文化內(nèi)涵、宏偉的建筑風(fēng)格，成為中華民族古老文明的寫照.圜丘壇是舉行冬至祭天大典的場(chǎng)所.圜丘為圓形，三層壇制，每層四面出臺(tái)階各 9 級(jí).上層中心為一塊圓
石,外鋪扇形石塊 9 圈，內(nèi)圈 9 塊，以 9 的倍數(shù)依次向外延
展，欄板、望柱的數(shù)量也都是 9 或 9 的倍數(shù).
石板以上層中心圓石為起點(diǎn)，第一圈為 9 塊，第二圈
為 18 塊，周圍各圈直至底層，共 9 圈，均以 9 的倍數(shù)遞
增，如圖所示．你能算出第 9 圈共有多少塊石板嗎？
提出
觀察
提升
問(wèn)題
思考
文化
引發(fā)
討論
素
思考
交流
養(yǎng)，
培養(yǎng)
情境導(dǎo)入
觀察
分 析、
歸納
猜想
以及
應(yīng)用
能力
可以看出，第一圈石板數(shù)為 9，第二圈石板數(shù)為 18，第三圈石板數(shù)為 27，… ，第 9 圈石板數(shù)為 81.因此，從內(nèi)到外，石板數(shù)構(gòu)成數(shù)列：9，18，27，… ，81.在這個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)開始，每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是 9.
用同樣的方式觀察數(shù)列
講解
理解
強(qiáng)調(diào)
定義
的重
展示
觀察
要性
圖形
特征
并自
新知探索
20，15，10，5，… ；
1，3，5，7，….
我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)列都具有一個(gè)共同特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)時(shí)，就稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差，通常用字母 d 來(lái)表示．
如數(shù)列 5，10，15，20，…是等差數(shù)列，公差 d=5；
1，3，5，7，…是等差數(shù)列，公差 d=2；１，2，3，…，
99，100 是等差數(shù)列，公差 d=1．
如果數(shù)列?an?是一個(gè)公差為 d 的等差數(shù)列，那么該數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于它的前一項(xiàng)與公差的和，即
a2=a1+d， a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d， a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d， a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d，
……
因此，首項(xiàng)為 a1、公差為 d 的等差數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為
an=a1+(n?1) d.
探究與發(fā)現(xiàn)
已知一個(gè)等差數(shù)列中的某一項(xiàng)和這個(gè)數(shù)列的公差，如何表示出其他的項(xiàng)？
提示說(shuō)明
說(shuō)明強(qiáng)調(diào)
講解分析
引發(fā)思考
交流討論
領(lǐng)會(huì)要點(diǎn)
體會(huì)學(xué)習(xí)
分析討論
始至終緊扣這個(gè)定義，推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷 “不完全歸納法”這一研究過(guò)程
典型例題
例１ 已知等差數(shù)列 2，5，8，11，… (1)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
求出這個(gè)數(shù)列的第 6 項(xiàng)；
這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)是 35？
解 (1)設(shè)這個(gè)等差數(shù)列通項(xiàng)公式為{an}，則 an=a1+(n-1)d，則 a1=2，a2=5，可得
d =5-2=3.
由 an=a1+(n-1)d 得，該數(shù)列通項(xiàng)公式為
an=2+( n-1)×3=3n-1.
即an=3n-1．
由 an=3n-1，可知 a6=3×6-1=17．
設(shè) 35 是這個(gè)數(shù)列的第 n 項(xiàng)，即 an＝35，則由通項(xiàng)公式an=3n-1
可得
35=3n-1，
解得n=12．
所以，35 是這個(gè)數(shù)列的第 12 項(xiàng)．
例 2 在等差數(shù)列 ?an? 中，a2=25， a7=10，求 a1，d，a10.
解 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n?1) d ，可得
提問(wèn)引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
指導(dǎo)學(xué)習(xí)
思考分析
解決交流
主動(dòng)求解
例 1
和例
2 讓學(xué)生靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式和方程思想求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公 差、項(xiàng) 數(shù)、指定的項(xiàng)
? 28 ? a1 +d , .
?10 ? a +6d.
?1
解方程組，得
?a1 ? 28
? d ? ?3
?
于是，該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為
an=28+(n-1)×(-3)=-3n+31.
由此可得，a10= (-3)×10+31=1.
所以，a1=28，d=-3，a10=1.
例 3 小明、小明的爸爸和小明的爺爺?shù)哪挲g恰好構(gòu)成等差數(shù)列，他們?nèi)齻€(gè)人的年齡之和為 99，爺爺?shù)哪挲g是小明的年齡的 10 倍，求他們祖孫三人的年齡.
分析 對(duì)于構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)，可以將它們?cè)O(shè)為 a1， a1+d，a1+2d，也可以將它們?cè)O(shè)為 a-d，a，a+d，其中 d 為公差.若已知這三個(gè)數(shù)的和，則將它們?cè)O(shè)為 a-d ，a，a+d更有利于計(jì)算．
解 設(shè)小明、小明的爸爸和小明的爺爺?shù)哪挲g分別為 a-d ，
a，a+d ，則
解方程組得
?a ? 33,
?d ? 27.
?
于是，a-d=6，a+d=60.
即小明、小明的爸爸和小明的爺爺?shù)哪挲g分別是 6 歲、33
歲和 60 歲．
因此，他們祖孫三人的年齡分布為 60 歲、33 歲和 6
歲.
提問(wèn)引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
提問(wèn)引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
思考分析
解決交流
思考交流
解決問(wèn)題
例 3主要闡明如果三個(gè)數(shù)成等差數(shù) 列，且已知三個(gè)數(shù)的 和，利用對(duì)稱性設(shè)這三個(gè)數(shù)
新知探索
一般地，當(dāng)三個(gè)數(shù) a，A，b 成等差數(shù)列時(shí)，A 稱為 a
和 b 的等差中項(xiàng).
若 A 是 a 與 b 的等差中項(xiàng)，則由等差數(shù)列的定義可知，
A-a=b-A，
因此
例如，若 2，b，6 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則 b 是 2 和 6
的等差中項(xiàng)，且 b= 2+6 ? 4.
2
講解說(shuō)明
領(lǐng)會(huì)要點(diǎn)
借助實(shí)例說(shuō)明
鞏固練習(xí)
練習(xí) 7.2.1
1.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列(是打“√”，否打 “×”).若是，指出其公差.
(1) 1，3，5，7，9，2，4，6，8 ；()
(2) 1， 1 ，1， 1 ，1， 1 ，…；()
222
3,3,3,3,… ；()
1,1,2,3,4,5,… ；()
4,1,-2,5,… ；()
根據(jù)已知條件填空.
(1) 38 是等差數(shù)列 3，8，13，18，…的第項(xiàng)； (2)在等差數(shù)列?an?中，a1=10，a8=3，則 d =； (3)在等差數(shù)列?an?中，d=?2，a20=?18，則 a1=．
在等差數(shù)列?an?中，a5=11，a14=38，求 a1，d，a20．
已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于 12，它們平方和等于 56，求這三個(gè)數(shù)．
5 .求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng)：
(1) 12 與 4； (2) ?10 與 6．
提問(wèn)
巡視
指導(dǎo)
思考
動(dòng)手求解
交流
及時(shí)掌握學(xué)生情況查漏補(bǔ)缺
情境導(dǎo)入
7.2.2 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式
某街道舉辦國(guó)慶 70 周年成就展,在展廳前用鮮花擺放
了一個(gè)等腰梯形花壇.花壇由前到后共有 12 排，最前一排
擺放了 10 盆鮮花，往后每排依次增加 2 盆.
寫出由前到后每排擺放的鮮花盆數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，并計(jì)算這個(gè)花壇一共用了多少盆鮮花.
引發(fā)思考
討論交流
借助幾何圖形為倒序相加法提供了一個(gè)直觀模型
新知探索
容易算出,第 2 排的花盆數(shù)為 12，第 3 排的花盆數(shù)為 14,…,第 12 排的花盆數(shù)為 32．因此,由前到后每排的花盆數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為
10,12,14,?,32.
要計(jì)算一共用了多少盆鮮花， 就是要計(jì)算等差列 10,12,14,?,32 各項(xiàng)的和.設(shè)想將等腰梯形倒過(guò)來(lái)，與原來(lái)的等腰梯形合并在一起，如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)每一排的花盆數(shù)都是 42，即
10+32=12+30=14+28=…=32+10.
講解
展示圖形
理解
觀察特征
按照從特殊到一般的過(guò)程推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式
因?yàn)橐还灿?12 排花盆，所以這個(gè)花壇的花盆總數(shù)為
一般地，數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和記為 Sn ，于是有
Sn=a1 + a2 + a3 + …+an-1+an，(1) (1)式也可以寫為
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1．(2)
將(1)式與(2)式相加，可得
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+ (a3+an-2)+… +(an+a1)
因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中
a1+an=a1+an
a2+an-1=(a1+d )+(an?d )=a1+an，
a3+an-2=(a1+2d )+(an?2d )=a1+an，
……
an+a1=a1+an
所以
2Sn=n (a1+an) .
由此得到等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式
S n(a1＋an)
n=2.
因?yàn)?an=a1+(n-1)d，所以上面的公式又可寫成
S ＝nan(n－1) d.
n1＋2
探究與發(fā)現(xiàn)
當(dāng)一個(gè)等差數(shù)列的公差為正數(shù)的時(shí)候，它的前 n 項(xiàng)和一定隨著項(xiàng)數(shù)的增加而增加么？反之，當(dāng)公差為負(fù)數(shù)時(shí)，
它的前 n 項(xiàng)和一定隨著項(xiàng)數(shù)的增加而減少么？
提示說(shuō)明
說(shuō)明強(qiáng)調(diào)
交流討論
領(lǐng)會(huì)要點(diǎn)
用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式
典型例題
例 4 在等差數(shù)列{an}中，a1=5，a9=85，求 S9．解根據(jù)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式
得
例 5 等差數(shù)列-6，- 4，-2，0，…的前多少項(xiàng)的和等于 30？解 設(shè)該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和等于 30
由于 a1=-6，d=a2-a1=(-4)-(-6) =2，故由等差數(shù)列前
n 項(xiàng)和公式，得
即n2-7n-30=0.
解得n=10 或 n=-3(舍去).
因此，該數(shù)列的前 10 項(xiàng)和是 30．
提問(wèn)引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
主動(dòng)求解
例 4
和例
5 是鞏固性練習(xí)，目的是學(xué)習(xí)根據(jù)條件靈活選擇公式解題
鞏固練習(xí)
練習(xí) 7. 2
1．填空：
若已知等差數(shù)列{an}中的 a1 和 a100，則 S100 的表是；
若已知等差數(shù)列{an}中的 a1 和公差 d，S100 的表達(dá)是；
等差數(shù)列3，3，3，3，…前10項(xiàng)的和是． 2．在等差數(shù)列{an}中，a1=3，a20=100，求 S20 ．
1
在等差數(shù)列{an}中，a1=1，d=2，求 S10 ．
在等差數(shù)列{an}中，an=n+1，求 S20
提問(wèn)
巡視
指導(dǎo)
思考
動(dòng)手求解
交流
及時(shí)掌握學(xué)生情況查漏補(bǔ)缺
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問(wèn)
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程
能力
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.
說(shuō)明
記錄
繼續(xù)探究延伸
學(xué)習(xí)

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7.2 等差數(shù)列

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