f(－x)＝
f(－x)＝f(x)　
注意　 (1)只有函數(shù)在 x ＝0處有定義時， f (0)＝0才是 f ( x )為奇函數(shù)的必要不 充分條件；(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即 f ( x )＝0， x ∈ D ，其中定義域 D 是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集.
1. 常見的奇(偶)函數(shù)
(1)函數(shù) f ( x )＝ ax ＋ a － x 為偶函數(shù)，函數(shù) g ( x )＝ ax － a － x 為奇函數(shù)；
2. 函數(shù)奇偶性的拓展結(jié)論(1)若函數(shù) y ＝ f ( x ＋ a )是偶函數(shù)，則 f ( x ＋ a )＝ f (－ x ＋ a )，函數(shù) y ＝ f ( x )的圖象關(guān) 于直線 x ＝ a 對稱.(2)若函數(shù) y ＝ f ( x ＋ b )是奇函數(shù)，則 f ( x ＋ b )＋ f (－ x ＋ b )＝0，函數(shù) y ＝ f ( x )的圖 象關(guān)于點( b ，0)中心對稱.
2. 函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) f ( x )的定義域為 D ，如果存在一個非零常數(shù) T ，使得對每一個 x ∈ D 都有 x ＋ T ∈ D ，且⑨ ，那么函數(shù) f ( x )就叫做周期函數(shù).非零 常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期.
f ( x ＋ T )＝ f ( x )　
(2)最小正周期如果在周期函數(shù) f ( x )的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫 做 f ( x )的⑩ 正周期.注意　 并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如 f ( x )＝5.
3. 函數(shù)圖象的對稱性已知函數(shù) f ( x )是定義在R上的函數(shù)，(1)若 f ( a ＋ x )＝ f ( b － x ) 恒成立，則 y ＝ f ( x ) 的圖象關(guān)于直線? 對稱.(2)若 f ( a ＋ x )＋ f ( b － x )＝ c ，則 y ＝ f ( x )的圖象關(guān)于點? 對稱.注意　 (1)奇、偶函數(shù)的圖象平移之后對應(yīng)的函數(shù)不一定有奇偶性，但其圖象一定有 對稱性.(2)注意區(qū)分抽象函數(shù)的周期性與對稱性的表示，周期性的表示中，括號內(nèi) x 的符號相同，對稱性的表示中，括號內(nèi) x 的符號相反.
常用結(jié)論函數(shù) f ( x )圖象的對稱性與周期的關(guān)系(1)若函數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于直線 x ＝ a 與直線 x ＝ b 對稱，則函數(shù) f ( x )的周期為2｜ b － a ｜；(2)若函數(shù) f ( x )的圖象既關(guān)于點( a ，0)對稱，又關(guān)于點( b ，0)對稱，則函數(shù) f ( x )的周 期為2｜ b － a ｜；(3)若函數(shù) f ( x )的圖象既關(guān)于直線 x ＝ a 對稱，又關(guān)于點( b ，0)對稱，則函數(shù) f ( x )的 周期為4｜ b － a ｜.
3. [多選]以下函數(shù)為偶函數(shù)的是(　AC　)
4. 已知函數(shù) f ( x )為R上的偶函數(shù)，且當(dāng) x ＜0時， f ( x )＝ x ( x －1)，則當(dāng) x ＞0時， f ( x )＝ ?.
5. 已知定義在R上的函數(shù) f ( x )滿足 f ( x )＝ f ( x －2)，當(dāng) x ∈[0，2)時， f ( x )＝ x 2－4 x ，則當(dāng) x ∈[4，6)時， f ( x )＝ ?.
[解析]　設(shè) x ∈[4，6)，則 x －4∈[0，2)，則 f ( x －4)＝( x －4)2－4( x －4)＝ x 2－12 x ＋32.又 f ( x )＝ f ( x －2)，所以函數(shù) f ( x )的周期為2，所以 f ( x －4)＝ f ( x )，所以當(dāng) x ∈[4，6)時， f ( x )＝ x 2－12 x ＋32.
x 2－12 x ＋32　.
[解析]　由 f ( x )為奇函數(shù)，知 f (－ x )＝－ f ( x )，當(dāng) x ＞0時，可得－ x ＋ a ＝－ bx ＋ 1，所以 b ＝1， a ＝1.
命題點1　函數(shù)的奇偶性角度1　判斷函數(shù)的奇偶性例1 (1)[全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù) f ( x )， g ( x )的定義域都為R，且 f ( x )是奇函數(shù)， g ( x )是偶函 數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　B　)
[解析]　因為 f ( x )為奇函數(shù)， g ( x )為偶函數(shù)，所以 f ( x ) g ( x )為奇函數(shù)， f ( x )｜ g ( x )｜為奇函數(shù)，｜ f ( x )｜ g ( x )為偶函數(shù)，｜ f ( x ) g ( x )｜為偶函數(shù)，故選B.
方法技巧1. (1)函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)有奇偶性的前提條件；(2)若定義域關(guān)于原點對 稱，則判斷 f ( x )與 f (－ x )是否具有等量關(guān)系，具體運算中，可轉(zhuǎn)化為判斷 f ( x )＋ f (－ x )＝0(奇函數(shù))或 f ( x )－ f (－ x )＝0(偶函數(shù))是否成立.2. 在公共定義域內(nèi)有：奇函數(shù)±奇函數(shù)＝奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)＝偶函數(shù)，奇函 數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)＝偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)＝奇函數(shù).注意　 對于分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分段判斷 f (－ x )＝ f ( x )或 f (－ x )＝－ f ( x )是 否成立，只有當(dāng)所有區(qū)間都滿足相同關(guān)系時，才能判斷該分段函數(shù)的奇偶性.
(2)[2024江蘇南通模擬]已知定義在R上的函數(shù) f ( x )， g ( x )分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)， 且 f ( x )＋ g ( x )＝ x 2－2 x ，則 f (2)＋ g (1)＝ ?.
[解析]　由 f ( x )是奇函數(shù)， g ( x )是偶函數(shù)，得 f (－ x )＝－ f ( x )， g (－ x )＝ g ( x )， ∵ f ( x )＋ g ( x )＝ x 2－2 x ，∴ f (－ x )＋ g (－ x )＝(－ x )2－2(－ x )＝ x 2＋2 x ，即－ f ( x )＋ g ( x )＝ x 2＋2 x ，則有 f ( x )＝－2 x ， g ( x )＝ x 2，則 f (2)＋ g (1)＝－4＋1＝－3.
方法技巧函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略(1)求函數(shù)解析式或函數(shù)值：借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)解析式或函數(shù) 值，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于 f ( x )的方程(組)求解析式.(2)求參數(shù)值：利用定義域關(guān)于原點對稱或 f ( x )± f (－ x )＝0列方程(組)求解，對于在 x ＝0處有定義的奇函數(shù) f ( x )，可考慮列等式 f (0)＝0求解.注意　 利用特殊值法求參數(shù)時要檢驗.
訓(xùn)練1 (1)[2024遼寧鞍山一中模擬]下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞 增的是(　C　)
(2)[2024江蘇省揚州中學(xué)模擬]定義在R上的奇函數(shù) f ( x )，當(dāng) x ≥0時， f ( x )＝2 x － a ·3－ x ，當(dāng) x ＜0時， f ( x )＝ ?.
[解析]　因為函數(shù) f ( x )為奇函數(shù)，定義域為R，所以 f (0)＝20－ a ×30＝0，解得 a ＝ 1.若 x ＜0，則－ x ＞0，所以 f (－ x )＝2－ x －3 x ，又 f ( x )為奇函數(shù)，所以當(dāng) x ＜0時， f ( x )＝－ f (－ x )＝3 x －2－ x ，即當(dāng) x ＜0時， f ( x )＝3 x －2－ x .
3 x －2－ x 　
方法技巧(1)利用函數(shù)的周期性可以將局部的函數(shù)性質(zhì)擴展到整體.(2)判斷抽象函數(shù)的周期一 般需要對變量進行賦值.
(2)[2024云南部分名校聯(lián)考]已知 f ( x )是定義在R上的偶函數(shù)，且 f ( x )＋ f (4－ x )＝ 0，當(dāng)0≤ x ≤2時， f ( x )＝ a ·2 x ＋ x 2，則 f (2 024)＝ ?.
[解析]　因為 f ( x )是定義在R上的偶函數(shù)，且 f ( x )＋ f (4－ x )＝0，所以 f ( x )＝－ f (4 － x )＝－ f ( x －4)， f ( x －4)＝－ f ( x －8)，所以 f ( x )＝ f ( x －8)，故 f ( x )是以8為周 期的函數(shù)，則 f (2 024)＝ f (0).令 x ＝2，則 f (2)＋ f (4－2)＝2 f (2)＝8 a ＋8＝0，則 a ＝ －1，所以 f (0)＝－20＝－1，即 f (2 024)＝－1.
命題點3　函數(shù)圖象的對稱性
(2)函數(shù) f ( x )＝( x 2－1)(e x －e－ x )＋ x ＋1在區(qū)間[－2，2]上的最大值與最小值分別為 M ， N ，則 M ＋ N 的值為 ?.
[解析]　設(shè) g ( x )＝( x 2－1)(e x －e－ x )＋ x ，則 f ( x )＝ g ( x )＋1.因為 g (－ x )＝( x 2－1)(e－ x －e x )－ x ＝－ g ( x )，且 g ( x )的定義域關(guān)于原點對稱，所 以 g ( x )是奇函數(shù).由奇函數(shù)圖象的對稱性知 g ( x )max＋ g ( x )min＝0，故 M ＋ N ＝[ g ( x )＋1]max＋[ g ( x )＋1]min＝2＋ g ( x )max＋ g ( x )min＝2.
(2)已知函數(shù) f ( x )＝ x 3－3 x 2＋ x ＋1＋ sin ( x －1)，則函數(shù) f ( x )在(0，2)上的最大值與 最小值的和為 ?.
[解析]　由三次函數(shù)圖象的對稱性可得， y ＝ x 3－3 x 2＋ x ＋1的圖象的對稱中心為 (1，0)，因為 y ＝ sin ( x －1)的圖象也關(guān)于(1，0)對稱，所以函數(shù) f ( x )在(0，2)上的圖 象關(guān)于(1，0)對稱，所以 f ( x )在(0，2)上的最大值與最小值的和為0.
方法技巧1. 對于函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合問題，常利用奇、偶函數(shù)的圖象的對稱性，以及 奇、偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性求解.2. 對于函數(shù)周期性與奇偶性的綜合問題，常利用奇偶性及周期性將所求函數(shù)值的自 變量轉(zhuǎn)換到已知函數(shù)解析式的自變量的取值范圍內(nèi)求解.3. 函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在 一起命題，在解題時，往往需要先借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的 單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.
訓(xùn)練4 (1)已知函數(shù) f ( x )是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x ＞0時， f ( x )＝e x ＋ x 2＋ x ， 則不等式 f (2－ a )＋ f (2 a －3)＞0的解集為(　B　)
[解析]　易知 f ( x )在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且在(0，＋∞)上， f ( x )＞1.因為 f ( x )為R 上的奇函數(shù)，所以 f (0)＝0， f ( x )在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且在(－∞，0)上 f ( x )＜ －1，故 f ( x )在R上單調(diào)遞增.原不等式可化為 f (2－ a )＞－ f (2 a －3)，即 f (2－ a )＞ f (3－2 a )，所以2－ a ＞3－2 a ，故 a ＞1，選B.
(2)[2024湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考]已知函數(shù) y ＝ f ( x )是R上的奇函數(shù)，? x ∈R，都有 f (2－ x )＝ f ( x )＋ f (2)成立，則 f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋…＋ f (2 024)＝ ?.
[解析]　因為函數(shù) f ( x )是R上的奇函數(shù)，所以 f (0)＝0.因為? x ∈R，都有 f (2－ x )＝ f ( x )＋ f (2)，所以令 x ＝2，得 f (0)＝2 f (2)，得 f (2)＝0，所以 f (2－ x )＝ f ( x )，則函數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于直線 x ＝1對稱.因為函數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù) f ( x )是 以4為周期的周期函數(shù)，且函數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于點(2，0)中心對稱，則 f (1)＋ f (3)＝ 0，又 f (2)＝0， f (4)＝ f (0)＝0，所以 f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋ f (4)＝0，所以 f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋…＋ f (2 024)＝506[ f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋ f (4)]＝0.
抽象函數(shù)問題的解題策略
策略1　賦值法例6 [多選/2023新高考卷Ⅰ]已知函數(shù) f ( x )的定義域為R， f ( xy )＝ y 2 f ( x )＋ x 2 f ( y )，則 (　ABC　)
[解析]　解法一　令 x ＝ y ，則有 f ( x 2)＝2 x 2 f ( x ).當(dāng) x ＝0時，可得 f (0)＝0，A正確.當(dāng) x ＝1時，可得 f (1)＝2 f (1)，所以 f (1)＝0，B正確.因為 f ((－ x )2)＝2(－ x )2 f (－ x )，即 f ( x 2)＝2 x 2 f (－ x )，所以 f (－ x )＝ f ( x )，所以函數(shù) f ( x )為偶函數(shù)，C正確.因為無法判斷函數(shù) f ( x )的單調(diào)性，所以無法確定 f ( x )的極值點，故D不正確，故選ABC.
解法二　取 x ＝ y ＝0，則 f (0)＝0，故A正確；取 x ＝ y ＝1，則 f (1)＝ f (1)＋ f (1)，所 以 f (1)＝0，故B正確；取 x ＝ y ＝－1，則 f (1)＝ f (－1)＋ f (－1)，所以 f (－1)＝0，取 y ＝－1，則 f (－ x )＝ f ( x )＋ x 2 f (－1)，所以 f (－ x )＝ f ( x )，所以函數(shù) f ( x )為偶函 數(shù)，故C正確；因為 f (0)＝0，且函數(shù) f ( x )為偶函數(shù)，所以函數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于 y 軸 對稱，所以 x ＝0可能為函數(shù) f ( x )的極小值點，也可能為函數(shù) f ( x )的極大值點，也可 能不是函數(shù) f ( x )的極值點，故D不正確.綜上，選ABC.
方法技巧賦值法是指利用已知條件，對變量賦值，從而得出抽象函數(shù)在某點處的函數(shù)值或抽 象函數(shù)的性質(zhì).
方法技巧1. 思路：利用題設(shè)中的條件等式，將其變形為滿足函數(shù)某些性質(zhì)的定義表達式，從 而利用這些性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解.2. 設(shè)函數(shù) f ( x )及其導(dǎo)函數(shù) f '( x )的定義域均為R. (1)若 f ( x )的圖象關(guān)于 x ＝ a 對稱，則 f '( x )的圖象關(guān)于( a ，0)對稱；(2)若 f ( x )的圖象關(guān)于( a ， b )對稱，則 f '( x )的圖象關(guān)于 x ＝ a 對稱；(3)若 f ( x )是以 T 為周期的函數(shù)，則 f '( x )也是以 T 為周期的函數(shù).注意　 利用函數(shù)圖象的平移變換解決抽象函數(shù)性質(zhì)問題時，注意在進行圖象變換的 同時，函數(shù)圖象的對稱軸或者對稱中心也進行了相應(yīng)的變換.
策略3　特殊函數(shù)模型法例8 定義在R上的函數(shù) f ( x )滿足 f ( x ＋ y )＝ f ( x )＋ f ( y )＋2 xy ( x ， y ∈R)， f (1)＝2， 則 f (－3)＝(　C　)
[解析]　解法一　由函數(shù) f ( x )滿足 f ( x ＋ y )＝ f ( x )＋ f ( y )＋2 xy ( x ， y ∈R)，聯(lián)想到 函數(shù)模型 f ( x )＝ x 2＋ bx ，由 f (1)＝2，可得 b ＝1，則 f ( x )＝ x 2＋ x ，所以 f (－3)＝ (－3)2＋(－3)＝6.
解法二　 f (1)＝ f (1＋0)＝ f (1)＋ f (0)＋2×1×0＝ f (1)＋ f (0)，得 f (0)＝0； f (0)＝ f (－1＋1)＝ f (－1)＋ f (1)＋2×(－1)×1＝ f (－1)＋2－2＝ f (－1)，得 f (－1)＝0； f (－2)＝ f (－1－1)＝ f (－1)＋ f (－1)＋2×(－1)×(－1)＝2 f (－1)＋2＝2； f (－3)＝ f (－2－1)＝ f (－2)＋ f (－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6.故選C.
注意　 應(yīng)用特殊函數(shù)模型法解題時，要注意檢驗所選模型是否滿足已知條件.
訓(xùn)練5 (1)[新高考卷Ⅰ]若定義在R上的奇函數(shù) f ( x )在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且 f (2)＝ 0，則滿足 xf ( x －1)≥0的 x 的取值范圍是(　D　)
[解析]　由題意知 f ( x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且 f (－2)＝ f (2)＝ f (0)＝0.當(dāng) x ＞0時，令 f ( x －1)≥0，得0≤ x －1≤2，∴1≤ x ≤3；當(dāng) x ＜0時，令 f ( x －1)≤0，得－2≤ x －1≤0，∴－1≤ x ≤1，又 x ＜0，∴－1≤ x ＜0；當(dāng) x ＝0時，顯然符合題意.綜上，原不等式的解集為[－1，0]∪[1，3]，故選D.
(2)[多選/2024安徽省阜陽市模擬]已知函數(shù) f ( x )的定義域為R，對任意實數(shù) x ， y 滿足 f ( x － y )＝ f ( x )－ f ( y )＋1，且 f (1)＝0，當(dāng) x ＞0時， f ( x )＜1.則下列選項正確的是 (　ACD　)
[解析]　解法一　設(shè) f ( x )＝ kx ＋1，因為 f (1)＝0，所以 k ＝－1，所以 f ( x )＝－ x ＋ 1，滿足 x ＞0時， f ( x )＜1，則易得A，C，D均正確，故選ACD.
解法二　對于A，取 x ＝ y ＝0，則 f (0)＝ f (0)－ f (0)＋1，故 f (0)＝1，A正確；對于B，取 x ＝0， y ＝1，則 f (－1)＝ f (0)－ f (1)＋1＝2，取 x ＝1， y ＝－1，則 f (2) ＝ f (1)－ f (－1)＋1＝－1，B錯誤﹔對于C，取 x ＝0，則 f (－ y )＝ f (0)－ f ( y )＋1＝2－ f ( y )， f (－ y )－1＝－[ f ( y )－1]， 則 f ( y )－1為奇函數(shù)，所以 f ( x )－1為奇函數(shù)，C正確；對于D，當(dāng) x 1＞ x 2時， x 1－ x 2＞0， f ( x 1－ x 2)＜1，則 f ( x 1)－ f ( x 2)＝ f ( x 1－ x 2)－1 ＜0，故 f ( x )是R上的減函數(shù)，D正確，故選ACD.
1. [命題點1角度2/全國卷Ⅱ]設(shè) f ( x )為奇函數(shù)，且當(dāng) x ≥0時， f ( x )＝e x －1，則當(dāng) x ＜ 0時， f ( x )＝ (　D　)
[解析]　依題意得，當(dāng) x ＜0時， f ( x )＝－ f (－ x )＝－(e－ x －1)＝－e－ x ＋1，故選D.
3. [命題點2，3/多選/2024江蘇省興化市名校聯(lián)考]已知函數(shù) f ( x )為R上的奇函數(shù)， g ( x )＝ f ( x ＋1)為偶函數(shù)，下列說法正確的有(　ABD　)
[解析]　因為函數(shù) f ( x )為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于點(0，0)中心對 稱，因為 g ( x )＝ f ( x ＋1)為偶函數(shù)，所以 f (－ x ＋1)＝ f ( x ＋1)，即函數(shù) f ( x )的圖象 關(guān)于 x ＝1對稱，所以 f (－ x ＋1)＝－ f (－ x －1)，所以 f ( x －1)＝ f (－ x －1)，所以函 數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于 x ＝－1對稱，故A正確；由 f (－ x ＋1)＝ f ( x ＋1)可得 f (2－ x )＝ f ( x )，故D正確；由 f (2－ x )＝ f ( x )可得 f (2＋ x )＝ f (－ x )＝－ f ( x )，所以 f (4＋ x )＝ f ( x )，即函數(shù) f ( x )的周期為4，故C錯誤；因為 f ( x )的周期為4，所以 g (2 023)＝ f (2 024)＝ f (0)＝0，故B正確.故選ABD.
5. [思維幫角度1，2/2021新高考卷Ⅱ]設(shè)函數(shù) f ( x )的定義域為R，且 f ( x ＋2)為偶函 數(shù)， f (2 x ＋1)為奇函數(shù)，則(　B　)
[解析]　因為函數(shù) f (2 x ＋1)是奇函數(shù)，所以 f (－2 x ＋1)＝－ f (2 x ＋1)，所以 f (1)＝ 0， f (－1)＝－ f (3).因為函數(shù) f ( x ＋2)是偶函數(shù)，所以 f ( x ＋2)＝ f (－ x ＋2)，所以 f (3)＝ f (1)，所以 f (－1)＝－ f (1)＝0.故選B.
6. [思維幫角度2/多選/2023四省聯(lián)考]已知 f ( x )是定義在R上的偶函數(shù)， g ( x )是定義 在R上的奇函數(shù)，且 f ( x )， g ( x )在(－∞，0]上均單調(diào)遞減，則(　BD　)
[解析]　因為 f ( x )與 g ( x )分別是定義在R上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且兩函數(shù)在(－∞， 0]上均單調(diào)遞減，所以 f ( x )在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， g ( x )在[0，＋∞)上單調(diào)遞減， 即 g ( x )在R上單調(diào)遞減，所以 f (1)＜ f (2)， g (2)＜ g (1)＜ g (0)＝0，(提示：定義在R 上的奇函數(shù)的圖象必過原點)所以 f ( g (1))＜ f ( g (2))， g ( f (1))＞ g ( f (2))， g ( g (1))＜ g ( g (2))，故B，D正確，C不 正確.若 f (1)＜ f (2)＜0，則 f ( f (1))＞ f ( f (2))，故A不正確.綜上所述，選BD.
1. [2024黑龍江省雞西市第一中學(xué)模擬]下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞 減的是(　C　)
2. 若定義在R上的偶函數(shù) f ( x )和奇函數(shù) g ( x )滿足 f ( x )＋ g ( x )＝e x ，則 g ( x )＝(　D　)
[解析]　若 x ＜0，則－ x ＞0， f (－ x )＝ x 2－2 x ＝ f ( x )，若 x ＞0，則－ x ＜0， f (－ x )＝ x 2＋2 x ＝ f ( x )，故函數(shù) f ( x )為偶函數(shù)，且當(dāng) x ≥0時，函數(shù) f ( x )單調(diào)遞增，由 f (－ a )＋ f ( a )≤2 f (1)，得2 f ( a )≤2 f (1)，即 f ( a )≤ f (1)，所以｜ a ｜≤1，所以－1≤ a ≤1.故選C.
5. [2024安徽月考]已知函數(shù) f ( x )＝2 sin x ＋ x ＋2， x ∈[－2π，2π]， f ( x )的最大值為 M ，最小值為 m ，則 M ＋ m ＝(　A　)
[解析]　因為 y ＝2 sin x ＋ x 的圖象關(guān)于原點對稱，所以 f ( x )＝2 sin x ＋ x ＋2 的圖象關(guān)于點(0，2)對稱，所以 f ( x )在[－2π，2π]上的最大值與最小值的和 M ＋ m ＝4.故選A.
6. [2023南京市、鹽城市一模]若函數(shù) f ( x )＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 滿足 f (1－ x )＋ f (1＋ x ) ＝0對一切實數(shù) x 恒成立，則不等式 f '(2 x ＋3)＜ f '( x －1)的解集為(　C　)
解法一　易得 f '( x )＝3 x 2＋2 bx ＋ c 的圖象的對稱軸為直線 x ＝1，所以函數(shù) f '( x )在 (－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則由 f '(2 x ＋3)＜ f '( x －1)，得｜2 x ＋3－1｜＜｜ x －1－1｜，解得－4＜ x ＜0，故選C.
[解析]　由 f (1－ x )＋ f (1＋ x )＝0可知，函數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于點(1，0)中心對稱.
7. [2024福州市一檢]已知定義域為R的函數(shù) f ( x )同時具有下列三個性質(zhì)，則 f ( x ) ＝ .(寫出一個滿足條件的函數(shù)即可)① f ( x ＋ y )＝ f ( x )＋ f ( y )；② f ( x )是奇函數(shù)；③當(dāng) x ＋ y ＞0時， f ( x )＋ f ( y )＜0.
[解析]　因為 f ( x )是奇函數(shù)，且當(dāng) x ＋ y ＞0時， f ( x )＋ f ( y )＜0，即 x ＞－ y 時， f ( x )＜－ f ( y )＝ f (－ y )，所以 f ( x )是單調(diào)遞減函數(shù)，再考慮到 f ( x ＋ y )＝ f ( x )＋ f ( y )，所以 f ( x )＝ kx ( k ＜0)都符合題意.
－ x (答案不唯一)　
8. 已知 f ( x )為R上的奇函數(shù)，當(dāng) x ＞0時， f ( x )＝－2 x 2＋3 x ＋1，則 f ( x )的解析式f ( x )＝ ?.
10. [2024黃岡模擬]已知函數(shù) f ( x )及其導(dǎo)函數(shù) f '( x )的定義域均為R，記 g ( x )＝ f '( x ＋ 1)，且 f (2＋ x )－ f (2－ x )＝4 x ， g (3＋ x )為偶函數(shù)，則g'(7)＋ g (17)＝(　C　)
[解析]　因為 g (3＋ x )為偶函數(shù)， g ( x )＝ f '( x ＋1)，所以 f '( x ＋4)＝ f '(－ x ＋4)，對 f (2＋ x )－ f (2－ x )＝4 x 兩邊同時求導(dǎo)，得 f '(2＋ x )＋ f '(2－ x )＝4，所以有 f '(4＋ x )＋ f '(－ x )＝4? f '(4－ x )＋ f '(－ x )＝4? f '(4＋ x )＋ f '( x )＝4? f '(8＋ x )＝ f '( x )，所以函數(shù) f '( x )的周期為8，在 f '(2＋ x )＋ f '(2－ x )＝4中，令 x ＝0，得 f '(2)＝2，因此 g (17)＝ f '(18)＝ f '(2)＝2.
因為 g (3＋ x )為偶函數(shù)，所以有 g (3＋ x )＝ g (3－ x )?g'(3＋ x )＝－g'(3－ x )?g'(7)＝ －g'(－1)　①，
f '(8＋ x )＝ f '( x )? g (7＋ x )＝ g ( x －1)?g'(7＋ x )＝g'( x －1)?g'(7)＝g'(－1)　②，
由①②可得：g'(7)＝0，所以g'(7)＋ g (17)＝2，故選C.
11. [多選/2024遼寧開學(xué)考試]已知函數(shù) y ＝ xf ( x )是R上的偶函數(shù)， f ( x －1)＋ f ( x ＋3) ＝0，當(dāng) x ∈[－2，0]時， f ( x )＝2 x －2－ x ＋ x ，則(　ACD　)
12. [多選/2024江西分宜中學(xué)、臨川一中等校聯(lián)考]已知函數(shù) y ＝ f ( x )對任意實數(shù) x ， y 都滿足2 f ( x ) f ( y )＝ f ( x ＋ y )＋ f ( x － y )，且 f (1)＝－1，則(　AC　)
13. [多選/2024南昌市模擬] f ( x )是定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'( x )，下 列說法中正確的是(　ACD　)
[解析]　對于A： f ( x )＝ f (－ x )兩邊對 x 求導(dǎo)，得f'( x )＝－f'(－ x )，故A正確.
對于B： f ( x )＝ f ( x ＋ T )＋ C ( C 為常數(shù))?f'( x )＝f'( x ＋ T )，則 C ≠0時，B錯誤.
對于C： f ( x )的圖象有對稱中心( a ， b )? f ( a － x )＋ f ( a ＋ x )＝2 b ，兩邊對 x 求 導(dǎo)，得－f'( a － x )＋f'( a ＋ x )＝0，即f'( a － x )＝f'( a ＋ x )?f'( x )的圖象關(guān)于直線 x ＝ a 對稱，C正確.
[解析]　由①? x ∈ D ， f ( x －2)＋ f (2－ x )＝0恒成立可知， y ＝ f ( x )的圖象關(guān)于原點 對稱，“?函數(shù)”為奇函數(shù).

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