1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況：(1)當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)當Δ＜0時，方程無實數(shù)根.
2.根據(jù)根的情況，也可以逆推出Δ的情況，這方面的知識主要用來求取值范圍等問題.
1.(2008年·西寧市)若關于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 ( ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0
2.(2008年·昆明)已知關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是 ( ) A.k≤1 B.k≥1 C.k1
3.(2008年·桂林市)如果方程組 只有一個實數(shù)解，那么m的值為 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/4
4.(2008年·南通市)若關于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有兩個相等的實數(shù)根，則k= .
5.(2008年·上海市)關于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判別式的值為1，求m的值及該方程的根。
解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次項系數(shù)不為0，舍去)。
當m=2時，原方程變?yōu)?x2-5x+3＝0，x＝3/2或x=1.
【例1】 已知關于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，當m為何非負整數(shù)時：(1)方程只有一個實數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)方程有兩個不等的實數(shù)根.
當m-2=0即m=2時 x=3/2,成立
【例2】 已知關于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有兩個相等的實根，且滿足2a-b=0.(1)求a、b的值；(2)已知k為一實數(shù)，求證：關于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有兩個不等的實根.
將a=1,b=2代入方程得x2+2kx+2k-3=0.又∵Δ′=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+8＞0∴方程有兩個不等的實根.
【例3】 (2008年·黑龍江)關于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
k＞-1/2，且k≠0.
【例4】 已知：a、b、c是△ABC的三邊，若方程 有兩個等根，試判斷△ABC的形狀.
解：利用Δ ＝0，得出a=b=c.∴△ABC為等邊三角形.
【例5】 已知：m、n為整數(shù)，關于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有兩個不相等的實數(shù)解，x2+(4+m)x+n+6=0有兩個相等的實數(shù)根，x2-(m-4)x+n+1=0沒有實數(shù)根，求m、n的值.
解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有兩個相等的實根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n.
又方程x2+(7-m)x+3+n=0有兩個不等的實根，方程x2-(m-4)x+n+1=0無實根，∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0.
1.求判別式時，應該先將方程化為一般形式.2.應用判別式解決有關問題時，前提條件為“方程是一元二次方程”，即二次項系數(shù)不為0.
1.(2008年·大連)一元二次方程x2+2x+4=0的根的情況是 ( ) A.有一個實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根 C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根
2.(2008年·安徽) 方程x2-3x+1=0的根的情況是( ) A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根 C. 沒有實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根
3.(2008年·長沙)下列一元一次方程中，有實數(shù)根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0

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