考點要求
（1）理解等差、等比數(shù)列的概念．
（2）掌握等差、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．
（3）能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．
（5）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
知識點01：空間向量的有關(guān)概念等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．
1、通項公式的推廣：．
2、在等差數(shù)列中，當(dāng)時，．
3、，…仍是等差數(shù)列，公差為．
4、，…也成等差數(shù)列，公差為．
5、若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．
6、．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．
【常用結(jié)論】
1、等差數(shù)列中，若，則．
2、等差數(shù)列中，若，則．
3、等差數(shù)列中，若，則．
4、若與為等差數(shù)列，且前項和為與，則．
知識點02：等比數(shù)列的性質(zhì)
1、等比中項的推廣．
若時，則，特別地，當(dāng)時，．
（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．
②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．
2、等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定）．
當(dāng)或時，為遞增數(shù)列；
當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．
3、其他衍生等比數(shù)列．
若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：
①等間距抽取
為等比數(shù)列，公比為．
②等長度截取
為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時，不為偶數(shù)）．
【常用結(jié)論】
1、若，則．
2、若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．
3、在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即為
等比數(shù)列，公比為．
4、公比不為－1的等比數(shù)列的前項和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．
考點剖析
【題型一：等差、等比數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)】
一、單選題
1．（24-25高二上·河北保定·階段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．12B．18C．24D．32
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再結(jié)合等差數(shù)列前項和的公式即可求解.
【詳解】由，則，
由數(shù)列為等差數(shù)列，，故，
又，
故選：C.
2．（24-25高二上·廣東東莞·期中）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（ ）
A．B．C．11D．10
【答案】C
【分析】等比數(shù)列中若，，則，先根據(jù)性質(zhì)求出的值,最后運用對數(shù)性質(zhì)計算即可.
【詳解】在等比數(shù)列中，，得.
根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，.
所以
，.
故選：C.
3．（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）若正項等差數(shù)列的前項和為，則的最大值為（ ）
A．9B．16C．25D．50
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值.
【詳解】因為，
所以，則
又因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；
所以的最大值為25.
故選：C
二、填空題
4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知在遞增的正項等比數(shù)列中，，則
【答案】3
【分析】先應(yīng)用項的性質(zhì)得出，再結(jié)合已知條件得出，進而得出，最后應(yīng)用前n項和計算即可.
【詳解】由題得，且，
結(jié)合已知，解得，
設(shè)公比為，且，故，即，
則．
故答案為：3.
5．（22-23高三上·天津濱海新·期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得到，，代入所求從而得到結(jié)果.
【詳解】由題意得：，解得：，
，解得：，
所以.
故答案為：.
【題型二：等差、等比數(shù)列的函數(shù)特性】
一、單選題
1．（23-24高二下·安徽宿州·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列，則“單調(diào)遞增”是“”的（ ）條件
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念得到，進而推得結(jié)果.
【詳解】已知等差數(shù)列的公差為，即，
當(dāng)單調(diào)遞增時，，令得到， ；
反之，，為單調(diào)遞增.
故“單調(diào)遞增”是“”的充要條件．
故選：A.
2．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且單調(diào)遞增，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分析可得，即數(shù)列從第二項開始，各項均為正數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，列出不等式，即可求解．
【詳解】解：由為等差數(shù)列，且，所以，
因為數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即從第二項開始，各項均為正數(shù)，
又因為恒成立，所以數(shù)列為常數(shù)數(shù)列或遞增數(shù)列，所以，
則有，解可得，
綜上可得，，所以實數(shù)的取值范圍為．
故選：D．
3．（24-25高三上·北京海淀·期中）設(shè)無窮等差數(shù)列的前項積為.若，則“有最大值”是“公差”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】分析公差三種情況，當(dāng)時無最大值，當(dāng)時，
不一有最大值，即可得出論.
【詳解】對于無窮等差數(shù)列，由于，
當(dāng)時，若數(shù)列中小于0的項為偶數(shù)項，且數(shù)列中無0時，顯然沒有最大值，
當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)列，當(dāng)不等于時，，無最大值，
所以公差不能推出有最大值，
當(dāng)時，，所以趨于正無窮，為正負間隔的擺動數(shù)列，沒有最大值，
所以當(dāng)有最大值時，只能，
綜上，“有最大值”是“公差”的充分不必要條件，
故選：A
4．（24-25高三上·上海·期中）已知是無窮等比數(shù)列，則“對任意正整數(shù)，都有”是“數(shù)列是嚴格減數(shù)列”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，分別從兩個方向判斷“對任意正整數(shù)，都有”與“數(shù)列是嚴格減數(shù)列”之間的推導(dǎo)關(guān)系，根據(jù)推導(dǎo)關(guān)系判斷結(jié)論.
【詳解】若是嚴格遞減數(shù)列，顯然能推出，
所以“對于任意的正整數(shù)，都有”是“是嚴格遞減數(shù)列”必要條件；
若對任意的正整數(shù)都成立，
則中不可能同時含正項和負項，故，
所以，，即，，
或，，即，.
當(dāng)，時，有，即，是嚴格遞減數(shù)列；
當(dāng)，時，有，即，是嚴格遞減數(shù)列，
所以“對于任意的正整數(shù)，都有”是“是嚴格遞減數(shù)列”充分條件，
綜上所述，“對任意正整數(shù)，都有”是“數(shù)列是嚴格減數(shù)列”的充要條件.
故選：C.
5．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正項等比數(shù)列的前項積為，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】B
【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項即可.
【詳解】由已知數(shù)列各項均為正，因此乘積也為正，公比，若，則，
由等比數(shù)列性質(zhì)知，所以，故選項A錯誤；
又，因為，所以，所以，
則，故先增后減，所以，故選項B正確；
若，則，又，無法判斷與1的大小，即無法判斷與1的大小，故與大小沒法判斷，故選項CD錯誤.
故選：B
6．（23-24高二下·山西晉城·期末）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則當(dāng)最小時，（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可推得以及，即可判斷數(shù)列的增減性以及項與1的大小關(guān)系，由此即可求得答案.
【詳解】由題意知，故，
則，即，
結(jié)合等比數(shù)列滿足，公比，可知，
由，得，
即得，故，即，
由此可得，
故當(dāng)最小時，，
故選：A
【題型三：等差、等比數(shù)列片段和的性質(zhì)】
一、單選題
1．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）在正項等比數(shù)列中，為其前項和，若，，則的值為（ ）
A．30B．35C．40D．75
【答案】B
【分析】利用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)列式運算即可得解.
【詳解】因為正項等比數(shù)列中，為其前項和，
則也是等比數(shù)列，即，
又，，所以，解得.
故選：B.
2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．8C．9D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)，將分別用表示，代入即可求解.
【詳解】因為所以，則，
由等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)可知，
數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
，即，
所以.
故選：B.
3．（23-24高二下·海南·期末）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．144B．120C．108D．96
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質(zhì)解題即可.
【詳解】記為等差數(shù)列的前項和,則也是等差數(shù)列.
由于，則成等差數(shù)列.
則，解得.
則成等差數(shù)列．故，則.
故選：B.
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則（ ）
A．10B．15C．20D．40
【答案】C
【分析】仍成等差數(shù)列，據(jù)此求解即可.
【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到：仍成等差數(shù)列，
記，
設(shè)，
，
，解得，
所以，
故選：C.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．18B．13C．D．
【答案】D
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知依舊成為等差數(shù)列，據(jù)此求解.
【詳解】由，可設(shè)，
為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，
即成等差數(shù)列，
，
即.
故選：D.
6．（23-24高二下·河南南陽·期中）若正項等比數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，求得，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．
【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為成等比數(shù)列，可得，
又因為，即
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
【題型四：兩個等差數(shù)列的前n項和之比】
一、單選題
1．（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式求解即可.
【詳解】解：因為，即，
所以．
故選：A.
2．（24-25高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)把代數(shù)式等價變形，即可得到，結(jié)合條件即可得到結(jié)果.
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得，，
由得，.
故選：C.
3．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項和分別為，滿足，則（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準確計算，即可求解.
【詳解】因為數(shù)列均為等差數(shù)列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故選：A．
4．（24-25高三上·山東濟南·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和分別為和，且，則（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】分別設(shè)出為和的形式，由此求得，即可化簡后得到結(jié)果.
【詳解】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和分別為和，
當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時，，顯然不合題意；
所以，等比數(shù)列為常數(shù)列，所以可設(shè)，，，
所以可得，故C正確.
故選：C.
5．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列和的前項和的性質(zhì)可得：，，即可得出．
【詳解】由等差數(shù)列前項和公式可設(shè)：
，，，
從而，
，
所以，
故選：C
【題型五：等差、等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特性】
一、單選題
1．（23-24高二下·北京懷柔·期末）若是公比為的等比數(shù)列，其前項和為 ，，則“”是“單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)判斷“”和“單調(diào)遞增”之間的邏輯關(guān)系，即可得答案.
【詳解】由題意可知是公比為的等比數(shù)列，
當(dāng)，時，則，
由于，，且隨n的增大而減小，故單調(diào)遞增，
當(dāng)，時，也單調(diào)遞增，推不出，
故“”是“單調(diào)遞增”的充分而不必要條件，
故選：A
2．（24-25高二上·天津·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項和，且，，則（ ）
A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列B．
C．的最大值為D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式逐項判斷即可.
【詳解】由題意，，，則，故B錯誤；
數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯誤；
由于時，，時，，
所以的最大值為，故C正確；
，故D錯誤.
故選：C.
3．（23-24高二上·天津·期末）若等差數(shù)列的前項和為，則當(dāng)取得最小值時，的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列前項和公式以及通項的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題知，設(shè)等差數(shù)列公差為，
因為，所以，
則由，得，
又，得，
所以，
則當(dāng)取得最小值時，.
故選：C
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．3D．12
【答案】A
【分析】按與兩種情況分類討論，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式進行求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，，不合題意；
當(dāng)時，等比數(shù)列前項和公式，
依題意，得：，解得：.
故選：A
5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列的前項和為，則當(dāng)取得最大值時，的值為（ ）
A．5B．6C．5或6D．6或7
【答案】C
【分析】應(yīng)用等差數(shù)列和的公式計算得出，再結(jié)合基本量運算得出通項，根據(jù)數(shù)列正負值及得出和的最大值.
【詳解】，則，
由于，所以，
則等差數(shù)列是首項為正的單調(diào)遞減數(shù)列，
令，解得，
所以當(dāng)或6時，取得最大值．
故選：C.
【題型六：等差、等比數(shù)列奇偶項的和】
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知一個等比數(shù)列的項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為1012，偶數(shù)項之和為2024，則這個數(shù)列的公比為（ ）
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)運算求解.
【詳解】由題意可知：，
所以．
故選：D.
2．（22-23高二下·河南周口·期中）一個等差數(shù)列共100項，其和為80，奇數(shù)項和為30，則該數(shù)列的公差為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的項的關(guān)系及和的性質(zhì)列式求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由條件可知：
數(shù)列的奇數(shù)項之和為，①
偶數(shù)項之和為，②
由②-①，得，所以，即該數(shù)列的公差為.
故選：D.
3．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列共有項，其和為，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)奇數(shù)項和為,偶數(shù)項和為,再根據(jù)題意利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項和為,偶數(shù)項和為,則，解得，
而奇數(shù)項與偶數(shù)項的項數(shù)相同，所以公比.
故選：B
4．（2023·重慶·二模）已知等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項和公差的方程，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，
則，所以，
因為，即，則，
等差數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項有15項，所以，得，
所以.
故選：B
5．（23-24高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的項數(shù)為其中奇數(shù)項之和為 偶數(shù)項之和為 則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知等差數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，故奇數(shù)項、偶數(shù)項的和直接代入等差數(shù)列的前項和公式，結(jié)合等差中項的性質(zhì)化簡即可.
【詳解】項數(shù)為的中奇數(shù)項共有項,
其和為
項數(shù)為的中偶數(shù)項共有項, 其和為
所以解得
故選: A.
【題型七：等差、等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系】
一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇·期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列（ ）
A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項
【答案】C
【分析】利用的關(guān)系可判定數(shù)列為等差數(shù)列，求出首項，公差再根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性判定選項即可.
【詳解】由知，
顯然時，，所以，
易知，
即數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，
所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，有最小項，無最大項.
故選：C
2．（2023·甘肅金昌·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項和，若，，則下列各選項在正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由遞推關(guān)系求出，根據(jù)與其前項和的關(guān)系可得是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可求解.
【詳解】由，，得,即，解得.
因為，所以，
兩式相減得，即.
又，，所以，
所以是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴，．
故選:D.
二、填空題
3．（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和，則通項公式= ．
【答案】
【分析】根據(jù)，可求出首項，繼而利用時，，求出的表達式，驗證后即可確定答案.
【詳解】因為數(shù)列的前n項和，
故當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，
由于不適合該式，故，
故答案為：
4．（23-24高二下·青海海東·階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，前項和，則實數(shù)的值為 ．
【答案】/
【分析】利用與的關(guān)系求出的通項，可解出的值，再驗證此時數(shù)列是等比數(shù)列即可.
【詳解】，當(dāng)時，，
依題意，也應(yīng)滿足，所以有，得．
此時，，，滿足是等比數(shù)列，所以.
故答案為：
5．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則的通項公式為 .
【答案】
【分析】利用，關(guān)系求數(shù)列通項，注意驗證是否滿足.
【詳解】當(dāng)時，，因為，所以，
當(dāng)時，，
則，即，，
所以是從以首項公比為3的等比數(shù)列，
則，
此時，令，，
所以，
故答案為：.
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前n項和，若，則（ ）
A．45B．90C．180D．240
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式求.
【詳解】由得，，
整理得，即，
所以.
故選：B
2．（24-25高三上·河北張家口·階段練習(xí)）若兩個等差數(shù)列的前項和分別為，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由等差數(shù)列的前項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】因為數(shù)列均為等差數(shù)列，
所以.
故選：A
3．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）在正項等比數(shù)列中，為其前項和，若，則的值為（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】D
【分析】由可求出，再由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)可求出的值.
【詳解】由，得，
因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，
所以，
所以，整理得，,
解得或，
因為等比數(shù)列的各項為正數(shù)，所以，
所以，
故選：D
4．（24-25高三上·河北張家口·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則使的最小的的值為（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷數(shù)列的有關(guān)項的符號，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式求解.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，，
所以數(shù)列為遞減數(shù)列，，且，.
所以即，所以，
.
所以使的最小的的值為19.
故選：C
5．（22-23高二上·陜西西安·階段練習(xí)）等差數(shù)列 共2n+1個項，且奇數(shù)項和為165，偶數(shù)項和為150，則n=（ ）
A．10B．13C．11D．22
【答案】A
【分析】結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得正確答案.
【詳解】等差數(shù)列 共2n+1個項，
其中奇數(shù)項有個，偶數(shù)項有個，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
奇數(shù)項和
①，
偶數(shù)項和
②，
①-②得，
則.
故選：A
二、多選題
6．（24-25高二上·甘肅酒泉·期中）已知是數(shù)列的前n項和，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)作差得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義及通項公式計算可得.
【詳解】因為，當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，則，即，
所以，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，故A錯誤，C、D正確；
又，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故B錯誤；
故選：CD
7．（24-25高二上·福建寧德·階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項和，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．是單調(diào)遞增數(shù)列D．
【答案】BCD
【分析】當(dāng)時，，可得選項A錯誤；代入通項公式可得選項B正確；由可得選項C正確；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求和可得選項D正確.
【詳解】A.當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故，選項A錯誤.
B.由得，，故，選項B正確.
C. ∵，
∴是單調(diào)遞增數(shù)列，選項C正確.
D. 由得，,
故，選項D正確.
故選：BCD.
8．（24-25高三上·遼寧·期中）數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論正確的是( ).
A．B．為等差數(shù)列
C．不可能為常數(shù)列D．若為遞增數(shù)列，則
【答案】ABD
【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項，然后根據(jù)公差和即可判斷結(jié)果.
【詳解】對于A選項：當(dāng)時，，A正確；
對于B選項：當(dāng)時，，
顯然時，上式也成立，所以.
因為，
所以是以2k為公差的等差數(shù)列，B正確：
對于C 選項，由上可知，當(dāng)時，為常數(shù)列，C錯誤；
對于D選項，若為遞增數(shù)列，則公差，即，D正確.
故選：ABD .
9．（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）數(shù)列的前項和為，若，則有（ ）
A．B．為等比數(shù)列
C．D．
【答案】AD
【分析】利用與關(guān)系，推得是等比數(shù)列，進而依次求得和，從而得解.
【詳解】
，即，
又，
是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
，故A正確；
又當(dāng)時，
當(dāng)時，不符合上式，
，故BC錯誤；
當(dāng)時，，故D正確.
故選：AD.
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項的積，且，，則下列選項中成立的是（ ）
A．B．
C．D．與均為的最大值
【答案】ABD
【分析】AB選項，根據(jù)數(shù)列各項均為正，得到，；C選項，由等比數(shù)列的性質(zhì)及，得，，C錯誤；D選項，在ABC基礎(chǔ)上得到，得到D正確.
【詳解】AB選項，由已知數(shù)列各項均為正，因此乘積也為正，公比，
又，，，，B正確；
又，故，即，A正確；
C選項，由得，所以，
而，，因此，C錯誤；
D選項，由上知，
先增后減，與均為的最大值，D正確．
故選：ABD
11．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，最大
B．使得成立的最小自然數(shù)
C．
D．?dāng)?shù)列中最小項為
【答案】ABD
【分析】利用關(guān)系及等差數(shù)列通項公式得判斷A；根據(jù)已知及A項分析得，進而確定的符號判斷C；根據(jù)A、C項分析確定數(shù)列正負分界項，再由等差數(shù)列前n項和確定對應(yīng)n的最小值判斷B；根據(jù)以上分析確定各項符號判斷D.
【詳解】根據(jù)題意：，即，
兩式相加，解得，當(dāng)時，最大，故A正確；
由，可得，所以，
故，
所以，故C錯誤；
由以上可得：，
，而，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.
當(dāng)或時；當(dāng)時；
由，
所以中最小項為，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
12．在前項和為的等差數(shù)列中，，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式，結(jié)合已知條件求即可.
【詳解】由于，故，，兩式相減得到.
而，故.
故答案為：
13．（24-25高二上·湖南永州·期中）在正項數(shù)列中，，且，則 .
【答案】
【分析】先根據(jù)對數(shù)的運算得到等比數(shù)列，再結(jié)合等比中項可求得結(jié)果.
【詳解】，可得，
所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
因為，且，則，所以.
故答案為：.
14．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得成等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得成等差數(shù)列，
所以，
因為，可得，解得，
所以構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，
則，故．
故答案為：.
15．（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）已知等比數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【分析】利用基本量法可求與公比，故可求.
【詳解】設(shè)公比為.
因為，故，解得或者，
若，則且，此時，
若，則且，此時，
故答案為：.
16．（2024高三·全國·專題練習(xí)）各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列基本量的關(guān)系列出方程，用基本不等式或二次函數(shù)性質(zhì)求最值.
【詳解】解法一：因為，所以，
所以，因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
解法二：因為，
所以，所以，
則，
故當(dāng)時，取得最大值64．
解法三：（基本量思想）：設(shè)數(shù)列的公差為，
因為，所以，即，
所以，
當(dāng)時，取得最大值64．
故答案為：
17．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知等比數(shù)列共有2n項，其和為，且，則公比 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)運算求解.
【詳解】設(shè)，
由題意可知：，解得，
所以．
故答案為：2.
18．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，若是數(shù)列的前n項積，當(dāng)取最大值時， .
【答案】6
【分析】先求出的通項公式，當(dāng)時，其前n項積最大，得解.
【詳解】由題意可得，，
，且，
當(dāng)時，最大，即，解得.
故答案為：6.
19．（23-24高二上·上?！て谀┑炔顢?shù)列中，已知，且在前項和中，僅當(dāng)時，最大，則公差的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】首先寫成等差數(shù)列前項和的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對稱軸的范圍，即可求解.
【詳解】為等差數(shù)列，且，
則前項和，是關(guān)于的二次函數(shù)，且，
因為僅當(dāng)時，最大，所以對稱軸在區(qū)間，
即，解得：，
則公差的取值范圍是.
故答案為：
20．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列和都為等差數(shù)列，其前項和分別為和，且滿足，則 ； ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知比例關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列求和公式可設(shè)，再結(jié)合求和公式及等差數(shù)列項的性質(zhì)計算即可.
【詳解】因為，則設(shè)，
所以；
．
故答案為：；.
考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢
重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺
難點強化：難點內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升
提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

相關(guān)試卷

專題08 數(shù)列通項公式的求法-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）：

這是一份專題08 數(shù)列通項公式的求法-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019），文件包含專題08數(shù)列通項公式的求法思維導(dǎo)圖+知識串講+五大題型+過關(guān)檢測原卷版docx、專題08數(shù)列通項公式的求法思維導(dǎo)圖+知識串講+五大題型+過關(guān)檢測解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共32頁， 歡迎下載使用。

專題06 圓錐曲線選填題秒殺技巧-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）：

這是一份專題06 圓錐曲線選填題秒殺技巧-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019），文件包含專題06圓錐曲線選填題秒殺技巧思維導(dǎo)圖+知識串講+八大題型+過關(guān)檢測原卷版docx、專題06圓錐曲線選填題秒殺技巧思維導(dǎo)圖+知識串講+八大題型+過關(guān)檢測解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共45頁， 歡迎下載使用。

專題02 空間向量的應(yīng)用-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）：

這是一份專題02 空間向量的應(yīng)用-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019），文件包含專題02空間向量的應(yīng)用思維導(dǎo)圖+知識串講+九大題型+過關(guān)檢測原卷版docx、專題02空間向量的應(yīng)用思維導(dǎo)圖+知識串講+九大題型+過關(guān)檢測解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共106頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第09講 基本立體圖形-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）

第09講 基本立體圖形-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）
專題05 三角函數(shù)-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）

專題05 三角函數(shù)-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）
專題03 函數(shù)基本性質(zhì)綜合應(yīng)用-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）

專題03 函數(shù)基本性質(zhì)綜合應(yīng)用-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）
專題01 集合與常見邏輯用語-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）

專題01 集合與常見邏輯用語-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
寒假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部