1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行簡單的應(yīng)用.
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
f(－x)＝－f(x)
2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個 的正數(shù)，那么這個 就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝ ，則T＝2a(a>0).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(　　)(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).(　　)(3)對于函數(shù)y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù).(　　)(4)若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)f(x)的一個周期.(　　)
2.(2023·濟南統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2－6x，則f(－1)等于A.－7 B.－5 C.5 D.7
因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝5.
3.(2023·鹽城檢測)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2＋1，則f(2 024.5)等于
由f(x＋2)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為2，當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2＋1，
4.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其在[0，＋∞)上的圖象如圖所示.則不等式xf(x)>0的解集為______________.
(－2,0)∪(0,2)
根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可得f(x)的圖象如圖所示.xf(x)>0即圖象上點的橫坐標與縱坐標同號，且均不為0.結(jié)合圖象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).
例1　(1)(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x|
題型一　函數(shù)奇偶性的判斷
對于A，函數(shù)的定義域為 ，關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)；對于B，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；對于C，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝ ＝－f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)；對于D，函數(shù)的定義域為{x|x≠－1}，不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
(2)已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則函數(shù)f(x)為_____函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
由題意得函數(shù)f(x)的定義域為R，定義域關(guān)于原點對稱，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0.令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，故f(－x)＝－f(x).故f(x)為奇函數(shù).
判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.
跟蹤訓練1　(2024·哈爾濱模擬)下列函數(shù)中不具有奇偶性的是A.f(x)＝x＋sin x
A項，f(x)的定義域為R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)為奇函數(shù)；B項，令 ≥0，解得x≤－1或x>1，即函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，即f(x)為非奇非偶函數(shù)；D項，f(x)的定義域為R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)為偶函數(shù).
命題點1　利用奇偶性求值(解析式)例2　(1)(2023·黔東南統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，則f(－m)等于A.4 B.6 C.－4 D.－6
題型二　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，設(shè)g(x)＝f(x)－5＝2x－2－x，則g(－x)＝2－x－2x＝－g(x)，即g(x)是奇函數(shù)，故g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)－5＋f(－m)－5＝0，即f(m)＋f(－m)＝10，因為f(m)＝4，所以f(－m)＝6.
(2)(2023·呂梁統(tǒng)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，－x－2的解集為(－5，＋∞)D.f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023
對于A，令x＝y(tǒng)＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；對于B，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正確；對于C，設(shè)x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，
又因為x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，因為f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，
所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集為(－7，＋∞)，故C錯誤；對于D，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝0，故D錯誤.
(2)已知函數(shù)f(x)滿足：①對?m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)；② ?＝－1.請寫出一個符合上述條件的函數(shù)f(x)＝________________________________.
lg2x(答案不唯一，符合條件即可)
因為對?m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)，所以f(x)在(0，＋∞)上可能為對數(shù)函數(shù)，故f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)滿足條件①，
故符合上述條件的函數(shù)可以為f(x)＝lg2x.
(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.
跟蹤訓練2　(1)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝ex＋x＋m，則f(－1)等于A.e B.－e C.e＋1 D.－e－1
因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
(2)已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x，x∈(－2,2)，則不等式f(2x－1)＋f(x)>0的解集為________.
依題意，f(x)是定義在(－2,2)上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，∴f(2x－1)＋f(x)>0，可化為f(2x－1)>－f(x)＝f(－x)，
方法一　因為f(x)為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，
由(2x－1)(2x＋1)>0，
此時f(x)為偶函數(shù)，符合題意.故a＝0.
所以g(x)為奇函數(shù).
則y＝x＋a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0.
例4　(1)(2024·安康統(tǒng)考)設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(2＋x)＝f(－x)，
因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一個周期為2，
(2)(2023·瀘州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且周期為3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是A.2 024 B.2 023 C.1 D.0
因為f(x)的周期為3，f(－1)＝1，則f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，則f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因為函數(shù)f(x)在R上的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)為偶函數(shù)，故f(1)＝f(－1)＝1，則f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0.
(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題.
跟蹤訓練3　(多選)(2023·深圳模擬)已知非常數(shù)函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，則A.f(2)＝0B.f(x＋4)為偶函數(shù)C.f(x)為周期函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于點(－4,0)對稱
因為f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一個周期是4，故C正確；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正確；又f(x)的一個周期為4，且為奇函數(shù)，所以f(x＋4)為奇函數(shù)，故B不正確；因為f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對稱，所以f(x)的圖象也關(guān)于點(－4,0)對稱，故D正確.
一、單項選擇題1.(2023·寧波統(tǒng)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，則f(2 024)等于A.－1 B.0 C.1 D.2
因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以f(2 024)＝f(0)＝0.
2.(2023·全國乙卷)已知f(x)＝ 是偶函數(shù)，則a等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
又因為x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，則x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.
3.(2023·長沙模擬)已知偶函數(shù)f(x)對于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是A.f(－1)

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