1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義. 2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.
ZHISHIZHENDUANZICE
f(－x)＝－f(x)
2.周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且_____________，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)______的正數(shù)，那么這個(gè)__________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
解析　(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)錯(cuò)誤.(2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，且在x＝0處有意義時(shí)才滿足f(0)＝0，(2)錯(cuò)誤.(4)反例：f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，(4)錯(cuò)誤.
(1)函數(shù)y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函數(shù).(　　)(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)＝0.(　　)(3)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.(　　)(4)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù).(　　)
解析　對(duì)于f(x)＝x4，f(x)的定義域?yàn)镽，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函數(shù)，
3.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為__________________.
(－2，0)∪(2，5]
解析　由圖象可知，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)2＜x≤5時(shí)，f(x)＜0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，f(x)＜0，當(dāng)－5≤x＜－2時(shí)，f(x)＞0.綜上，f(x)＜0的解集為(－2，0)∪(2，5].
4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若f(－1)＝1，則f(2 025)＝______.
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.
KAODIANJUJIAOTUPO
考點(diǎn)一　函數(shù)奇偶性的判斷
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
解　顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
解　顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，
判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.
解析　對(duì)于A，只有奇函數(shù)在x＝0處有定義時(shí)，函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)y＝xsin x的定義域?yàn)镽且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，所以B正確；對(duì)于C，函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以C正確；
所以函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以D不正確.
解析　因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).對(duì)于A，x∈R，設(shè)F(x)＝f(x)＋g(x)，則F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，x∈R，設(shè)N(x)＝f(x)－g(x)，
考點(diǎn)二　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
(2)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝________.
解析　當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
角度2　奇偶性與單調(diào)性例3 (1)(多選)(2024·合肥調(diào)研)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則(　　)A.f(f(1))0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x－23或x

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