課程標(biāo)準(zhǔn)　1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域．　2.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用．　3.通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．
2.函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：__________________________．(2)如果兩個函數(shù)的_______相同，并且_________完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有_________、圖象法和列表法．
定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域
4．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的______．
1.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個交點(diǎn)．2．注意以下幾個特殊函數(shù)的定義域：(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合．(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合．(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正數(shù)且不為1的實(shí)數(shù)集合．(4)若f(x)＝x0，則定義域?yàn)閧x|x≠0}．
1．判斷下列結(jié)論是否正確(正確的在括號內(nèi)打“√”，錯誤的在括號內(nèi)打“×”).(1)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個函數(shù)．(　　)(2)對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.(　　)(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其對應(yīng)是從A到B的函數(shù)．(　　)(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域分別相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．(　　)
解析：(1)錯誤．函數(shù)y＝1的定義域?yàn)镽，而y＝x0的定義域?yàn)閧x|x≠0}，其定義域不同，故不是同一函數(shù)．(2)錯誤．值域可以為B的子集．(3)錯誤．集合A中的元素0在集合B中無元素與之對應(yīng)．(4)錯誤．只有兩個函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)．
2．如圖，可以表示函數(shù)f(x)的圖象的是(　　)
解析：根據(jù)函數(shù)的定義，對于一個x，只能有唯一的y與之對應(yīng)，只有D滿足要求．
例1　(1)(2024·山東濰坊模擬)存在函數(shù)f(x)滿足：對任意x∈R，都有(　　)A．f(|x|)＝x3　　　B．f(sin x)＝x2C．f(x2＋2x)＝|x| D．f(|x|)＝x2＋1
[解析]　(1)對于A，當(dāng)x＝1時，f(|1|)＝f(1)＝1；當(dāng)x＝－1時，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函數(shù)定義，A錯誤．對于B，令x＝0，則f(sin x)＝f(0)＝0；令x＝π，則f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函數(shù)定義，B錯誤．對于C，令x＝0，則f(0)＝0；令x＝－2，則f(0)＝f((－2)2＋2(－2))＝2，不符合函數(shù)定義，C錯誤．對于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，則|x|≥0，則存在x≥0時，f(x)＝x2＋1，符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)f(x)＝x2＋1(x≥0)滿足：對任意x∈R，都有f(|x|)＝x2＋1，D正確．(2)同一個函數(shù)滿足：①定義域相同，②對應(yīng)關(guān)系相同，只有A，C滿足．
1.函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素．2．構(gòu)成函數(shù)的三要素中，若定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．
角度1　給定解析式的函數(shù)的定義域
求給定解析式的函數(shù)定義域的方法(1)求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解．(2)若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．(3)對于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義．
角度2　抽象函數(shù)的定義域
求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域．
[解]　(1)(換元法)：設(shè)1－sinx＝t，t∈[0，2]，則sin x＝1－t.∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
(4)(方程組法)：∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.
函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式．(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法．(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．
2．寫出一個滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy的函數(shù)解析式為____________________．解析：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy中，令x＝y(tǒng)＝0，解得f(0)＝0，令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－2x2，故f(x)＋f(－x)＝2x2，不妨設(shè)f(x)＝x2，滿足要求．
f(x)＝x2(答案不唯一)
根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解．
f(x)＝－ax＋1在(－∞，a)上單調(diào)遞減，所以f(x)＞1－a2.f(x)＝(x－2)2在[a，＋∞)上的最小值大于或等于0，而1－a2＜0，所以函數(shù)f(x)在R上不存在最小值．綜上，a的取值范圍為[0，1]，a的最大值為1.
已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．提醒　當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應(yīng)分類討論．

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