1.2 充要條件
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學》
（拓展模塊一上冊）
授課
時長
1 課時
授課類型
新授課
教學提示
本課在學生學過的充分條件和必要條件基礎(chǔ)上進行持續(xù)思考，引入充要條件的有關(guān)概念；通過選擇學生熟悉的案例、已學過的知識、易判斷的命題，降低問題的難度，著重學習如何判斷 p 與 q 之間的邏輯關(guān)系．
教學目標
通過學習，了解充要條件的概念；了解命題中條件與結(jié)論的關(guān)系；知道條件與結(jié)論之間的充要性；能根據(jù)命題及其逆命題的真假判斷命題中所給條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系；知道判斷 p 是 q 的什么條件，既要通過命題的真假判斷 p 是不是 q 的充分條件，還要通過逆命題的真假判斷 p 是不是 q 的必要條件；借助解決具體問題的過程，加深對概念的理解；通過條件與結(jié)論之間充分性和必要性關(guān)系的分析，逐步養(yǎng)成實事求是、扎實嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，學習用數(shù)學思維解決問
題和辯證地認識世界；通過學習，逐步提升邏輯推理和數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)．
教學
重點
根據(jù)命題及其逆命題的真假判斷命題的條件是不是結(jié)論的充要條件.
教學
難點
命題、逆命題的真假判斷．
教學
環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容
教師
活動
學生
活動
設(shè)計
意圖
如圖電路中，“開關(guān) A 閉合”與“燈B 亮”還有什么
關(guān)系呢？
引導
學生
思考
以原
有問
情境導入
由于命題“如果開關(guān)A 閉合，那么燈 B 亮”是真命題，它的逆命題“如果燈 B 亮，那么開關(guān) A 閉合”也是真命題，所以“開關(guān) A 閉合”既是“燈 B 亮”的充分條件，
也是“燈B 亮”的必要條件.
從原 有問 題繼 續(xù) 思考
分析
題的另一種關(guān)系探究中引出新問題
探索新知
一般地, 若命題“如果 p, 那么 q”是真命題, 其逆命題“如果 q, 那么 p”也是真命題, 即 p?q 且 p?q, 則稱 p是 q 的充分且必要條件, 簡稱充要條件.
有時也稱 p 與 q 等價, 記為 p?q.
“情境與問題”中“開關(guān) A 閉合”是“燈 B 亮”的
講解說明
舉例
理解記憶
思考
歸納概念
舉例說明
充要條件.
典型例題
例 1 判斷下列命題中的條件 p 是否為結(jié)論 q 的充要條件.
(1)如果 x=2，那么 x=4；
(2)如果 a>b，那么 2a>2b.
解 (1) “如果 x=2, 那么 x2=4”是真命題, 其逆命題 “如果 x2=4, 那么 x=2”是假命題, 因此“x=2”不是 “x2=4”的充要條件；
(2)因為“如果 a>b，那么 2a>2b” 是真命題, 其逆 命題“如果 2a>2b, 那么 a>b”也是真命題，所以“a>b”是“2a>2b”的充要條件.
例 2 下列命題中的條件 p 是結(jié)論 q 的什么條件？
如果 x2-3x+2=0，那么 x=1；
如果 x 是有理數(shù)，那么 x 是實數(shù)；
如果圓心到直線的距離等于圓的半徑，那么直線與圓相切；
如果 α>β，那么 sinα>sinβ.
解 (1)命題“如果 x2-3x+2=0，那么 x=1”是假命題，其逆命題“如果 x=1，那么 x2-3x+2=0”是真命題所以 “x2-3x+2=0”是“x=1”的必要條件，但不是充分條件 (簡稱“必要不充分條件)；
命題“如果 x 是有理數(shù)，那么 x 是實數(shù)”是真命題，其逆命題“如果 x 是實數(shù)，那么 x 是有理數(shù)”是假命題，因此“x 是有理數(shù)”是“x 是實數(shù)”的充分條件，但不是必要條件(簡稱“充分不必要條件”)；
“如果圓心到直線的距離等于圓的半徑，那么直線與圓相切”是真命題，其逆命題“如果直線與圓相 切，那么圓心到直線的距離等于圓的半徑”也是真命 題，因此“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的充要條件；
“如果 α>β，那么 sinα>sinβ” 是假命題，其逆命題“如果 sinα>sinβ，那么 α>β”也是假命題，所以 “α>β”既不是“sinα>sinβ”的充分條件，也不是 “sinα>sinβ”的必要條件(簡稱“既不充分也不必要條
件”).
提問
引導
講解
強調(diào)
思考
分析
解決
交流
幫助學生初步認識到要 “雙
向”考慮問題
例 2延續(xù)例 1加深認 識，判斷條件直接關(guān)系需要 “雙
向”確認
鞏固練習
練習 1.2
1.判斷下列各題中的 p 是否為 q 的充要條件 .
p:函數(shù) f(x)=(a-1)x+1 是 R 上的增函數(shù)，q:a>1；
p:三棱錐 P-ABC 是正三棱錐，q:三棱錐 P-ABC 的底面為正三角形；
p: sinA= 3 ，q:cs A= 4 ；
55
p:x>3，q:x>2.
2. 寫出下列各題中條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系. (1)“x2=y2”是“x=y” 的.
提問
巡視
思考
動手求解
通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，
“a∈N”是“a∈Z”的.
“0

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中職數(shù)學高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊）電子課本

1.2 充要條件

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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