課程標準　1.結合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義．　2.結合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義．
f(－x)＝－f(x)
2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的______正周期．
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)中心對稱．特別地，當b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關于點(a，0)中心對稱．
解析：(1)由于偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)錯誤．(2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，且在x＝0處有意義時才滿足f(0)＝0，(2)錯誤．
3．設奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，若當x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________________．
(－2，0)∪(2，5]
解析：由圖象可知，當0＜x＜2時，f(x)＞0；當2＜x≤5時，f(x)＜0.又f(x)是奇函數(shù)，∴當－2＜x＜0時，f(x)＜0，當－5≤x＜－2時，f(x)＞0.綜上，f(x)＜0的解集為(－2，0)∪(2，5].
4．已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(－3)＝________．解析：因為f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，則f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
判斷函數(shù)的奇偶性的兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱，否則為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．
已知函數(shù)f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)，則f(x)(　　)A．是奇函數(shù)，且在(0，1)上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在(0，1)上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0，1)上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在(0，1)上單調(diào)遞減
由對數(shù)運算性質知f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)＝ln [(2＋2x)(3－3x)]＝ln [6(1－x2)]＝ln 6＋ln (1－x2)(－1＜x＜1)，設u＝1－x2，y＝ln u，則u＝1－x2在(0，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝ln u單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減．
g(2＋x)＝g(2－x)?g(－x)＝g(x＋4)③，由②③知g(x＋4)＝－g(x＋3)，即g(x＋1)＝－g(x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x).從而g＝g＝g＝0，B正確；同法一可判斷A，D錯誤．
1.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或參數(shù)的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．2．畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題．
[解析]　(1)令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，故f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋2)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)，故f(0)＝2，同理，令x＝1，y＝1，得f(2)＝－1；令x＝2，y＝1，得f(3)＝－2；令x＝3，y＝1，得f(4)＝－1；令x＝4，y＝1，得f(5)＝1；令x＝5，y＝1，得f(6)＝2.
對于④，分別令x＝1，2，得f(1)＋f(3)＝－2，f(2)＋f(4)＝－2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－4.對于①，令x＝－1，得g(1)－f(－3)＝7，則g(1)－f(1)＝7⑤，對于②，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝5⑥，由⑤⑥，得f(1)＝－1.對于②，令x＝0，得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以f(0)＝1.
1.求解與函數(shù)周期有關的問題，應根據(jù)題目特征及周期的定義，求出函數(shù)的周期．2．利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉化到已知區(qū)間上，進而解決問題．
2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當－1≤x＜3時，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________．
解析：因為f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340.
例4　(1)(多選)(2024·河北承德模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結論正確的是(　　)A．f(x)的圖象關于直線x＝2對稱B．f(x)的圖象關于點(2，0)對稱C．f(x)的周期為4D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)
[解析]　(1)∵f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，故A正確，B錯誤；∵函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，則f(－x)＝f(x＋4).又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正確；∵T＝4且f(x)為偶函數(shù)，故y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．
1.求解與函數(shù)的對稱性有關的問題時，應根據(jù)題目特征和對稱性的定義，求出函數(shù)的對稱軸或對稱中心．2．解決函數(shù)對稱性有關的問題，一般結合函數(shù)圖象，利用對稱性解決求值或參數(shù)問題．

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