（2024?濟(jì)寧二模）
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．

(1)試求拋物線的解析式；
(2)直線與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線在第一象限交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)M，記，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，m取最大值時(shí)，是否存在x軸上的點(diǎn)Q及坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)N，使得P，D，Q，N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．如圖，已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是，，以為對(duì)角線作．
(1)點(diǎn)在某個(gè)函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)也在二次函數(shù)的圖象上，求的值；
(3)是否存在矩形，使頂點(diǎn)、都在二次函數(shù)的圖象上？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2023?東源縣三模）
3．如圖，二次函數(shù)與x軸交于、兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式．
(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作軸交BC于點(diǎn)Q，求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
(3)將拋物線沿射線平移個(gè)單位，平移后得到新拋物線．D是新拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)確定一點(diǎn)E，使得以B、C、D、E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2023?羅定市三模）
4．如圖1，拋物線過兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；
(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．
①當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到多少秒時(shí)，四邊形是菱形；
②當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，將矩形沿x軸方向平移使得點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（2023秋?鐵東區(qū)校級(jí)月考）
5．如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，B兩點(diǎn)．
(1)求a，k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)在拋物線上求點(diǎn)P，使△PAB的面積是△AOB面積的一半；（寫出詳細(xì)解題過程）
(3)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在直接寫出M的坐標(biāo)，若不存在說明理由．
（2023?歙縣校級(jí)模擬）
6．如圖，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K，使以點(diǎn)B、C、Q、K為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形是矩形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2024?淮陰區(qū)校級(jí)模擬）
7．如圖1，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為0,3，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為D，交直線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖2，過點(diǎn)P作，垂足為F，當(dāng)m為何值時(shí)，最大？最大值是多少？
(3)如圖3，連接，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（2024?張店區(qū)二模）
8．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，．
(1)求該拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2，在上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與B，C重合），過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖3，若點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q使以B，C，P，Q為頂點(diǎn)為對(duì)角線的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2024?婁底二模）
9．如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；
(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2024?榆次區(qū)三模）
10．綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，作直線是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)在（2）的條件下，若是直線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案：
1．(1)
(2)當(dāng)時(shí)，m取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)存在，或
【分析】（1）先求出點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）過點(diǎn)P作軸交直線于E，連接，先求出直線的解析式為，設(shè)，則，，由得出，因此，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出m最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分兩類進(jìn)行討論：①當(dāng)是矩形的邊時(shí)，有兩種情形，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，如圖2，連接，過點(diǎn)作軸于M，證明，，求出，，，從而得出滿足條件的Q點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作軸于T，證明，，求出，，，從而得出滿足條件的Q點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，設(shè)，由Q是直角頂點(diǎn)，根據(jù)勾股定理得出方程，此方程無解，此種情形不存在．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，
∴，
解得：，
∴該拋物線的解析式為；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作軸交直線于E，連接，

設(shè)直線的解析式為，
∵，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴，
∵直線與y軸交于點(diǎn)D，
∴，
∴，
∵軸，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，m取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）存在這樣的點(diǎn)Q、N，使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形．
由（2）知：，
①當(dāng)是矩形的邊時(shí)，有兩種情形，

當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，如圖2，連接，過點(diǎn)作軸于M，
則，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作軸于T，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，設(shè)，則，，，
∵Q是直角頂點(diǎn)，
∴，
∴，
整理得，此方程無解，此種情形不存在；
綜上所述， 或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題意正確作出圖形，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
2．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)寫出函數(shù)解析式即可；
（2）由平移的性質(zhì)，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，得到的方程，解方程即可；
（3）根據(jù)平行四邊形是矩形，得，由勾股定理列出方程求出的值，再根據(jù)頂點(diǎn)、都在二次函數(shù)的圖象上，求得、的關(guān)系，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，
∴點(diǎn)在函數(shù)上，
∴所求函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴AB∥DC，，
∴將AB沿方向平移可得，
∵，，，
∴，
把代入中，得
，
化簡(jiǎn)為：，
解得：；
（3）∵平行四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
化簡(jiǎn)得，，
解得：或，
∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．
故存在矩形，使頂點(diǎn)、都在二次函數(shù)的圖象上，的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理，熟練掌握上述性質(zhì)及其應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
3．(1)；
(2)，；
(3)，，，．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）延長(zhǎng)交x軸于H點(diǎn)，則軸，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，即，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）求得平移后的拋物線解析式，再分情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得解得
該拋物線的解析式為；
（2）由可得，
延長(zhǎng)交x軸于H點(diǎn)，則軸，

∵
∴
又∵
∴
設(shè)直線：
∵，，則
∴直線，，
∴
∵
∴
∴
設(shè)，
，
∵，開口向下，對(duì)稱軸為直線，且
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)
（3）由題意可得：拋物線沿射線平移個(gè)單位，即拋物線向右平移了4個(gè)單位，向下平移了2個(gè)單位，
此時(shí)拋物線為：
則拋物線的對(duì)稱軸為
設(shè)，
當(dāng)以、為對(duì)角線時(shí)，由矩形的性質(zhì)可得：
，解得或
即，；
當(dāng)以、為對(duì)角線時(shí)，由矩形的性質(zhì)可得：
，解得
即
當(dāng)以、為對(duì)角線時(shí)，由矩形的性質(zhì)可得：
，解得
，
綜上，，，，．
【點(diǎn)睛】此題為二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與矩形的綜合，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，能夠靈活運(yùn)用，學(xué)會(huì)分類討論的方法求解問題．
4．(1)
(2)
(3)①當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，四邊形NBFG是菱形；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線求解即可；
（2）當(dāng)時(shí)求得長(zhǎng)度，并且利用平行線分線段成比例求得E點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，再根據(jù)求解即可；
（3）①根據(jù)題意可求出，．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證四邊形是平行四邊形，則四邊形是菱形，只需即可，又可求出，，則，解出t的值即可；②當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，只需．由，得出，利用平行線分線段成比例，求得；將矩形沿x軸方向平移時(shí)，點(diǎn)F落在拋物線的圖象上，即，再代入解析式即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵拋物線的圖象過兩點(diǎn)，
∴，解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：如圖：

∵，
∴，，
∴．
當(dāng)時(shí)，．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
在中，令，得：，
∴；
∴；
（3）解：①如圖：

根據(jù)題意得：，．
∵將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
若四邊形是菱形，只需，即，
此時(shí)．
在中，，
∴，
解得：，
答：當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，四邊形是菱形；
②如圖：

由①得四邊形是平行四邊形．
當(dāng)四邊形NBFG是矩形時(shí)，只需．
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
∴當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，四邊形是矩形．
∴，
∴．
將矩形沿x軸方向平移時(shí)，點(diǎn)F落在拋物線的圖象上，即．
當(dāng)時(shí)，即，
解得：，，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查求函數(shù)解析式，勾股定理，平行線分線段成比例，特殊四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，屬于中考?jí)狠S題．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
5．(1)，，B的坐標(biāo)為
(2)，，，
(3)，，
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a，k的值，解析式聯(lián)立，解方程組即可求得B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為G，則，利用求得的面積．過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)C，設(shè)，分兩種情況列方程求解即可；
（3）分為矩形的邊和為矩形的對(duì)角線利用勾股定理列方程求解．
【詳解】（1）解：∵過點(diǎn)，
∴，解得a=?1，
∵一次函數(shù)的圖象相過點(diǎn)，
∴，解得；
解得或，
∴B的坐標(biāo)為；
（2）解：設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為G，則，
∴．
過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)C，
設(shè)，則，
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，
，
∴，
解得，，
，，
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)P的左側(cè)時(shí)，
，
∴，
解得，，
，，
綜上可知，，，，．
（3）解：設(shè)，
則，
，
．
當(dāng)為矩形的邊的邊時(shí)，
由題意得
，
整理得，
解得，（與A重合，舍去）
∴．
當(dāng)為矩形的對(duì)角線時(shí)，
由題意得
整理得，
解得，，（與B重合，舍去），（與A重合，舍去）
∴，，
綜上可知：，，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．
6．(1)
(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）將、代入，聯(lián)立方程組，求出a、的值，即可得出該二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸交點(diǎn)，過作軸交點(diǎn)，證明，得到，則，所以；當(dāng)時(shí)，設(shè)與x軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸交點(diǎn)，過作軸交點(diǎn)，證明，則有，求得，則，可求，綜合即可得出K點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：把、代入，
可得：，
解得：，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）解：存在，理由如下：
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，如圖1，
∵矩形是以為邊，
∴，，，
過點(diǎn)作軸交點(diǎn)，過作軸交點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖2，
∵矩形是以為邊，
∴，，，
設(shè)與x軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，
過點(diǎn)作軸交點(diǎn)，過作軸交點(diǎn)，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
綜上所述，K點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用矩形和等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
7．(1)
(2)當(dāng)m為3時(shí)，最大，最大值是
(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，根據(jù)題意設(shè)，則，從而可求出的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出．易證，得出，代入數(shù)據(jù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，則，，．分類討論：①當(dāng)點(diǎn)恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)恰好落在該矩形對(duì)角線上時(shí)和③當(dāng)點(diǎn)恰好落在該矩形對(duì)角線的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫出圖形，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理分析求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為0,3，
∴，解得：，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
（2）解：設(shè)的解析式為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為：．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴，則，
∴．
∵，軸，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴當(dāng)m為3時(shí)，最大，最大值是；
（3）解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．
∵點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，
故可設(shè)．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，則，，．
分類討論：①當(dāng)點(diǎn)恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上時(shí)，如圖，則垂直平分，即，
∴．
又∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
②當(dāng)點(diǎn)恰好落在該矩形對(duì)角線上時(shí)，如圖，連接交于點(diǎn)K，
∵點(diǎn)O與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵C，P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即點(diǎn)G是的中點(diǎn)，
又∵，
∴點(diǎn)K是的中點(diǎn)，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
③當(dāng)點(diǎn)恰好落在該矩形對(duì)角線的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)K，連接交直線于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)O與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴垂直平分，
∴，．
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴，
由，得直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．
8．(1)，
(2)的周長(zhǎng)最大值：，P的坐標(biāo)為；
(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）證明，得求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)，得；當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，分所求情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在y軸右邊的拋物線上時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，列方程求解m；當(dāng)點(diǎn)P在y軸左邊的拋物線上時(shí)，同理求解．
【詳解】（1）解：（1）將點(diǎn)，代入，
得，，
解，得，
所以，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
將點(diǎn)，代入，
得，
解，得，
所以，直線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）如圖，過點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)F，
因?yàn)椋S，
所以，，
所以，，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，，
在和中，
，
所以，
所以，，
由直線和點(diǎn)，
得點(diǎn)F坐標(biāo)為，
所以，，
，，
所以，的周長(zhǎng)，
所以，的周長(zhǎng)．的周長(zhǎng)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)，
所以，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
即，當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值：
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)
①當(dāng)點(diǎn)P在y軸右邊的拋物線上時(shí)，存在即可存在點(diǎn)Q使以B，C，P，Q為頂點(diǎn)為對(duì)角線的四邊形是矩形，過點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B且平行于y軸的直線于點(diǎn)N，如圖（1），
所以，，，，，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
所以，，
即，，
解，得，（舍）
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
由題意，易得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于線段的中點(diǎn)成中心對(duì)稱，
所以，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
②當(dāng)點(diǎn)P在y軸左邊的拋物線上時(shí)，存在即可存在點(diǎn)Q使以B，C，P，為頂點(diǎn)為對(duì)角線的四邊形是矩形，過點(diǎn)P作軸，交x軸于點(diǎn)N，交過點(diǎn)C且平行于x軸的直線于點(diǎn)M，如圖（2），
同①得，，
即，，
解，得，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
同理，因?yàn)辄c(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于線段的中點(diǎn)成中心對(duì)稱，
所以，，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．
9．(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）把，代入中求解，得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）連接、、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)得出出線段、、、、的長(zhǎng)度，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）當(dāng)為矩形的邊時(shí)，四邊形為矩形，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)得到，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則，進(jìn)而得到、的長(zhǎng)度，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，四邊形為矩形，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，證明，得出，設(shè)，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，則或，求解并取舍，求出、，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：把，代入得：，
解得：，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：如圖，連接、、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，，
∵時(shí)，，
∴C0,?3，
∴，
∵，，
∴，，
∴
；
（3）解：存在，
如圖，當(dāng)為邊時(shí)，四邊形為矩形，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴和為等腰直角三角形，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴和為全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立方程組得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，四邊形為矩形，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，

則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，，
∵C0,?3，，動(dòng)點(diǎn)在直線上方，
∴，，或，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
，
分解因式得：，
∴或，
解得：（舍去），（舍去），，
∴，，
∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形和正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)、分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
10．(1)直線的函數(shù)表達(dá)式為．直線的函數(shù)表達(dá)式為．
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）把先根據(jù)與軸的交點(diǎn)得到的坐標(biāo)，將坐標(biāo)點(diǎn)代入即可得表達(dá)式；
（2）設(shè)，根據(jù)軸，得出的代數(shù)式，再根據(jù)為線段的中點(diǎn)，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）分情況討論：①當(dāng)，證明得，根據(jù)比例即可；②當(dāng)，證明得，根據(jù)比例即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．解得．
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
，
設(shè)直線的表達(dá)式為：
將代入得：
解得：
直線的函數(shù)表達(dá)式為
同理將代入，可得直線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）設(shè)
軸
，
，
，
為線段的中點(diǎn)，
，
．
解得（舍去），，
；
（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
分以下三種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
設(shè)，則
．
．
又
．
解得

②當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
設(shè)，則
．
．
又
．
解得．

③當(dāng)時(shí)，該情況不存在．
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵在于正確畫出輔助線

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