中考數(shù)學(xué)壓軸題剖析與精煉（含解析）：17 二次函數(shù)的面積問題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?17二次函數(shù)的面積問題

【考點1】二次函數(shù)的線段最值問題
【例1】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DE⊥BC于點E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求線段DE長度的最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）最大值是．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得DM，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得DE的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【詳解】
解：（1）由題意得，，
解得，，
拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+x+3；
（2）過點D作DM⊥x軸交BC于M點，

由勾股定理得，BC＝＝5，
設(shè)直線BC的解析是為y＝kx+b，
則，
解得，
∴直線BC的解析是為y＝﹣x+3，
設(shè)點M的坐標為（a，﹣a+3），
DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，即＝，
解得，DE＝DM
∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，
當a＝2時，DE取最大值，最大值是．
【點睛】
本題考查的是二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】．已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1，且m≠0．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）試說明拋物線與直線有兩個交點；
（3）已知點T（t，0），且-1≤t≤1，過點T作x軸的垂線，與拋物線交于點P，與直線交于點Q，當0＜m≤3時，求線段PQ長的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）見解析；（3）PQ的最大值為6.
【解析】
【分析】
（1）化為頂點式即可求頂點坐標;
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知拋物線與直線有兩個交點;
（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點，點P的坐標為（t，mt2+2mt+m-1），點Q的坐標為（t，mt+m-1）．故分兩種情況進行討論：①如圖1，當-1≤t≤0時；②如圖2，當0＜t≤1時，求出對應(yīng)的最大值即可．
【詳解】
解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴拋物線的頂點坐標為（-1，-1）．
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，
mx2+mx=0，mx（x+1）=0，
∵m≠0，
∴x1=0，x2=-1．
∴拋物線與直線有兩個交點．
（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點，
點P的坐標為（t，mt2+2mt+m-1），點Q的坐標為（t，mt+m-1）．
①如圖1，當-1≤t≤0時，PQ==．
∵m＞0，
當時，PQ有最大值，且最大值為．
∵0＜m≤3，∴≤，即PQ的最大值為．
②如圖2，當0＜t≤1時，PQ==．
∵m＞0，
∴當t=1時，PQ有最大值，且最大值為2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即PQ的最大值為6．
綜上所述，PQ的最大值為6．
【點睛】
此題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）（2）題相對簡單，（3）題要分情況進行討論方右解答，因此做此類題型，在進行分類討論時，盡量通過大致圖象數(shù)型結(jié)合進行解答．
【變式1-2】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點為A，且經(jīng)過點B（3，﹣3）．
（1）求頂點A的坐標
（2）若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個動點，求△OPB的面積的最大值及比時點P的坐標；
（3）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標；
（2）過點P作y軸的平行線交OB與點Q，求出直線BP的解析式，表示出點Q的坐標，根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得P點坐標；
（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OA的解析式，可得C、D點的橫坐標，根據(jù)勾股定理，可得答案．
【詳解】
解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，
解得m=2，
∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，
∴頂點A的坐標是（﹣1，1）；
（2）過點P作y軸的平行線交OB與點Q.
∵直線OB的解析式為y=﹣x，
故設(shè)P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，
∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，
當n=時，S△OPB的最大值為．
此時y=﹣n2+2n=，
∴P（，）；
（3）∵直線OA的解析式為y=x，
∴可設(shè)新的拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+a，
聯(lián)立，
∴﹣（x﹣a）2+a=x，
∴x1=a，x2=a﹣1，
即C、D兩點間的橫坐標的差為1，
∴CD=．

【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，難度適中，是常見題型.
【考點2】二次函數(shù)的面積定值問題
【例2】已知二次函數(shù)．
（1）圖象經(jīng)過點時，則_________；
（2）當時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；
（3）以拋物線的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正三角形（M，N兩點在拋物線上），請問：的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面積是與m無關(guān)的定值，S△AMN＝.
【解析】
【分析】
（1）將點代入二次函數(shù)解析式即可求出m；
（2）求出二次函數(shù)的對稱軸為x＝m，由拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可求出m的取值范圍；
（3）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計算三角形的面積，可得到△AMN的面積是與m無關(guān)的定值．
【詳解】
解：（1）將點代入可得：，
解得：m=4；
（2）二次函數(shù)的對稱軸是：x＝m，
∵當x≤2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，
∴m≥2；
（3）的面積是與m無關(guān)的定值；
如圖：頂點A的坐標為（m，?m2＋4m?8），△AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，MN交對稱軸于點B，
∵tan∠AMB＝tan60°＝，
∴AB＝BM＝BN，
設(shè)BM＝BN＝a，則AB＝a，
∴點M的坐標為（m＋a，a?m2＋4m?8），
∵點M在拋物線上，
∴a?m2＋4m?8＝（m＋a）2?2m（m＋a）＋4m?8，
整理得：，
解得：a＝或a＝0（舍去），
∴△AMN是邊長為的正三角形，
∴AB=3，S△AMN＝，與m無關(guān).

【點睛】
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，其中（3）問有一定難度，根據(jù)點M在拋物線上，求出正三角形的邊長是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，A點坐標為（﹣1，0），OC=2，OB=3，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為坐標平面內(nèi)一點，以B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點坐標；
（3）若拋物線上有且僅有三個點M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面積均為定值S，求出定值S及M1、M2、M3這三個點的坐標．

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；(2)見解析；（3）見解析.
【解析】
【詳解】
分析：（1）由OC與OB的長，確定出B與C的坐標，再由A坐標，利用待定系數(shù)法確定出拋物線解析式即可；
（2）分三種情況討論：當四邊形CBPD是平行四邊形；當四邊形BCPD是平行四邊形；四邊形BDCP是平行四邊形時，利用平移規(guī)律確定出P坐標即可；
（3）由B與C坐標確定出直線BC解析式，求出與直線BC平行且與拋物線只有一個交點時交點坐標，確定出交點與直線BC解析式，進而確定出另一條與直線BC平行且與BC距離相等的直線解析式，確定出所求M坐標，且求出定值S的值即可．
詳解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，
則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）拋物線y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，
∴D（1，），
當四邊形CBPD是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
當四邊形CDBP是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
當四邊形BCPD是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x+2，
設(shè)與直線BC平行的解析式為y=﹣x+b，
聯(lián)立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
當直線與拋物線只有一個公共點時，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b=，即y=﹣x+，
此時交點M1坐標為（，）；
可得出兩平行線間的距離為，
同理可得另一條與BC平行且平行線間的距離為的直線方程為y=﹣x+，
聯(lián)立解得：M2（，），M3（，），
此時S=1．

點睛：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】如圖：已知拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與交于點C，拋物線對稱軸與軸交于點D，為軸上一點．
（1）寫出點A、B、C的坐標（用表示）；
（2）若以DE為直徑的圓經(jīng)過點C且與拋物線交于另一點F，
①求拋物線解析式；
②P為線段DE上一動（不與D、E重合），過P作作，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由；
（3）如圖②，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)30°，與相交于點，連接.點是線段的中點，連接.若點是線段上一個動點，連接，將△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，延長交于點．若△的面積等于△的面積的，求線段的長．

【答案】（1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0，)
（2）①，② ，理由見解析；
（3）線段的長為2或
【解析】
（1）A（-3m，0），B（m，0），C（0，）
（2）△DCE為直角三角形．
①OC2=OD·OE，m=，∴
②∵DE為直徑，∴∠DCE=∠DFE=90°，∵PQ⊥EC，PH⊥DF，∴PQ∥DC，PH∥EF，，∴
（3）A（，0），B（，0），又∠OAM=60° ，∴cos30°=，∴OM=6，M（0，6）
又tan∠ABM==，∴∠OBM=60° ，∠AMB=90° ，
是線段的中點，∴∠OSM=60° ，∴∠AOS=30° ，又∠SOT=90° ，∠AOT=60° ，
∴直線TK：y=-x；BM：y=x-6，聯(lián)立兩個方程，解得：K（，-3）
設(shè)MN=a，TK=TO+OK=a+2，∴△KTN的高h=TK·sin60°=
NK=，∵S△KTN=S△ABM
， ∴
a=2或a=
點睛：本題考查二次函數(shù)綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、解直角三角形等知識，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會轉(zhuǎn)化，屬于中考壓軸題．
【考點3】二次函數(shù)的面積最值問題
【例3】已知拋物線．
（1）求證：拋物線與軸必定有公共點；
（2）若P（，y1），Q（－2，y2）是拋物線上的兩點，且y1y2，求的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線與x軸交于點、，點A在點B的左側(cè)，與y軸負半軸交于點C，且，若點D是直線BC下方拋物線上一點，連接AD交BC于點E，記△ACE的面積為S1，△DCE的面積為S2，求是否有最值？若有，求出該最值；若沒有，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）或，（3）沒有最小值；有最大值是
【解析】
分析：（1）本題需先根據(jù)判別式解出無論m為任何實數(shù)都大于零，再判斷出物線與x軸總有交點．
（2）分兩種情況：當點P在對稱軸的左側(cè)時，隨的增大而減小，得；當點P在對稱軸的右側(cè)時，隨的增大而增大，，故得解.
詳解：（1）令得
∴
∴
無論取何值，
∴ 拋物線與軸必定有公共點
（2）∵，拋物線的對稱軸是
當點P在對稱軸的左側(cè)時，隨的增大而減小，
∵y1y2，
當點P在對稱軸的右側(cè)時，隨的增大而增大，
Q（－2，y2）關(guān)于對稱軸的對稱點是（3，y2）
∵y1y2，
綜上所述：或
（3），
∵ 、∴ ，解得或
∴
∴ 、，
∴ 直線BC的解析式是
設(shè)點A到直線BC的距離是，點D到直線BC的距離是，
△ACE的面積S1，△DCE的面積S2
∴ ，
∴ 求的最值轉(zhuǎn)化為求的最值
設(shè)過點D與直線BC平行的直線解析式為
當點D在直線BC下方的拋物線上運動時，無最小值，僅當直線與拋物線只有一個公共點時，有最大值

即方程組有兩個相等的實數(shù)根
∴，，
∴，此時
∴ 沒有最小值；有最大值是
∴、
點睛：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時要注意找出各點的坐標問題，再把各點代入解析式是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點.

①求點的坐標；
②求拋物線的解析式；
③如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點的坐標和面積的最大值.
【答案】①；②；③點的坐標是時，的面積最大，最大面積是.
【解析】
【分析】
①利用利用x軸上點的坐標特點代入一次函數(shù)即可.
②根據(jù)拋物線經(jīng)過、兩點，先求出B點坐標，再用待定系數(shù)法求解析式即可.
③根據(jù)“鉛垂高，水平寬”方法求面積.過點作軸的平行線交直線于點，交軸于點，利用E、M橫坐標相等及所在函數(shù)關(guān)系式設(shè)出坐標，求出EM的長，再利用，把EM看作△BEM和△MEC的底，求出面積寫出關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)求最值即可.
【詳解】
解：①∵直線與軸交于點，
∴當y=0時，解得x=4
∴C點坐標為：
②直線與軸交于點，與軸交于點，
當x=0時，解得y=3
∴點的坐標是，點的坐標是，
拋物線經(jīng)過、兩點，

解得,
拋物線的解析式為.
③如圖，過點作軸的平行線交直線于點，交軸于點，

已知點是直線上方拋物線上的一動點，則可設(shè)點的坐標是，
點的坐標是，
.
，
.
即當時，即點的坐標是時，的面積最大，最大面積是.
【點睛】
此題考查的是①一次函數(shù)的與坐標軸的交點坐標；②待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；③用“鉛垂高，水平寬”求面積最值問題.
【變式3-2】如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點.

(1)求這個拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若點的坐標為，點為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)；(2)的最大值為.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)A,B兩點坐標可得出函數(shù)表達式；
（2）設(shè)點，根據(jù)列出S關(guān)于x的二次函數(shù)表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】
解：（1）將A,B兩點的坐標代入解析式得，解得
故拋物線的表達式為：；
（2）連接，設(shè)點，
由（1）中表達式可得點，
則
，
∵，故有最大值，當時，的最大值為.

【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)表達式的求法以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，有一定的綜合性.對于二次函數(shù)中的面積問題，常需用到“割補法”.
【考點4】二次函數(shù)面積的其它問題
【例4】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于兩點，拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于另一點.
（1）求拋物線解析式及點坐標；
（2）連接，求的面積；
（3）若點為拋物線上一動點，連接，當點運動到某一位置時，面積為的面積的倍，求此時點的坐標.

【答案】（1），；（2）；（3）點的坐標為，，，見解析.
【解析】
【分析】
（1）利用兩點是一次函數(shù)上的點求出兩點，再代入二次函數(shù)求解即可.
（2）根據(jù)，求出，求出△ABC.
（3）根據(jù)面積為的面積的倍，求出，得出求出此時M的坐標即可.
【詳解】
（1）解：∵直線
∴令，則，解得
∴
令，則，∴
將點，代入中得，
，解得
∴拋物線的解析式為：；
令，則，解得
∴.

（2）解：∵，∴
∴

（3）∵面積為的面積的倍，
∴
∵AB=4 ,
∴，
∵
∴拋物線的頂點坐標為符合條件，
當時，，解的，x1=，x2=，
∴點的坐標為（3，-4），，.
【點睛】
本題考查的是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.
【變式4-1】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過原點O，與x軸交于另一點N，直線y＝kx＋4與兩坐標軸分別交于A、D兩點，與拋物線交于點B(1，m)、C(2，2)．

1. 求直線與拋物線的解析式．
2.若拋物線在x軸上方的部分有一動點P(x，y)，設(shè)∠PON＝，求當△PON的面積最大時tan的值．
3. 若動點P保持（2）中的運動線路，問是否存在點P，使得△POA的面積等于△PON的面積的？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由
【答案】(1) 所求的拋物線為． (2) (3) 存在點，其坐標為（1，3）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)C點的坐標可確定直線AD的解析式，進而可求出B點坐標，將B、C、O三點坐標代入拋物線中，即可求得此二次函數(shù)的解析式；
（2）此題的關(guān)鍵是求出P點的坐標；△PON中，ON的長為定值，若△PON的面積最大，那么P點離ON的距離最遠，即P點為拋物線的頂點，根據(jù)（1）所得的拋物線解析式即可求得P點的坐標，進而可求出α的正切值；
（3）設(shè)出點P的橫坐標，根據(jù)拋物線的解析式可表示出P點的縱坐標；根據(jù)直線AD和拋物線的解析式可求出A、N的坐標；以O(shè)N為底，P點縱坐標為高可得到△OPN的面積，以O(shè)A為底，P點橫坐標為高可得到△OAP的面積，根據(jù)題目給出的△POA和△PON的面積關(guān)系即可求出P點的橫坐標，進而可求出P點的坐標．
【詳解】
（1）將點C（2，2）代入直線y=kx+4，可得k=-1
所以直線的解析式為y=-x+4
當x=1時，y=3，
所以B點的坐標為（1，3）
將B、C、O三點的坐標分別代入拋物線y=ax2+bx+c，
可得
解得，
所以所求的拋物線為y=-2x2+5x．
（2）因為ON的長是一定值，所以當點P為拋物線的頂點時，△PON的面積最大，
又該拋物線的頂點坐標為（，此時tan∠α=
（3）存在；
把x=0代入直線y=-x+4得y=4，所以點A（0，4）
把y=0代入拋物線y=-2x2+5x
得x=0或x=，所以點N（，0）
設(shè)動點P坐標為（x，y），
其中y=-2x2+5x （0＜x＜）
則得：S△OAP=|OA|?x=2xS△ONP=|ON|?y=×?（-2x2+5x）=（-2x2+5x）
由S△OAP=S△ONP，
即2x=?（-2x2+5x）
解得x=0（舍去）或x=1，
得x=1，由此得y=3
所以得點P存在，其坐標為（1，3）．
【點睛】
此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、圖形面積的求法等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．
【變式4-2】如圖，拋物線與直線交于、兩點，過作軸交拋物線于點，直線交軸于點．
求、、三點的坐標；
若點是線段上的一個動點，過作軸交拋物線于點，連接、，當時，求的值；
如圖，連接，及，設(shè)點是的中點，點是線段上任意一點，將沿邊翻折得到，求當為何值時，與重疊部分的面積是面積的．

【答案】（1）點坐標，點坐標，點坐標；（2）；（3）當或?時，與重疊部分的面積是面積的?．
【解析】
【分析】
（1）列方程組可知A、B兩點坐標，根據(jù)點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，列方程可求得點C坐標．
（2）如圖1中，設(shè)，，則，根據(jù) 列出方程求出點H的橫坐標，根據(jù)三角形的面積公式計算即可解決問題．
（3）分兩種情形①若翻折后，點G在直線OC下方時，連接CG．如圖2，可證四邊形PFCG是平行四邊形，得，在Rt△PBO中，根據(jù)，即可解決問題．②若翻折后，點G在直線OC上方時，連接CG．如圖3，可證四邊形PFGC是平行四邊形，得即可解決問題．
【詳解】
解：由解得或，
∴點坐標，點坐標，
∵軸，
∴點縱坐標為，
由，解得或，
∴點坐標．
如圖中，設(shè)，，則，

由題意，
解得或（舍棄），
∴．
∵，，
∴，，，
∵，
∴．
①若翻折后，點在直線下方時，連接．如圖，

∵，
∴，
∴．，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
在中，，
∴．
②若翻折后，點在直線上方時，連接．如圖，

∵，
∴，
∴．，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
綜上所述:當或時，與重疊部分的面積是面積的?．
【點睛】
屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性比較強，難度較大.

一、解答題
1．如圖，拋物線交軸于、兩點，其中點坐標為，與軸交于點.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖①，連接，點在拋物線上，且滿足．求點的坐標；
（3）如圖②，點為軸下方拋物線上任意一點，點是拋物線對稱軸與軸的交點，直線、分別交拋物線的對稱軸于點、．請問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
【答案】（1）（2）或（3）為定值
【解析】
【分析】
（1）把點、坐標代入拋物線解析式即求得、的值．
（2）點可以在軸上方或下方，需分類討論．①若點在軸下方，延長到，使構(gòu)造等腰，作中點，即有，利用的三角函數(shù)值，求、的長，進而求得的坐標，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點坐標．②若點在軸上方，根據(jù)對稱性，一定經(jīng)過點關(guān)于軸的對稱點，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點坐標．
（3）設(shè)點橫坐標為，用表示直線、的解析式，把分別代入即求得點、的縱坐標，再求、的長，即得到為定值．
【詳解】
（1）∵拋物線經(jīng)過點，.
∴，解得：.
∴拋物線的函數(shù)表達式為.
（2）①若點在軸下方，如圖1，
延長到，使，過點作軸，連接，作中點，連接并延長交于點，過點作于點.
∵當，解得：，.
∴.
∵，，
∴，，，，
∴中，，，
∵，為中點，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴中，，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴中，，，.
∴，，
∴，，即，
設(shè)直線解析式為，
∴，解得：，
∴直線：.
∵，解得：（即點），，
∴.
②若點在軸上方，如圖2，
在上截取，則與關(guān)于軸對稱，
∴，
設(shè)直線解析式為，
∴，解得：，
∴直線：.
∵，解得：（即點），，
∴.
綜上所述，點的坐標為或．
（3）為定值.
∵拋物線的對稱軸為：直線，
∴，，
設(shè)，
設(shè)直線解析式為，
∴，解得：，
∴直線：，
當時，，
∴，
設(shè)直線解析式為，
∴，解得：，
∴直線：，
當時，，
∴，
∴，為定值．

【點睛】
本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．解題關(guān)鍵在于第（2）題由于不確定點位置需分類討論；（2）（3）計算量較大，應(yīng)認真理清線段之間的關(guān)系再進行計算.
2．如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，點D、E的坐標分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD，PE，DE．

（1）求拋物線的解析式；
（2）小明探究點P的位置是發(fā)現(xiàn)：當點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；
（3）請直接寫出△PDE周長的最大值和最小值．
【答案】（1）y＝﹣x2+8；（2）正確，d＝|PD﹣PF|為定值2；理由見解析；（3）△PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）首先表示出P，F(xiàn)點坐標，再利用兩點之間距離公式得出PD，PF的長，進而求出即可；
（3）過E作EF⊥x軸，交拋物線于點P，求得C△PDE＝ED＋PE＋PD＝ED＋PE＋PF＋2＝ED＋2＋（PE＋PF），當P、E、F三點共線時，PE＋PF最?。划擯與A重合時，PE＋PF最大；即可解答．
【詳解】
（1）∵邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+c，
則，
解得：．
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+8．
（2）設(shè)P（x，﹣x2+8），則F（x，8），
則PF＝8﹣（﹣x2+8）＝x2．
PD2＝x2+[6﹣（﹣x2+8）]2＝x4+x2+4＝（x2+2）2
∴PD＝x2+2，
∴d＝|PD﹣PF|＝|x2+2﹣x2|＝2
∴d＝|PD﹣PF|為定值2；
（3）如圖，過點E作EF⊥x軸，交拋物線于點P，

由d＝|PD﹣PF|為定值2，
得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），
又∵D（0，6），E（﹣4，0）
∴DE＝．
∴C△PDE＝2+2+（PE+PF），
當PE和PF在同一直線時PE+PF最小，
得C△PDE最小值＝2+2+8＝2 +10．
設(shè)P為拋物線AC上異于點A的任意一點，過P作PM∥x軸，交AB于點M，連接ME，如圖2．

由于E是AO的中點，易證得ME≥PE（當點P接近點A時，在△PME中，顯然∠MPE是鈍角，故ME≥PE，與A重合時，等號成立），而ME≤AE+AM，
所以PE≤AE+AM．
所以當P與A重合時，PE+PF最大，
AE＝8﹣4＝4，PD＝＝10．
得C△PDE最大值＝2+4+10＝2+14．
綜上所述，△PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10．
【點睛】
此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及兩點距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵．
3．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA="16" cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度勻速運動．設(shè)運動時間為t秒．

（1）用含t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個定值，如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由；
（3）當△OPQ∽△ABP時，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B、P兩點，求拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，過線段BP上一動點M作軸的平行線交拋物線于N，求線段MN的最大值．
【答案】（1）；（2）是；（3）；（4）9
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)速度與時間的關(guān)系分別表示出CQ、OP、OQ的長度，然后利用三角形的面積公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面積減去△ABP與△BCQ的面積，根據(jù)面積公式分別列式進行整理即可得解；
（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，然后代入數(shù)據(jù)求解即可得到t值，從而得到點P的坐標；
（4）先求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線解析式與拋物線解析式設(shè)出點M、N的坐標，再根據(jù)兩點間的距離表示出MN的長度，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．
（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，

=128-64+8t-8t=64，
∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于64；
（3）當△OPQ∽△ABP時，./

解得：t1=2，t2=8（舍去），
此時P（4，0），
∵B（16，8），

∴拋物線解析式是；
（4）設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b

∴直線BP的解析式是

∵M在BP上運動，
∴4≤m≤16，

∴當時，MN有最大值是9．
考點：二次函數(shù)的綜合題
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．
4．如圖1所示，拋物線交x軸于點和點，交y軸于點．

求拋物線的函數(shù)表達式；
如圖2所示，若點M是拋物線上一動點，且，求點M的坐標；
如圖3所示，設(shè)點N是線段AC上的一動點，作軸，交拋物線于點P，求線段PN長度的最大值．
【答案】（1）；（2）點P坐標為或或或；線段PN長度最大值為4．
【解析】
【分析】
（1）把函數(shù)設(shè)為交點式，代入C點坐標，進而求出a的值即可；
（2）設(shè)M點坐標為（x，-x2-3x+4），根據(jù)S△AOM=3S?△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；
（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+4，再設(shè)N點坐標為（x，x+4），則P點坐標為（x，-x2-3x+4），然后用含x的代數(shù)式表示PN，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段PN長度的最大值．
【詳解】
解：（1）把函數(shù)設(shè)為交點式，
由，得，把代入，得，
故拋物線的解析式為；
（2）設(shè)M點坐標為，
，
，
整理得或，
解得或，
則符合條件的點P坐標為或或或；
（3）設(shè)直線AC的解析式為，將，代入，
，
解得，
即直線AC的解析式為，
設(shè)點N坐標為，，則P點坐標為，
設(shè)，則，
即當時，y有最大值4，
故線段PN長度最大值為4．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，面積問題以及線段最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5．如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）該拋物線有一點D（x，y），使得S△ABC＝S△DBC，求點D的坐標．

【答案】（1）y＝，x＝3；（2）P（3，）；（3）D的坐標為（6，4）．
【解析】
【分析】
（1）因為拋物線經(jīng)過點B（1，0），C（5，0），可以假設(shè)拋物解析式為y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解決問題，對稱軸根據(jù)圖象即可解決．
（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P，此時△PAB周長最?。蟪鲋本€AC的解析式即可解決問題；
（3）根據(jù)面積相等且底邊相等的三角形的高也應(yīng)該相等得出D的縱坐標為±4，代入拋物線的解析式即可求得．
【詳解】
（1）∵拋物線經(jīng)過點B（1，0），C（5，0），
∴可以假設(shè)拋物解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣5），把A（0，4）代入得4＝5a，
∴a＝，
∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4．
拋物線對稱軸x＝＝3．
（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P，此時△PAB周長最小．

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∵A（0，4），C（5，0），
∴，
解得，
∴直線AC解析式為y＝﹣x+4，
把x＝3代入得，y＝，
∴交點P為（3，）；
（3）根據(jù)題意得D的縱坐標為±4，
把y＝4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣x+4＝4，
解得x＝0或6，
把y＝﹣4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣6x+10＝0，
∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×10＜0，
∴無解，
(0,4)為A點(舍)，D的坐標為（6，4）．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)綜合題、兩點之間線段最短、一次函數(shù)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會利用對稱解決最短問題．
6．如圖，拋物線與軸相交于點（﹣1，0）、（3，0），與軸相交于點，點為線段上的動點（不與、重合），過點垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點、，點在軸正半軸上，=2，連接、．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；
（3）過點的直線將（2）中的平行四邊形分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）
【答案】（1）拋物線的解析式為：；(2) 點坐標為或；(3) ①當時，所求直線的解析式為：；②當時，所求直線的解析式為：.
【解析】
試題分析：
（1）將點和點的坐標代入拋物線函數(shù)中，可求出未知量，.則可求出該拋物線解析式；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可知，，用含未知量的代數(shù)式表示的長度。則可得點坐標；（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或?qū)蔷€的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點與對稱中心的直線平分的面積．求得此直線，首先要求得對稱中心的坐標.則兩點坐標可確定該直線.
試題解析：
（1）點、在拋物線上，
∴，
解得，，拋物線的解析式為：．
（2）在拋物線解析式中，令，得，．
設(shè)直線BC的解析式為，將，坐標代入得：
，解得，，∴．
設(shè)點坐標為，則，，
∴
四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，即，
解得或，
∴點坐標為或．
（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或?qū)蔷€的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點與對稱中心的直線平分的面積．
①當時，點坐標為，又
設(shè)對角線的中點為，則．
設(shè)直線的解析式為，將，坐標代入得：
，
解得，，∴所求直線的解析式為：；
②當時，
點坐標為，又，
設(shè)對角線的中點為，則．
設(shè)直線的解析式為，將，坐標代入得：
，解得，，所求直線的解析式為:．
綜上所述，所求直線的解析式為：或．

【考點】1.一次函數(shù)解析式的解法；2.二次函數(shù)解析式的解法.
7．平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別為(0，3)、(，0)，將此平行四邊形繞點0順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形．
(1)若拋物線過點C，A，，求此拋物線的解析式；
(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形重疊部分△的周長；
(3)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，間：點M在何處時△的面積最大?最大面積是多少?并求出此時點M的坐標．
【答案】
解：(1)∵由ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且點A的坐標為(0，3)，
點的坐標為(3，0)．
所以拋物線過點C(-1，0)，A(0，3)，(3，0)設(shè)拋物線的解析式為，可得
解得
∴過點C，A，的拋物線的解析式為．
(2)因為AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°．
∴,又.
,∴又,
∴,又△ABO的周長為．
∴的周長為．
（3）連接OM，設(shè)M點的坐標為，
∵點M在拋物線上，∴．
∴
=
=
因為，所以當時，．△AMA’的面積有最大值
所以當點M的坐標為()時，△AMA’的面積有最大值，且最大值為．
【解析】
（1）由圖形翻折性質(zhì)可知點的坐標為(3，0)，把有關(guān)點的坐標代入拋物線解析式，求得待定系數(shù)，即可知拋物線解析式；
（2）相似三角形周長之比等于相似比；
（3）（3）求面積最大值，可把面積化為二次函數(shù)形式，然后求最大值．
8．如圖，已知拋物線經(jīng)過點、.
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；
（2）若點在拋物線上，且點的橫坐標為8，求四邊形的面積
（3）定點在軸上，若將拋物線的圖象向左平移2各單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線，點在新的拋物線上運動，求定點與動點之間距離的最小值（用含的代數(shù)式表示）

【答案】（1），;（2）36;（3）
【解析】
【分析】
（1）函數(shù)的表達式為：y=（x+1）（x-5），即可求解；
（2）S四邊形AMBC=AB（yC-yD），即可求解；
（3）拋物線的表達式為：y=x2，即可求解．
【詳解】
（1）函數(shù)的表達式為：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，
點M坐標為（2，-3）；
（2）當x=8時，y=（x+1）（x-5）=9，即點C（8，9），
S四邊形AMBC=AB（yC-yD）=×6×（9+3）=36；
（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，
拋物線的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線，
則新拋物線表達式為：y=x2，
則定點D與動點P之間距離PD=，
∵＞0，PD有最小值，當x2=3m-時，
PD最小值d=．
【點睛】
本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到圖形平移、面積的計算等知識點，難度不大．
9．如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點.
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點在拋物線上，且，求點的坐標；
（3）如圖，設(shè)點是線段上的一動點，作軸，交拋物線于點，求線段長度的最大值，并求出面積的最大值.

【答案】（1）；（2）符合條件的點的坐標為：或或；（3）面積的最大值為.
【解析】
【分析】
（1）把點A、C的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值；
（2）設(shè)P點坐標為（x，-x2-2x+3），根據(jù)S△AOP=4S?△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；
（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設(shè)Q點坐標為（x，x+3），則D點坐標為（x，-x2-2x+3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值,再根據(jù)求得最大面積．
【詳解】
（1）把，代入，得
，解得.
故該拋物線的解析式為：.
（2）由（1）知，該拋物線的解析式為，則易得.
設(shè)P點坐標為（x，-x2-2x+3），
∵，
∴.
整理，得或，
解得或.
則符合條件的點的坐標為：或或；
（3）設(shè)直線的解析式為，將，代入，
得，解得.
即直線的解析式為.
設(shè)點坐標為，，則點坐標為，
，
∴當時，有最大值.
此時，
∴面積的最大值為.
【點睛】
考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．
10．拋物線經(jīng)過點A（-1,0）、B（4,0），與y軸交于點C（0,4）.
(1)求拋物線的表達式；
(2)點P為直線BC上方拋物線的一點，分別連接PB、PC，若直線BC恰好平分四邊形COBP的面積，求P點坐標；
(3)在（2）的條件下，是否在該拋物線上存在一點Q,該拋物線對稱軸上存在一點N，使得以A、P、Q、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出Q點坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）點P坐標為（2,6）；（3）Q點坐標為（，-)或（，）.
【解析】
分析：（1）把A、B、C三點坐標代入拋物線y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；
（2）設(shè)P點坐標為（x，-x2+3x+4），根據(jù)四邊形COBP的面積=S△COP+ S△BOP以及四邊形COBP的面積=2S△COB求解即可；
(3)分AQ和AN分別為對角線時進行討論可得解.
詳解：（1）把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三點坐標代入拋物線y=ax2+bx+c得，
,
解得：
故拋物線的表達式為：y=-x2+3x+4；
（2）設(shè)P點坐標為（x，-x2+3x+4），如圖，

∴四邊形COBP的面積=S△COP+ S△BOP==-2x2+8x+8
∵直線BC平分四邊形COBP的面積
∴四邊形COBP的面積=2S△COB
即：-2x2+8x+8=
解得x=2
將x=2代入拋物線表達式得y=6
故點P坐標為（2,6）
(3)存在
①當AQ為平行四邊形的對角線時，Q點橫坐標為，
故Q（）
②當AN為平行四邊形的對角線時，Q點橫坐標為，
故Q（）
綜上所述，Q點坐標為（)或（）
點睛：本題綜合考查了二次函數(shù)和平行四邊形存在性的判定等相關(guān)知識，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想.
11．如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，過點作軸交拋物線于另一點，作軸，垂足為點.雙曲線經(jīng)過點，連接，.

(1)求拋物線的表達式；
(2)點，分別是軸，軸上的兩點，當以，，，為頂點的四邊形周長最小時，求出點，的坐標；
【答案】(1)；(2)；；
【解析】
【分析】
（1）先求D的坐標，再代入二次函數(shù)解析式解析式求解；（2）分別作點，關(guān)于軸，軸的對稱點，，連接交軸，軸于點，.即，F(xiàn),N，在同同一直線上時，四邊形的周長最小，用待定系數(shù)法求直線的表達式，再求N,F的坐標；
【詳解】
解：(1)由題意，得點的坐標，.
∵，
∴.
∴點的坐標.
將點，分別代人拋物線，得

解得
∴拋物線的表達式為.
(2)分別作點，關(guān)于軸，軸的對稱點，，
連接交軸，軸于點，.
由拋物線的表達式可知，頂點的坐標，
∴點的坐標.
設(shè)直線為，
∵點的坐標，
∴
解得
∴直線的表達式為.
令，則，解得，
∴點的坐標.
令，則，
∴點的坐標.

【點睛】
考核知識點：二次函數(shù)的綜合運用.數(shù)形結(jié)合分析問題是關(guān)鍵.
12．如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，頂點為，其對稱軸交軸于點．直線經(jīng)過、兩點，交拋物線的對稱軸于點，其中點的橫坐標為．
(1)求拋物線的表達式；
(2)連接，求的周長；
(3)若是拋物線位于直線的下方且在其對稱軸左側(cè)上的一點，當四邊形的面積最大時，求點的坐標．

【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）將A，B兩點的坐標代入拋物線的解析式即可求出.
（2）首先求出D點、A點、B點坐標，進而利用待定系數(shù)法求出直線DB的解析式，再利用勾股定理得出BM的長，即可得出△ABM的周長；
（3）首先表示出P，Q點的坐標，進而表示出S四邊形DPHM＝S△DPM＋S△PMH，利用二次函數(shù)最值求出即可
【詳解】
將，點坐標代入解析式，得
，
解得，
拋物線的解析式為；
當，，則．
由，，
則，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：，
則直線的解析式為，
拋物線對稱軸為，則
在中，，
∴，
垂直平分，則，
則，
所以的周長為：；
如圖，連接，過作垂直于軸交于
拋物線的頂點坐標為

令，則，
則，
，
，
故
∵，
∴拋物線開口向下，
故當時，最大，則，
則．
【點睛】
此題主要考查了二次函數(shù)綜合知識的應(yīng)用，利用F點位置的不同分類討論得出是解題關(guān)鍵
13．如圖，拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點E（x，y）運動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？
（3）是否存在這樣的點E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點，F(xiàn)點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+；
（2）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；
（3）存在點E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，此時點F坐標為（，）．
【解析】
試題分析：（1）由拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）由點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示點E到OA的距離，又由S=2S△OBE=2××OB?|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，求得自變量x的取值范圍；
（3）由當OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，可得此時點E坐標只能（，﹣），而坐標為（，﹣）點在拋物線上，故可判定存在點E，使平行四邊形OEBF為正方形．
試題解析：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，則由題意可得：
，解得．
∴所求拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+；
（2）∵點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示點E到OA的距離．
∵OB是平行四邊形OEBF的對角線，
∴S=2S△OBE=2××OB?|y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣，
∵S=﹣（x﹣3）2+
∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；
（3）∵當OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，
∴此時點E坐標只能（，﹣），而坐標為（，﹣）點在拋物線上，
∴存在點E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，
此時點F坐標為（，）．
考點：二次函數(shù)綜合題．
14．如圖，在直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸與C（0，3），D為拋物線上的頂點，直線y=x﹣1與拋物線交于M、N兩點，過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線與點Q．
（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）求線段PQ的最大值；
（3）設(shè)E為線段OC的三等分點，連接EP、EQ，若EP=EQ，直接寫出P的坐標．

【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+4，拋物線的頂點D的坐標為（1，4）；（2）當x=時，線段PQ的長度有最大值；（3）綜上所述，P點坐標為（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣3），然后把C點坐標代入求出即可得拋物線的解析式，最后通過配方成頂點式即可得到頂點D的坐標；
（2）設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則P（x，x﹣1），則可得PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得PQ長的最值；
（3）作EH⊥PQ于H，如圖，設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則P（x，x﹣1），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得QH=PH，然后分點E坐標為（0，1）和點E坐標為（0，2）兩種情況分別討論即可得到對應(yīng)的P點坐標.
【詳解】（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a?1?（﹣3）=3，解得a=﹣1，
∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線的頂點D的坐標為（1，4）；
（2）設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則P（x，x﹣1），
∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，
當x=時，線段PQ的長度有最大值；
（3）作EH⊥PQ于H，如圖，設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則P（x，x﹣1），
∵EP=EQ，
∴QH=PH，
∵OC=3，E為線段OC的三等分點，
∴E（0，1）或（0，2），
當E點坐標為（0，1）時，則H（x，1），
∴﹣x2+2x+3﹣1=1﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3（舍去），此時P點坐標為（0，﹣1）；
當E點坐標為（0，2）時，則H（x，2），
∴﹣x2+2x+3﹣2=2﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，此時P點坐標為（1，0）或（2，1），
綜上所述，P點坐標為（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，會用分類討論的思想進行解答是關(guān)鍵.
15．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣3，0）與B（1，0），與直線y＝kx（k≠0）交于點C（﹣2，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點E是拋物線上（x軸下方）的一個動點，過點E作x軸的平行線與直線OC交于點F，試判斷在點E運動過程中，以點O，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形，若能，請求出點E的坐標；若不能，請說明理由．
（3）如圖2，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DM交x軸于點M，當點E在拋物線上B，D之間運動時，連接EA交DM于點N，連接BE并延長交DM于點P，猜想在點E的運動過程中，MN+MP的和是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）點E的坐標為（，）或（，）；（3）在點E的運動過程中，MN+MP的和是定值，該定值為8．
【解析】
【分析】
（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），把點C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，即拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）設(shè)點E（m，m2+2m﹣3），由于直線y＝kx（k≠0）經(jīng)過點C（﹣2，﹣3），可得直線表達式為y＝x，因為EF平行OA，可求得點F的橫坐標，進而得出EF的長度，當EF＝OB＝1時，以點O，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形構(gòu)成平行四邊形，即，解方程求得m的值，進而得出點E的坐標；
（3）如圖，作EH⊥OA于點H，證明△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，可得，設(shè)點E（m，m2+2m﹣3），可求得MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，進而得出MP+MN＝8，其值為定值.
【詳解】
（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣3，0）與B（1，0），與直線y＝kx（k≠0）交于點C（﹣2，﹣3），
∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），
點C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）設(shè)點E（m，m2+2m﹣3），
∵直線y＝kx（k≠0）經(jīng)過點C（﹣2，﹣3），
∴﹣3＝﹣2k，k＝，
∴y＝x，
∵過點E作x軸的平行線與直線OC交于點F，
∴m2+2m﹣3＝x，
∴x=，
當EF＝OB＝1時，以點O，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形構(gòu)成平行四邊形，
∴，
解得m＝1（舍去）或m＝-或m＝或m＝（舍去），
∴點E的坐標為或；
（3）如圖，作EH⊥OA于點H，
∵PM⊥OA，
∴PM∥EH，
∴△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，
∴，
設(shè)點E（m，m2+2m﹣3），
則，
∴MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，
∴MP+MN＝8，
∴在點E的運動過程中，MN+MP的和是定值，該定值為8．

【點睛】
考查二次函數(shù)，平行四邊形，相似三角形等知識，綜合性強．用點的坐標來表示線段的長是解決本題的關(guān)鍵．
16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與X軸的交點為A,與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC．現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設(shè)動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）．

（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點的坐標；
（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；
（3）當時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由；
（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．
【答案】(1)A(18,0),B(0,?10),C(8,?10),頂點坐標為；（2）t=；（3）△PQF的面積總為90；（4）.
【解析】
試題分析：（1）已知拋物線的解析式，當x=0時，可求得B的坐標；由于BC∥OA，把B的縱坐標代入拋物線的解析式，可求出C的坐標；當y=0時，可求出A的坐標．求頂點坐標時用公式法或配方法都可以；
（2）當四邊形ACQP是平行四邊形時，AP、CQ需滿足平行且相等的條件．已知BC∥OA，只需求t為何值時，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；
（3）當0

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