1.1 充分條件和必要條件
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一上冊(cè)）
授課
時(shí)長(zhǎng)
1 課時(shí)
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課以學(xué)生義務(wù)教育階段學(xué)過(guò)的教學(xué)內(nèi)容為載體，在此基礎(chǔ)上的延伸和拓展，通過(guò)學(xué)生熟悉的情境和問(wèn)題引入充分條件和必要條件的有關(guān)概念；通過(guò)學(xué)習(xí)條件與結(jié)論之間的關(guān)系，能體會(huì)和知道條件與結(jié)論直接的充分性和必要性.
教學(xué)目標(biāo)
通過(guò)學(xué)習(xí)，了解充分條件和必要條件的概念；了解命題中條件與結(jié)論的關(guān)系；知道條件與結(jié)論之間的充分性和必要性.通過(guò)條件與結(jié)論之間充分性和必要性關(guān)系的分析，逐步養(yǎng)成實(shí)事求是、扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣和科學(xué)態(tài)度；在利用條件直接的關(guān)系解決一些生活和生產(chǎn)實(shí)踐中的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題和辯證地認(rèn)識(shí)世界；通過(guò)學(xué)習(xí)，逐步提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象
等核心素養(yǎng)．
教學(xué)
重點(diǎn)
根據(jù)命題及其逆命題的真假判斷命題的條件是不是結(jié)論的充分條件或必要條件.
教學(xué)
難點(diǎn)
必要性的理解．
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
設(shè)計(jì)
意圖
開燈、關(guān)燈是生產(chǎn)生活中常見的現(xiàn)象.如圖所示電路,在所有元器件完好的前提下，如果開關(guān) A 閉合，那么燈 B是否一定會(huì)亮呢？
引導(dǎo)
思考
以生
學(xué)生
活常
聯(lián)系
分析
見現(xiàn)
日常
象創(chuàng)
情境
生活
設(shè)情
導(dǎo)入
中常
境，
見的
引發(fā)
現(xiàn)象
學(xué)生
思考
思
考.
探索新知
能判斷真假的陳述句稱為命題.判斷為真的命題稱為真命題，判斷為假的命題稱為假命題.
一般地, 對(duì)于形如“如果 p,那么 q”的命題, 我們稱 p
為命題的條件, 簡(jiǎn)稱條件; 稱 q 為命題的結(jié)論，簡(jiǎn)稱結(jié)論． “情境與問(wèn)題”中，當(dāng)開關(guān) A 閉合時(shí)，燈 B 會(huì)亮,因
此“如果開關(guān) A 閉合，那么燈 B 亮”就是可以判斷真假的陳述向，且這是一個(gè)真命題，“開關(guān)A 閉合”是條件， “燈B 亮”是結(jié)論.
一般地，若命題“如果 p，那么 q”是真命題，即由 p
講解說(shuō)明
舉例
理解記憶
思考
歸納概念
突出強(qiáng)調(diào)
可以推出 q，則稱 p 是 q 的充分條件，記作 p?q.
符號(hào)
若命題“如果 p，那么 q”是假命題，即由 p 不能推
規(guī)范
出 q，則稱 p 不是 q 的充分條件，記作 p?q.
表述
“情境與問(wèn)題”中， p：開關(guān) A 閉合；q：燈 B 亮. 因
為“如果 p 那么 q”是真命題,所以“開關(guān)A 閉合”是“燈
B 亮”的充分條件.
例 1 指出下列命題的條件 p 和結(jié)論 q，并判斷 p 是否為 q
的充分條件.
如果 x 是整數(shù)，那么 x 是有理數(shù)；
如果 a=0，那么 ab=0；
第一象限角都是銳角.
解 (1)條件 p:x 是整數(shù)；結(jié)論 q: 是有理數(shù).因?yàn)楫?dāng) x 是整數(shù)時(shí)， x 一定是有理數(shù)，所以此命題是真命題，p 是 q 的充分條件；
(2)條件 p:a=0；結(jié)論 q: ab=0.因?yàn)楫?dāng) a=0 時(shí)，一定有
ab=0, 所以此命題是真命題, p 是 q 的充分條件；
(3)原命題可以表述為：“如果一個(gè)角是第一象限角,那么這個(gè)角是銳角”.條件 p:一個(gè)角是第一象限角；結(jié)論 q: 這個(gè)角是銳角. 因?yàn)榈谝幌笙藿菢?gòu)成的集合為
???
?? 2k? ? ? ? ? 2k?, k ? Z? ,其中的角不一定是銳角，所
?2?
以此命題是假命題，p 不是 q 的充分條件.
提問(wèn)
思考
直接
運(yùn)用
必要
引導(dǎo)
分析
條件
概念
通過(guò)
講解
解決
判斷
典型
逆命
例題
強(qiáng)調(diào)
交流
題真
假判
斷原
命題
的條
件與
結(jié)論
關(guān)系
在之前例子中，如果“燈B 亮”，那么是否一定需要 “開關(guān)A 閉合”呢？
引導(dǎo)
思考
通過(guò)
學(xué)生
原有
繼續(xù)
分析
問(wèn)題
情境導(dǎo)入
聯(lián)系
生活中的
引發(fā)
學(xué)生持續(xù)
現(xiàn)象
思考
思考
問(wèn)題
將命題“如果 p，那么 q”中的條件 p 和結(jié)論 q 互換，變成“如果 q，那么 p”，稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.
如，命題“如果開關(guān) A 閉合，那么燈 B 亮”的逆命題為“如果燈B 亮,那么開關(guān)A 閉合”.
一般地，若命題“如果 p，那么 q”的逆命題“如果 q，那么 p”是真命題，則稱 p 是 q 的必要條件，記作 p?q.若命題“如果 p，那么 q”的逆命題“如果 q，那么 p”
是假命題，則稱 p 不是 q 的必要條件，記作 p?q.
在上面問(wèn)題中，命題“如果燈 B 亮，那么開關(guān) A 閉合”是真命題,所以“開關(guān)A 閉合”是“燈 B 亮”的必要
條件，即如果“燈B 亮”，一定需要“開關(guān) A 閉合”.
講解
理解
結(jié)合
說(shuō)明
記憶
逆命
題知
識(shí)對(duì)
新知探索
比充分條
件的
概念
學(xué)習(xí)
必要
條件
例 2 判斷下列命題中的條件 p 是否為結(jié)論 q 的必要條件.
(1)如果 x+y 為偶數(shù)，那么 x、y 都是偶數(shù)；
??
(2)如果? =，那么sin ? =；
62
(3)如果 a=b，那么| a |=| b |.
提問(wèn)
思考
直接
典型例題
引導(dǎo)講解
解決交流
運(yùn)用必要
條件
概念
解 (1)因?yàn)椤叭绻?x+y 為偶數(shù),那么 x、y 都是偶數(shù)”的逆命題“如果 x、y 都是偶數(shù),那么 x+y 為偶數(shù)”是真命題，所以“x+y 為偶數(shù)”是“x、y 都是偶數(shù)”的必要條件；
(2)因?yàn)椤叭绻? = ? ，那么sin ? = ? ”的逆命題“如
62
果sin ? = ? ，那么? = ? ”是假命題，所以“? = ? ”不
266
是“ sin ? = ? ”的必要條件；
2
(3)因?yàn)椤叭绻?a=b，那么| a |=| b |”的逆命題“如果|
a |=| b |，那么 a=b”是假命題，所以“| a |=| b |”不是 “a=b”的必要條件.
通過(guò)
判斷
逆命
題真
假判
斷原
命題
的條
件與
結(jié)論
關(guān)系
練習(xí) 1.1
1.指出下列命題的條件 p 和結(jié)論 q，并判斷 p 是否為
q 的充分條件.
如果 x>2,那么| x |>2；
sin ?
如果? 0 ，那么 α 是第一象限的角；
sin ?
如果指數(shù)函數(shù) y=ax 的底數(shù) a >1，那么這個(gè)指數(shù)兩數(shù)在 R 上是增函數(shù)；
兩個(gè)全等三角形的面積相等.
2.指出下列命題的條件 p 和結(jié)論 q，并判斷 p 是否為
q 的必要條件.
如果 a+2>b+1,那么 a> b；
如果一次函數(shù) f(x)=kx+b 是 R 上的增函數(shù)，那么
k>0；
如果 α=60°,那么cs ? = ? ；
2
如果直線 y=kx+b 經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，那么 k

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）電子課本

1.1 充分條件和必要條件

版本： 高教版（2021·十四五）

年級(jí)： 拓展模塊一（上冊(cè)）

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