2025年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí)16定值問題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

解決這類問題的一般步驟是：
1．根據(jù)題目條件，設(shè)出二次函數(shù)的一般形式．
2．利用題目給出的條件（如定點、定值等），建立方程或不等式．
3．解方程或不等式，找出滿足條件的值或點．
（2024秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）
1．如圖，二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，過點D且平行于y軸的直線與x軸交于點E，與直線交于點F，連接交直線于點G．
(1)填空：點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為；
(2)試探究是否為定值，如果是，求出這個定值，如果不是，請說明理由；
(3)若點P為二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）位于第一象限圖象上一點，連接，交直線于點Q，試求的最大值，并求出此時點P的橫坐標(biāo)．
（2024秋?花都區(qū)校級月考）
2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點．點坐標(biāo)為，與軸交于點，點為拋物線頂點，點為AB中點．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點．
若點與點重合，，且，求證：，，三點共線；
若直線AD，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
（2024?龍巖模擬）
3．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．
(1)求出點A，B，C的坐標(biāo)；
(2)以為直徑作，交y軸正半軸于點E，直線平分，交y軸于點F，與關(guān)于直線對稱．求證：點B，I，F(xiàn)三點共線．
(3)點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，點R是線段上的動點（除B，D外），過點R作x軸的垂線交拋物線于點K，直線分別與拋物線對稱軸交于M，N兩點．試問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，說明理由．
（2024?無錫二模）
4．如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于A、D兩點（點A在點D左側(cè)），與二次函數(shù)的圖象交于B、C兩點（點B在點C左側(cè)）．
(1)如圖1，若，，請求出的值．
(2)如圖1，若，點B與A橫坐標(biāo)之差為1，試探究的值是否為定值？如果是，請求出這個比值：如果不是，請說明理由．
(3)如圖2，若，求的值．
（2024?湖南）
5．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點Px1,y1，Qx2,y2是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；
(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．
（2024?興化市三模）
6．已知，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點D是二次函數(shù)圖象上的一個動點．
(1)如圖1，當(dāng)時，點D在第一象限內(nèi)；
①求點C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；
②連接、，若面積是面積的4倍，求點D的坐標(biāo)；
(2)如圖2，過點D作交拋物線于點E（與不重合），連接，，直線與交于點F，點F的橫坐標(biāo)為t，試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；如果不為定值，請說明理由．
（2024春?天河區(qū)校級月考）
7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線G：，點A在拋物線G的對稱軸上，且在x軸上方．
(1)求拋物線G與x軸交點的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；
(2)已知正方形的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在拋物線對稱軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值，如果是，求出這個值：如果不是，請說明理由；
（2024?青島三模）
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) 的圖像與x 軸交于，兩點，與y 軸交于點C ．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)點P是直線下方拋物線上的一個動點，連接，線段與交于點 Q，設(shè) 的面積為，的面積為，當(dāng)取最大值時，求點P的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，請直接寫出m 的取值范圍．
（2024春?海州區(qū)期中）
9．如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點和點B，與y軸相交于點C．
(1)① ，②頂點坐標(biāo)為；
(2)如圖2，坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及圖象的一段，分別記為．移動該膠片，使所在拋物線對應(yīng)的函數(shù)恰為．求點P移動的最短路程；
(3)如圖3，M是拋物線上一點，N為射線上的一點，且M、N兩點均在第一象限內(nèi)，B、N是位于直線同側(cè)的不同兩點，，點M到x軸的距離為a，的面積為，且，請問的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
（2024?姑蘇區(qū)一模）
10．如圖，二次函數(shù)（其中）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接、，點D為的外心．
(1)填空：點A的坐標(biāo)為， °；
(2)記的面積為，的面積為，試探究是否為定值？如果是，求出這個定值；
(3)若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點E，使得以B、D、C、E為頂點的四邊形是菱形，則．
（2024?煙臺一模）
11．（1）如果四個點，0,3，，中恰有三個點在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上.
① ；
②如圖1，已知菱形的頂點B，C，D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；
③如圖2，已知正方形的頂點B，D在該二次函數(shù)的圖象上，點B，D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B，D的橫坐標(biāo)分別為m，n，試探究是否為定值.如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由；
（2）已知正方形的頂點B，D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B，D的橫坐標(biāo)分別為m，n，直接寫出m，n滿足的等量關(guān)系式.
（2024?利州區(qū)一模）
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C．
(1)求二次函數(shù)解析式；
(2)如圖1，若在x軸上方的拋物線上存在一點D，使得，求點D的坐標(biāo)；
(3)如圖2，平面上一點，過點E作任意一條直線交拋物線于P、Q兩點，連接、，分別交y軸于M、N兩點，則與的積是否為定值?若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
（2024?高新區(qū)二模）
13．如圖（1），已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D．連接CD，．
(1)點B的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為；（用含有m的代數(shù)式表示）
(2)如圖（2），若CB平分，若點P是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線下方．
①若對稱軸與直線交于點M，試說明與相等；
②求二次函數(shù)的表達(dá)式；
③點P到直線距離的最大值為；
④直線、分別交y軸于點E、F，問是否為定值？若是，求出這個值；若不是，說明理由．
（2024春?靖江市月考）
14．二次函數(shù)圖象交x軸于O、A兩點，點為點A右側(cè)圖象上一動點，過點C作軸于點B．點在原點O左側(cè)圖象上，直線交y軸于點E，連接、．
(1)如圖，當(dāng)，軸：
①若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若，在點C、D運動的過程中，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
(2)在點C、D在運動的過程中，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2024?昆都侖區(qū)校級三模）
15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標(biāo)；
(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
參考答案：
1．(1)
(2)是定值，這個定值為
(3)的最大值為，此時點的橫坐標(biāo)為
【分析】（1）令，解方程可得兩點坐標(biāo)；
（2）令可得點的坐標(biāo)，求出頂點的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，則，過點A作軸交直線于點，則，證明，即可得，即可求解；
（3）過點A作軸交直線于點，過點作軸交直線于點，則，設(shè)，則，證明，即可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）解：令得，
解得或，
∵點A在點左側(cè)，
∴點A的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
故答案為：；
（2）解：是定值，
把代入，得，
∴點的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，代入，
，
解得，
∴直線的解析式為，
過點A作軸交直線于點，
，
，
，
∵點A的坐標(biāo)為，
，
∴頂點為，
，
，
是定值，這個定值為；
（3）解：過點A作軸交直線于點，過點作軸交直線于點，
，
設(shè)則，
，
∵軸，軸，
，
，
∴當(dāng)時, 的最大值為，此時點的橫坐標(biāo)為．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題．
2．(1)；
(2)見解析；是定值，值為．
【分析】
把點、代入，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；
解方程求出點的坐標(biāo)，根據(jù)點為AB中點，得到點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，點是直線與拋物線的交點，所以點，，三點共線；
設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，把直線AD、的解析式表示出來，解方程組求出點的坐標(biāo)為，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得點是直線上的動點，所以到，的距離是變化的，到AB的距離是定值，可得的面積為定值．
【詳解】（1）
解：將點、代入，
可得：，
解得：，
拋物線解析式為；
（2）
證明：點與點重合，則點的坐標(biāo)這，
解方程，
得：，，
可得點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
點為AB中點，
點的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
把點、的坐標(biāo)代入，
可得：，
解得：，
直線的解析式為，
解方程組，
可得：或，
點在直線上，
點，，三點共線；
解：設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
點，，三點共線，
設(shè)直線的解析式，
解方程組，
整理得：，
，，
點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
設(shè)直線AD解析式為，直線的解析式為，
解方程組，
可得：，
點的坐標(biāo)為，
，，
點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
，，
，，
，，
，
又的值不確定，
點在直線上運動，
P到軸的距離為定值，
直線AD，交于點，
無論點，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，
，，中必存在面積為定值的三角形，
到，的距離是變化的，到AB的距離是定值，
如圖下所示，
的面積為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，一次函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想在坐標(biāo)系中畫出圖形．
3．(1)
(2)見解析
(3)是定值，．理由見解析
【分析】本題主要考查了解直角三角形、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、求一次函數(shù)、軸對稱的性質(zhì)等知識點，熟練掌握解直角三角形、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）令，得，解得：，令，得，即可完成解答；
（2）利用待定系數(shù)法得直線的解析式為，再證點F在上即可解答；
（3）設(shè)，先求得直線的解析式為，直線的解析式為，進(jìn)而得、，從而完成解答．
【詳解】（1）解：令，得，解得，
令，得，
∴．
（2）證明：由（1）可知，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵直線平分，
∴，
∴，
∴，
∵與關(guān)于直線對稱，直線平分，
∴點與點B重合，，
∴，
過點I作軸于H，如圖1，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入得：，解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時，，
∴點在直線上，
∴點B，L，F(xiàn)三點共線．
（3）解：是定值，．理由如下：
如圖2，
設(shè)，
設(shè)直線的解析式為，則有：
，解得：，
∴直線的解析式為，
同理可得直線的解析式為．
令得，
∴，
∴是定值．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分別求出點A、B、C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點之間的距離公式，求出，即可解答；
（2）先求出點A、B、C、D的橫坐標(biāo)，過點A、B、C、D分別作x軸的垂線，垂足分別為點E、F、G、H；過點A作于點P，過點C作于點Q，易證，則，根據(jù)點B與A橫坐標(biāo)之差為1，德吹，，進(jìn)而得出，再求出，即可解答．
（3）先求出點A、B、C、D的橫坐標(biāo)，由（2）同理可得：，，推出，進(jìn)而求出，即可解答．
【詳解】（1）解：若，，則一次函數(shù)為，
聯(lián)立和得：
，
解得或，
，，
聯(lián)立和得：
，
解得或，
，，
，
，
．
（2）解：當(dāng)時，一次函數(shù)為，
聯(lián)立和得：
，
解得，
聯(lián)立和得：
，
解得：，
過點A、B、C、D分別作x軸的垂線，垂足分別為點E、F、G、H；過點A作于點P，過點C作于點Q，
∵軸，軸，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵點B與A橫坐標(biāo)之差為1，
∴，，即，
整理得：，
∵，
∴．
（3）解：聯(lián)立和得：
，
解得，
聯(lián)立和得：
，
解得：，
由（2）可得：，
∴，
整理得：，
由圖可知：一次函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，則，
兩邊同時除以m得：，
令，則，
解得：，
∴，
∴，
同理可得：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握求二次函數(shù)和一次函數(shù)交點的方法和步驟．
5．(1)
(2)為定值3，證明見解析
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；
（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長度的最大值．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，
∴，
∴，
∴；
（2）當(dāng)時，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，．
∴，
∴的值為定值；
（3）設(shè)，則，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時，
，
∴當(dāng)時，線段長度的最大值．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
6．(1)①，；②或
(2)為定值，理由見解析
【分析】（1）當(dāng)時，二次函數(shù)為．令，則可求出點，令，則可求出點，，采用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)解析式；
②過點作平行于軸的直線，交線段于點，根據(jù)點A，B，C的坐標(biāo)即可求得，從而，設(shè)，則點，根據(jù)即可求得a的值，從而解答；
（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
由直線與不重合，得到且，且，，過點D作y軸的平行線，過點E作x軸的平行線，兩平行線相交于點G，證得，得到，從而，因此，化簡即可得到，從而點的坐標(biāo)為，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為：，令，得到，由點的橫坐標(biāo)為t，得到，從而，為定值．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，二次函數(shù)為．
①令，，
∴點C的坐標(biāo)為，
令，則，
解得，，
∴，
設(shè)直線的函數(shù)解析式為，
∵直線過點，，
∴，解得
直線的函數(shù)表達(dá)式：．
②過點作平行于軸的直線，交線段于點，
∵，，，
∴，，
∴，
由面積是面積的4倍，得．
設(shè)，則點
解得或，
∴或．
（2）解：∵二次函數(shù)，
令，則，
∴，
令，則，解得，，
∴，
設(shè)點D的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
∵直線與不重合，
且，且，，
∵，點，
∴，
過點D作y軸的平行線，過點E作x軸的平行線，兩平行線相交于點G，
∴，
設(shè)交y軸于點H，
∵，軸，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵
．
點的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
，解得，
直線的表達(dá)式為：，
同理直線的表達(dá)式為：，
，解得，
點的橫坐標(biāo)為t，
，
，為定值．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點，相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
7．(1)拋物線G與x軸交點的坐標(biāo)或
(2)是定值，且值為1
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）令，然后解方程即可解答；
（2）如圖：連接交點為E，過B作軸于M，過C作于N，證明，，則，，
設(shè)，則，進(jìn)而因式分解得出，可得；根據(jù)對稱性可得當(dāng)B，D在對稱軸的左側(cè)時，同理可得是定值．
【詳解】（1）解：當(dāng)，則，即，解得：，
∴拋物線G與x軸交點的坐標(biāo)或；
（2）解：由（1）可得對稱軸為直線，
當(dāng)B，D在對稱軸的右側(cè)時，
如圖：連接交點為E，過B作軸于M，過C作于N，
由正方形的性質(zhì)可知，E為的中點，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由題意知：，
∴，，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵點B、D在對稱軸的同側(cè)，對稱軸為直線，且點B在點D的左側(cè)，
∴，
∴，
∴是定值，且值為1；
根據(jù)對稱性可得當(dāng)B，D在對稱軸的左側(cè)時，同理可得是定值，且值為1．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將，代入解析式，利用待定系數(shù)法求解；
（2）由可得當(dāng)點P與二次函數(shù)圖象的頂點重合時，取最大值，取最大值，由此可解；
（3）分，，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)圖象求出最大值、最小值，作差判斷是否為定值即可．
【詳解】（1）解：將，代入，
得：，
解得，
二次函數(shù)的解析式為；
（2）解：由（1）知，
當(dāng)時，，
，
，
，，
；
，
二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為；
，
當(dāng)點P與二次函數(shù)圖象的頂點重合時，取最大值，取最大值，
此時點P的坐標(biāo)為；
（3）解：由（2）得，
二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
當(dāng)時，，y有最大值0，
，y有最小值，
最大值與最小值的差為：，不是定值，不合題意；
當(dāng)時，，y有最小值，
，y有最大值0，
最大值與最小值的差為：，是定值，符合題意；
當(dāng)時，，y有最小值，
，y有最大值，
最大值與最小值的差為：，不是定值，不合題意；
綜上可知，當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)中的面積問題，難度較大，熟練運用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
9．(1)，
(2)
(3)為定值4
【分析】本題屬于二次函數(shù)綜合題、主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、兩點間的距離公式等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．
（1）將點的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式可得，即函數(shù)解析式為，然后化成頂點式即可確定頂點坐標(biāo)；
（2）分別求出兩拋物線的頂點坐標(biāo)，然后運用兩點間距離公式即可解答；
（3）由題意可得，進(jìn)而可得，再證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）解：將點的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式得：，解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為：．
故答案為：，．
（2）解：∵拋物線：的頂點坐標(biāo)為：，原拋物線的頂點坐標(biāo)為：，
∴點P移動的最短路徑即為兩個頂點之間的距離：．
（3）解：為定值4，理由如下：
由拋物線的表達(dá)式知，點，則，
∴，
∵、同底，
∴、的高相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴為定值．
10．(1)，45
(2)為定值，
(3)2或
【分析】（1）令得，因式分解求得方程的根，根據(jù)等腰直角三角形的判定，計算的度數(shù)即可．
（2）過點D作y軸的平行線交過點C和x軸的平行線于點M，交x軸于點N，設(shè)點，則,,,,證明，后利用三角形面積解答即可．
（3）設(shè)點，以對角線為依據(jù)，分類計算即可．
【詳解】（1）解：令得，
∴，
∴點，點，
∴，
當(dāng)時，，
∴點，
∴，
∴，
故答案為：，45．
（2）解：為定值，理由：
∵點D為的外心，，
∴，，，
過點D作y軸的平行線交過點C和x軸的平行線于點M，交x軸于點N，
設(shè)點，
則,,,,
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴且，
解得：，
∵的面積為，的面積為，
∴
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴,
故為定值，．
（3）解：由（2）知，點，點，點，設(shè)點，
當(dāng)為對角線時，
由中點坐標(biāo)公式和得：
解得：或（舍去）
當(dāng)或為對角線時，
同理可得：
或
解得：或（舍去）
綜上，或
故答案為：2或．
【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
11．（1）①1；②；③是定值，（2）、滿足的等量關(guān)系式為或
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
（1）①在中，令得，即知不在二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖象上，用待定系數(shù)法可得；
②設(shè)交軸于，設(shè)菱形的邊長為，可得，故，，代入得，即可求解；
③過作軸于，過作軸于，由點、的橫坐標(biāo)分別為、，可得，，，，證明，有，，故，，即可得；
（2）過作軸于，過作軸于，由點、的橫坐標(biāo)分別為、，知，，分三種情況：①當(dāng)，在軸左側(cè)時，由，可得，，即可求解；②當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，由，有，，即可求解；③當(dāng)，在軸右側(cè)時，，，即可求解．
【詳解】解：（1）①在中，令得，
在二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖象上，不在二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖象上，
四個點、、、中恰有三個點在二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖象上，
二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖象上的三個點是、、，
把代入得：，
解得：，
故答案為：1；
②設(shè)交軸于，如圖：
設(shè)菱形的邊長為，則，
，關(guān)于軸對稱，
，
，
，
，
，
，
把代入得：
，
解得或（舍去），
菱形的邊長為；
③是為定值，理由如下：
過作軸于，過作軸于，如圖：
點、的橫坐標(biāo)分別為、，
，，
，，，，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
點、在軸的同側(cè)，
，
；
（2）過作軸于，過作軸于，
點、的橫坐標(biāo)分別為、，
，，
①當(dāng)，在軸左側(cè)時，如圖：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
，
；
②當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，如圖：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
或；
③當(dāng)，在軸右側(cè)時，如圖：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
；
綜上所述，、滿足的等量關(guān)系式為或．
12．(1)
(2)
(3)是定值，為2，理由見解析
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）先證明，再由得到，再證明，得到，即可求解；
（3）證明得到，求出，同理，，即可求解．
【詳解】（1）設(shè)，
則；
（2）拋物線的表達(dá)式為，則點，
連接，過作交于點，作軸于點，
將代入得，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得（舍去），或，
；
（3）是定值，為2，理由：
過點作一直線交拋物線于、兩點，
設(shè)直線的解析式為，，，，，
，，
直線的解析式為②，
聯(lián)立①②得：，
，，
如圖，作軸于點，作軸于點，
則，
，
即，
，
同理，，
，為定值．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，根和系數(shù)的關(guān)系等．解決（3）問的關(guān)鍵的是通過相似三角形用坐標(biāo)表示出線段，的長．
13．(1)(，
(2)①見解析；②；③；④是定值，值為4
【分析】（1）把代入可解得點和點的坐標(biāo)，由拋物線的解析式可得頂點坐標(biāo)；
（2）①證明軸，得，即可證明；
②用含的式子表示點和點的坐標(biāo)，表示CD的長度，再表示的長度，由列出方程，求出的值，即可得到二次函數(shù)表達(dá)式；
③設(shè)點的坐標(biāo)為，點到直線的距離為，過點作軸，交于點，證明當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，取最大值，根據(jù)題意求出的最大值，從而得到點到直線距離的最大值；
④過點作軸，垂足為點，證明和表示和的長度，從而證明是定值．
【詳解】（1）解：（1）把代入，得，
解得，，
∵m>0，
∴點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，
由拋物線解析式為，
得，，
則頂點D的坐標(biāo)為，
故答案為：，；
（2）解：①根據(jù)題意作圖，
∵CB平分，
∴，
∵對稱軸與直線交于點M，
∴在拋物線對稱軸上，
軸，
，
，
；
②把x=0代入得
∴點的坐標(biāo)為
∵點的坐標(biāo)為
，
設(shè)直線的解析式為
把，代入
得直線的解析式為
把代入得
∴點的坐標(biāo)為
，
，
，
即
解得
，
，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為
③設(shè)點的坐標(biāo)為點到直線的距離為，
過點作軸，交于點，
由直線的解析式為得點的坐標(biāo)為
∵點是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線下方，
，
由即當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，取最大值，
由
當(dāng)時，取得最大值，
即得
∴點到直線距離的最大值為，
故答案為：；
④是定值，理由如下：過點作軸，垂足為點，
由點的坐標(biāo)為則點的坐標(biāo)為，
軸，
軸，
，
即
得
∵軸，
，
即
得
．
【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的點的坐標(biāo)，等腰三角形的性質(zhì) ，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)求面積的最大值，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，本題關(guān)鍵點是構(gòu)造相似三角形解決定值問題．
14．(1)①，理由見解析；②，為定值，理由見解析
(2)或
【分析】（1）①過點D作軸于F，分別求出，，，從而求得，，，，則，，即可得出結(jié)論；②由題意得，，，則，，，又因為對稱軸為，即，所以，代入計算即可．
（2）過點D作軸，先求出，，再求出直線的解析式為，則，，求出，得到，則，，可得，即．
【詳解】（1）解：①，理由如下：
當(dāng)，時，則二次函數(shù)解析式為，，
當(dāng)時，解得：或，
∵，
∴，，
∴，
∵軸于點，
∴，
∴，
過點D作軸于F，如圖，
∴，，
令，則，解得：，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
②，為定值，理由如下：
由（1）①得，，，
∴，，，
∵軸，
∴C、D關(guān)于對稱軸對稱，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
過點D作軸，如圖所示：

由題意得，，，
∴，，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
∴，
∴，
在中，當(dāng)時，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸交點，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，銳角的正切三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．(1)
(2)或或或
(3)，理由見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設(shè)與交于點，當(dāng)點F在x軸上方時，過點作于點，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值即可求出點F的坐標(biāo)；當(dāng)點F在x軸上方，且點E與點A重合時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出點F的坐標(biāo)；同理可求得當(dāng)點F在x軸下方時的坐標(biāo)；當(dāng)點與點重合時，求得另一個解，進(jìn)而即可求解；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．
【詳解】（1）解：將點A?2,0，B4,0，代入中得，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵點A?2,0，B4,0，
∴拋物線的對稱軸為直線：，
如圖所示，當(dāng)點F在x軸上方時，設(shè)與交于點，過點作于點，

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點在拋物線上
∴
解得：（舍去）或,
∴；
如圖所示，當(dāng)點F在x軸上方時，且點E與點A重合時，設(shè)直線l與x軸交于G，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴；
如圖所示，當(dāng)點F在x軸下方時，，設(shè)與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點在拋物線上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
如圖所示，當(dāng)點F在x軸下方，當(dāng)點與點重合時，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
∴，
綜上所述，或或或；
（3）解：設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，
∵點A?2,0，B4,0，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，的解析式為，
對于，當(dāng)時，，即，
對于，當(dāng)時，，即，
∵在拋物線上，則
∴
∴為定值．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點問題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．

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