二次函數(shù)與多結(jié)論問題涉及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合思想判斷多個結(jié)論的正確性．需要掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)及圖象特征．二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，而多結(jié)論問題則是對二次函數(shù)知識點綜合運用能力的考察．這類問題通常會給出一個二次函數(shù)表達式或圖象，然后列出多個結(jié)論，要求判斷哪些結(jié)論是正確的．
★二次函數(shù)的性質(zhì)★
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．
②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．
★二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系★
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。?br>②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）
③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
★二次函數(shù)圖象上點的坐標特征★
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．
①拋物線是關(guān)于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．
②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．
★多結(jié)論問題的解題策略★
1．數(shù)形結(jié)合：結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對給出的結(jié)論進行分析和判斷．
2．逐一驗證：對每個結(jié)論進行逐一驗證，確保判斷的準確性
一、圖象信息
例1
1．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，回答下列問題：
(1)填空（填“”“ ”或“”）：
①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0；
⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0；
⑨若點，均在該二次函數(shù)圖象上，則 ；
(2)若點，均在該二次函數(shù)圖象上，則n的值為 ；
(3)關(guān)于x的一元二次方程的實數(shù)根的情況為 ；
(4)若圖象與x軸的交點為，，，當時，x的取值范圍為 ．
對應(yīng)練習(xí)：
2．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點0,2，其對稱軸為直線．下列結(jié)論中正確的有（ ）個．
①
②若點，均在二次函數(shù)圖象上，則
③關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根
④滿足的x的取值范圍為
A．1B．2C．3D．4
（2024?滑縣三模）
3．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點0,2，其對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②若點，均在該二次函數(shù)的圖象上，則；③關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④B．②③C．②④D．②③④
（2023?聊城）
4．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；③關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）．

A．1個B．2個C．3個D．4個
5．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點0,2，其對稱軸為直線．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．若點，均在二次函數(shù)圖象上，則
C．關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根
D．滿足的x的取值范圍為
（多選）（2024?濰坊模擬）
6．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點0,2，其對稱軸為直線，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．
B．若點，均在二次函數(shù)圖象上，則
C．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根
D．滿足的的取值范圍為
7．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；③關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
（2023?齊齊哈爾）
8．如圖，二次函數(shù)圖像的一部分與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，結(jié)合圖像給出下列結(jié)論：
①；②；③；
④關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；
⑤若點，均在該二次函數(shù)圖像上，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．4B．3C．2D．1
（2023秋?乾安縣期中）
9．如圖，二次函數(shù)圖象的一部分與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：
；
；
；
關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；
若點，均在該二次函數(shù)圖象上，則．其中正確結(jié)論的序號為 ．

（2024春?陽明區(qū)校級月考）
10．如圖，二次函數(shù)的圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③若為拋物線上的三個點，則；④對于圖象上的兩個不同的點，總有；⑤關(guān)于x的方程有兩個不等實根．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．5B．4C．3D．2
（2024?谷城縣一模）
11．如圖，二次函數(shù)圖象的一部分與軸的一個交點坐標為1,0，對稱軸為直線，結(jié)合圖象有下列結(jié)論：①且；②；③關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為和1；④若點，，均在二次函數(shù)圖象上，則，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
（2024?德陽）
12．如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點，則；④若關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是 （請?zhí)顚懶蛱枺?br>（2024秋?東城區(qū)校級月考）
13．已知函數(shù)（）的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列4個結(jié)論：

①；
②；
③若，是拋物線上的兩點，則當時，；
④拋物線的頂點坐標為，則關(guān)于的方程無實數(shù)根．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
（2024?蒼溪縣模擬）
14．如圖， 已知二次函數(shù) (a，b，c是常數(shù))的圖象關(guān)于直線對稱， 則下列五個結(jié)論∶ ①； ②； ③；④(m為任意實數(shù))；⑤．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
15．拋物線交x軸于，，交y軸的負半軸于C，對稱軸與拋物線交于點D．根據(jù)以上信息得出下列結(jié)論：①；②；③；④當時，y的值隨x值的增大而減??；⑤當時，；其中結(jié)論正確的個數(shù)有（ ）
A．5B．4C．3D．2
（2024秋?樂清市校級月考）
16．對稱軸為直線的拋物線（a，b，c為常數(shù)，且）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①，②，③，④，⑤（m為任意實數(shù)），⑥當時，y隨x的增大而減小．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）

A．3B．4C．5D．6
二、表格信息
例2
17．下表是二次函數(shù)的，的部分對應(yīng)值：
則對于該函數(shù)的性質(zhì)的判斷：
①該二次函數(shù)有最大值；
②不等式的解集是或；
③方程的兩個實數(shù)根分別位于和之間；
④當時，函數(shù)值隨的增大而增大．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
對應(yīng)練習(xí)：
18．已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為 ．
（2024?鶴壁一模）
19．已知拋物線的與的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論：①；②拋物線有最小值；③當時，隨增大而減少；④當時，的取值范圍是或．其中正確的是（ ）
A．②③④B．②③C．①②④D．②④
（2023秋?西湖區(qū)校級月考）
20．已知二次函數(shù)，y與x的部分對應(yīng)值如表所示：
下面有四個論斷：①拋物線的頂點為；②關(guān)于的方程的解為，；③當時，的值為正，其中正確的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2024秋?天津期中）
21．已知拋物線上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如下表：
有以下結(jié)論：
①拋物線的開口向上；
②拋物線的對稱軸為直線；
③方程的根為0和m；
④當時，x的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
22．已知拋物線上部分點的橫坐標與縱坐標的對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論：①拋物線開口向下；②當時，隨的增大而減?。虎劬€的對稱軸是直線；④函數(shù)的最大值為．其中所有正確的結(jié)論為 ．
參考答案與解析
參考答案：
1．(1)，，，，，，，，
(2)
(3)兩個不相等的實數(shù)根
(4)
【分析】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)圖象上點的特征．
（1）由拋物線開口方向，對稱軸以及，坐標軸的交點以及由、、、時的函數(shù)值即可得到結(jié)論；
（2）由兩點關(guān)于對稱軸對稱即可求得；
（3）由拋物線與直線有兩個交點即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)圖象可得當時函數(shù)圖象位于軸上方，即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：由函數(shù)圖象可知：拋物線開口向下，
∴①；
∵對稱軸在y軸左邊，即，
又∵，
∴②；
∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，
∴③；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴④；
∵當時，，
∴⑤；
∵當時，，
∴⑥；
∵當時，，
∴⑦；
∵，
∴，
∵當時，，
∴，
∴⑧；
∵對稱軸為直線，
∴點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，
∴；
故答案為：，，，，，，，，；
（2）解：∵，
∴點，關(guān)于對稱軸對稱，
∴，
故答案為：；
（3）解：由圖象可知，拋物線與直線有兩個交點，
∴關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故答案為：兩個不相等的實數(shù)根；
（4）解：若圖象與x軸的交點為，，，
當時，x的取值范圍為，
故答案為：．
2．A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，拋物線與x軸的交點，函數(shù)與方程的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．依據(jù)題意，由圖象可得拋物線的對稱軸是直線，與y軸的交點為0,2，當時，，然后逐個選項判斷即可得解．
【詳解】解：由題意，∵拋物線的對稱軸是直線，
∴．
又由圖象，可得當時，，
∴，故①錯誤．
∵拋物線的對稱軸是直線，
∴點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，
∵拋物線開口向下，
∴，故②錯誤．
由題意，令，
∴拋物線與直線有兩個不同的交點．
∴關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故③錯誤．
∵當時，y＝2，
又∵拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，
∴當時，．
又拋物線開口向下，
∴滿足的x的取值范圍為，故④正確．
故選：A．
3．C
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)拋物線開口向下可得，根據(jù)拋物線的對稱軸可推得，根據(jù)時，，即可得到，推得，故①錯誤；根據(jù)點的坐標和對稱軸可得點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，根據(jù)拋物線的對稱性和增減性可得，故②正確；根據(jù)拋物線的圖象可知二次函數(shù)與直線有至少有一個交點，推得關(guān)于x的一元二次方程至少有一個實數(shù)根，故③錯誤；根據(jù)拋物線的對稱性可得二次函數(shù)必然經(jīng)過點，即可得到時，的取值范圍，故④正確．
【詳解】解：①∵拋物線開口向下，
∴．
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
由圖象可得時，，即，
∵，
∴．故①錯誤；
②∵拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線．
故當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，
∵，，
∴點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，
∴，故②正確；
③∵圖象經(jīng)過點0,2，對稱軸為x=?1，
∴二次函數(shù)與直線有兩個交點，
∴關(guān)于x的一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根，故③錯誤；
④∵圖象經(jīng)過點0,2，對稱軸為直線，
∴二次函數(shù)必然經(jīng)過點，
∴時，的取值范圍，故④正確；
綜上，②④正確，
故選：C．
4．B
【分析】根據(jù)拋物線開口向下可得，根據(jù)拋物線的對稱軸可推得，根據(jù)時，，即可得到，推得，故①錯誤；根據(jù)點的坐標和對稱軸可得點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，根據(jù)拋物線的對稱性和增減性可得，故②正確；根據(jù)拋物線的圖象可知二次函數(shù)與直線有兩個不同的交點，推得關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故③錯誤；根據(jù)拋物線的對稱性可得二次函數(shù)必然經(jīng)過點，即可得到時，的取值范圍，故④正確．
【詳解】①∵拋物線開口向下，
∴．
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
由圖象可得時，，
即，
而，
∴．故①錯誤；
②∵拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線．
故當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，
∵，，
即點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，
故，故②正確；
③由圖象可知：二次函數(shù)與直線有兩個不同的交點，
即關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故③錯誤；
④∵函數(shù)圖象經(jīng)過，對稱軸為直線，
∴二次函數(shù)必然經(jīng)過點，
∴時，的取值范圍，故④正確；
綜上，②④正確，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置；常數(shù)項決定拋物線與軸交點；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點等，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．由對稱軸為直線可得，再將代入可判斷A，找出關(guān)于直線對稱的點為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)圖象可得：時，x的值不相等，即關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可判斷C，不等式的解集可看作拋物線的圖象在直線上方的部分，可判斷D．
【詳解】解：∵對稱軸為直線，
∴，
∵當時，，
∴，故A錯誤，
∵拋物線開口向下，
∴在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，
∵關(guān)于直線對稱的點為，
又∵，
∴，故B錯誤，
根據(jù)圖象可得：時，x的值不相等，即關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
不等式的解集可看作拋物線的圖象在直線上方的部分，
∵0,2關(guān)于直線對稱的點為，
∴x的取值范圍為，故D正確；
故選：D
6．BCD
【分析】根據(jù)拋物線開口向下可得，根據(jù)拋物線的對稱軸可推得，根據(jù)時，，可判斷A；根據(jù)拋物線的對稱性和增減性可判斷B；根據(jù)拋物線的圖像可知二次函數(shù)與直線有兩個交點，可判斷C；根據(jù)拋物線的對稱性可得二次函數(shù)必然經(jīng)過點，即可得到時的取值范圍，可判斷D．
【詳解】解：A．∵二次函數(shù)的圖像的對稱軸為直線x=?1，
∴，
∴，
∵當時，，
∴，故此選項結(jié)論錯誤；
B．∵拋物線開口向下，
∴在對稱軸的右側(cè)隨的增大而減小，
∵關(guān)于直線對稱的點為，
又∵，
∴，故此選項結(jié)論正確；
C．方程的解可看作拋物線與直線的交點，
由圖像可知拋物線與直線有兩個交點，
∴關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項結(jié)論正確；
D．不等式的解集可看作拋物線的圖像在直線上方的部分，
又∵0,2關(guān)于直線對稱的點為，
∴滿足的的取值范圍為，故此選項結(jié)論正確；
∴結(jié)論正確的是BCD．
故選：BCD．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖像上點的坐標特征，拋物線的對稱性質(zhì)，拋物線的增減性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)與不等式的關(guān)系．數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與軸的交點等，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線開口向下即可判斷①，找出關(guān)于直線對稱的點，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷②，方程的解可看作拋物線向上平移一個單位與軸的交點，找出交點個數(shù)可判斷③，不等式的解集可看作拋物線的圖象在直線上方的部分，可判斷④．
【詳解】解：拋物線開口向下，
，
故①正確，
對稱軸為直線，拋物線開口向下，
在對稱軸的右側(cè)隨的增大而減小，
關(guān)于直線對稱的點為，
又，
，故②正確，
方程的解可看作拋物線向上平移一個單位，
由圖象可知拋物線與軸有兩個交點，
關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故③錯誤，
不等式的解集可看作拋物線的圖象在直線上方的部分，
關(guān)于直線對稱的點為，
的取值范圍為，故④正確．
故正確的有①②④；
故選：C．
8．B
【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸、開口方向、與y軸的交點確定a、b、c的正負，即可判定①和②；將點代入拋物線解析式并結(jié)合即可判定③；運用根的判別式并結(jié)合a、c的正負，判定判別式是否大于零即可判定④；判定點，的對稱軸為，然后根據(jù)拋物線的對稱性即可判定⑤．
【詳解】解：拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，
，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，即，即②錯誤；
∴，即①正確，
二次函數(shù)圖像的一部分與x軸的一個交點坐標為
，即，故③正確；
∵關(guān)于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴無法判斷的正負，即無法確定關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，故④錯誤；
∵
∴點，關(guān)于直線對稱
∵點，均在該二次函數(shù)圖像上，
∴，即⑤正確；
綜上，正確的為①③⑤，共3個
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的的性質(zhì)及圖像與系數(shù)的關(guān)系，能夠從圖像中準確的獲取信息是解題的關(guān)鍵．
9．
【分析】根據(jù)圖象特征可判斷，根據(jù)對稱軸可判斷，根據(jù)拋物線與軸的交點即對稱軸確定拋物線與軸的另一個交點后可判斷，方程的解可看作與的交點可判斷，點與關(guān)于直線對稱可判斷．
【詳解】∵拋物線開口向上，
∴，
∵對稱軸在軸右側(cè)，
∴
∵拋物線與軸交于負半軸，
∴，
∴，故正確，
∵，
∴，故錯誤，
∵拋物線與軸的一個交點為，對稱軸為，
∴拋物線與軸的另一個交點為，
∴，
∵，
∴，故正確；
方程的解可看作與的交點，
∵，
當過拋物線頂點時，兩函數(shù)只有一個交點，即方程有兩個相等的實數(shù)根，故錯誤；
∵點與關(guān)于直線對稱，
∴，故正確；
故答案為: ．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、根的判別式以及拋物線與軸的交點，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
10．B
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向以及對稱軸的位置、與y的交點位置即可判斷①；由，可得，將代入可得，即可判斷②；根據(jù)拋物線開口向上，離對稱軸越遠函數(shù)值越大即可判斷③；根據(jù)函數(shù)的最小值可判斷④；根據(jù)函數(shù)的最小值可得二次函數(shù)圖象與直線一定有兩個交點即可判斷⑤．
【詳解】∵拋物線開口向上，
∴，
∵對稱軸在y軸左側(cè)，
∴，
∵拋物線與y軸交于負半軸，
∴，
∴，故①錯誤，不合題意；
∵，
∴，
∵時，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正確，符合題意；
∵為拋物線上的三個點，
且點到對稱軸直線的距離最大，
點到對稱軸的距離最小，
∴，故③正確，符合題意；
∵拋物線開口向上，對稱軸為直線，
∴當時的函數(shù)值最小，
∴對于圖象上的兩個不同的點，總有，故④正確，符合題意；
∵，
∴，
∵拋物線為，
∵，
∴函數(shù)的最小值為，
∵，
∴，
∵二次函數(shù)圖象與直線一定有兩個交點，
∴關(guān)于x的方程有兩個不等實根．故⑤正確，符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．
11．C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)圖象判斷①，特殊點判斷②，對稱性結(jié)合圖象法求一元二次方程的根，判斷③，增減性判斷④．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，對稱軸為，與軸交于正半軸，
∴，
∴，故①正確；
∵圖象過，
∴，故②正確；
∵對稱軸為直線，
∴圖象與軸的另一個交點為，
∴關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為和1；故③正確；
∵，
∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，
∵，
∴；故④錯誤；
故選C．
12．①②④
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出，根據(jù)圖象可得當時，，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設(shè)兩點橫坐標與對稱軸的距離為，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷．
【詳解】解：①∵拋物線的頂點的坐標為，
∴，
∴，即，
由圖可知，拋物線開口方向向下，即，
∴，
當時，，
∴，故①正確，符合題意；
②∵直線是拋物線的對稱軸，
∴，
∴，
∴
由圖象可得：當時，，
∴，即，故②正確，符合題意；
③∵直線是拋物線的對稱軸，
設(shè)兩點橫坐標與對稱軸的距離為，
則，，
∴，
根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，
∴，故③錯誤，不符合題意；
④如圖，
∵關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，
∴，故④正確，符合題意．
故答案為：①②④
13．①②④
【分析】由圖象開口方向，對稱軸位置，與軸交點位置判斷符號；把分別代入函數(shù)解析式，結(jié)合圖象可得的結(jié)果符號為負；由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠的點值越大；由拋物線頂點縱坐標為可得，從而進行判斷無實數(shù)根；
【詳解】解：①拋物線圖象開口向上，
∵對稱軸在直線軸左側(cè)，
∴同號，，
∵拋物線與軸交點在軸下方，
∴，故①正確；
②，
當時，
由圖象可得，
由圖象知，當時，
，
由圖象可得，
∴，
即，故②正確；
③，
，
∵，
∴點到對稱軸的距離大于點，
∴，故③錯誤；
④拋物線的頂點坐標為，
∴，
∴，
∴無實數(shù)根，故④正確，
綜上所述，①②④正確，
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù) 中與函數(shù)圖象的關(guān)系．
14．D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及巧用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵；
由圖象可知：，，根據(jù)對稱軸及a與b的符號關(guān)系可得，則可判斷①②，由對稱軸是直線，且與x軸交點到對稱軸距離大于1，小于2，當時，可判斷③；由當時，函數(shù)有最大值，可判斷④；由及，可判斷⑤．
【詳解】解：拋物線開口往下，
，
拋物線與y軸交于正半軸，
，
拋物線的對稱軸為，
，
，
，故①正確．
即，故②正確．
拋物線的對稱軸為直線，且時，函數(shù)值小于零，
拋物線與x軸交點到對稱軸距離大于1，小于2，
當時，函數(shù)值小于零，
即，故③正確．
拋物線的對稱軸為直線，且開口向下，
當時，函數(shù)值最大，
當時，，
當時，，
則，
，
所以，故④正確．
由函數(shù)圖象可知，
當時，函數(shù)值小于零，
則，
，
所以，故⑤正確．
綜上所述：正確的有，
故選：D．
15．B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線與軸的交點坐標，關(guān)鍵是找出圖象中和題目中的有關(guān)信息，來判斷問題中結(jié)論是否正確．根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸的位置、與軸交點位置便可確定、、的正負，進而確定①正確與否；利用與軸的交點坐標，求出拋物線的對稱軸，再根據(jù)對稱軸判斷與之間的關(guān)系，即可判斷②，當時，，即可判③，根據(jù)圖象即可判斷④，當時，函數(shù)取最小值，進而判斷⑤．
【詳解】解：拋物線開口向上，
，
拋物線對稱軸在軸的右側(cè)，
、異號，即，
拋物線與軸交于負半軸，
，
，故①錯誤；
拋物線交軸于，，
對稱軸為直線，
即，
，
，故②正確；
當時，，
，故③正確；
由圖象可知，當時，的值隨值的增大而減小，故④正確；
當時，拋物線有最小值，
當，且時，，
，
，故⑤正確；
所以正確的有4個．
故選：B．
16．C
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與軸的交點確定．
由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，結(jié)合對稱軸判斷①，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況判斷②，根據(jù)對稱性求得時的函數(shù)值小于0，判斷③；根據(jù)時的函數(shù)值，結(jié)合，代入即可判斷④，根據(jù)頂點坐標即可判斷⑤，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷⑥．
【詳解】解：①由圖象可知：，
∵對稱軸為直線：，
∴，
∴，故①正確；
②∵拋物線與軸有兩個交點，
∴，
∴，故②正確；
③∵對稱軸為直線，則與的函數(shù)值相等，
∴當時，，故③錯誤；
④當時，，
∴，故④正確；
⑤當時，取到最小值，此時，，
而當時，，
所以，
故，即，故⑤正確，
⑥當時，y隨的增大而減小，故⑥正確，
綜上，正確的是①②④⑤⑥共5個，
故選：C．
17．B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由圖表可得二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1，a>0，即可判斷①④不正確，由圖表可直接判斷②③正確．
【詳解】當x=0時，y=?1；當x=2時，y=?1；
當，；當，；
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1，
x>1時，隨的增大而增大，x2；
由圖表可得：方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根分別位于和之間；則②③正確．
故選：B．
18．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 利用待定系數(shù)法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；利用對稱性可判斷；畫出函數(shù)圖形可判斷；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正確；
∵，，，
∴，
當時，，
∴，
∵，
∴關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，故正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴拋物線的頂點坐標為，
又∵，
∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，當時，函數(shù)取最大值，
∵與時函數(shù)值相等，等于，
∴當時， 的取值范圍為，故錯誤；
∵，
∴點，關(guān)于對稱軸對稱，
∴，故正確；
由得，
即，
畫函數(shù)和圖象如下：
由，解得，，
∴，，
由圖形可得，當或時，，即，故錯誤；
綜上，正確的結(jié)論為，
故答案為：．
19．D
【分析】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，從而可得答案．
【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)知，拋物線對稱軸為直線，
，
故錯誤，不符合題意；
∵拋物線的頂點坐標是，圖象開口向上，有最小值，
故正確，符合題意；
拋物線開口向上，對稱軸為直線，
當時，隨的增大而減小，
故錯誤，不符合題意；
拋物線與軸交點坐標為和2,0，
當時，的取值范圍是或，
故正確，符合題意．
故選：D．
20．D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識點，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式一一判斷即可．
【詳解】解：二次函數(shù)經(jīng)過，，，
，
解得，
二次函數(shù)為，
拋物線的頂點為，故①正確，
當時，，，故②正確，
當時，，故③正確，
故選：D．
21．C
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決．
【詳解】解：由表格可知，
拋物線的對稱軸是直線，故②錯誤；
拋物線的頂點坐標是，有最小值，故拋物線的開口向上，故①正確；
由拋物線關(guān)于直線對稱知，當時，或，故方程的根為0和2，故③錯誤；
當時，x的取值范圍是或，故④正確，
故選C．
22．①②③
【分析】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)最值的求法，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項判斷即可得答案.
【詳解】解：拋物線經(jīng)過，，三點，
，
解得：，
拋物線的解析式為，
∵，
拋物線開口向下，故①正確；
，
對稱軸為直線，最大值為，故③正確，④錯誤；
當時，隨的增大而減小，
當時，隨的增大而減小，故②正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有①②③，
故答案為：①②③．
…
0
1
2
3
…
…
6
0
6
…
x
…
0
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3
4
…
y
…
6
1
m
…
x
?
0
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2
3
?
y
?
3
0
m
3
?
…
…
…
…

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