1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算
【分析】利用向量加減法則計(jì)算即得.
【詳解】.
故選：A.
2．已知向量與共線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示即可求解
【詳解】因?yàn)楣簿€，
所以，解得，
所以，
所以.
故選：B
3．已知空間向量和的夾角為，且，，則等于（ ）
A．12B．8C．4D．14
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合定義即可求解.
【詳解】,
故選：D
4．已知向量，，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而代入計(jì)算即可.
【詳解】由，得，則，
所以.
故選：B.
5．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】由正弦定理角化邊，再由余弦定理求，可得角.
【詳解】由，根據(jù)正弦定理有，
所以，有，
根據(jù)余弦定理，有，由，所以．
故選：C.
6．已知平面上，，三點(diǎn)不共線，是不同于，，的任意一點(diǎn)，且，則是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量在幾何中的其他應(yīng)用
【分析】由，可得，即可判斷的形狀.
【詳解】因?yàn)?，即，即?br>所以，所以是等腰三角形.
故選：A.
7．如圖，在梯形中，在線段上，.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、平面向量基本定理的應(yīng)用
【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合平面向量基本定理可得，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可設(shè)，
則，
又因?yàn)?，且，不共線，
可得，解得，即，
所以，即.
故選：D.
8．已知，則的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理得，平方關(guān)系求出，再利用面積公式可得答案.
【詳解】由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>可得.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（多選）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則與的夾角為銳角
【答案】AD
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、向量垂直的坐標(biāo)表示、向量夾角的坐標(biāo)表示
【分析】根據(jù)垂直和平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解AB，根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解C，根據(jù)夾角公式即可求解D.
【詳解】A選項(xiàng)，，，，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，時(shí) ，，，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，當(dāng)x=1時(shí)，由上可知向量不共線，且，
所以，所以為銳角，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
10．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，，則有兩解
C．若，則為銳角三角形
D．若，則為等腰三角形或直角三角形
【答案】ACD
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】利用正、余弦定理對(duì)每項(xiàng)逐一判斷即可得解．
【詳解】對(duì)于A，，則，由正弦定理可得，
，故A正確；
對(duì)于B，由正弦定理，
，此時(shí)無(wú)解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，又且，
，可知，，均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；
對(duì)于D：，，
，，
，或，若，，則，
所以為等腰三角形或直角三角形，故D正確．
故選：ACD．
11．已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則
C．若，，則面積最大值為3
D．，角B的平分線BD交AC邊于D，且，則的最小值為12
【答案】BCD
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)正弦定理和二倍角公式即可判斷AB；對(duì)C，利用余弦定理和二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對(duì)D，根據(jù)三角形面積公式和乘“1”法即可判斷.
【詳解】對(duì)于A：若，根據(jù)正弦定理則，
即，因?yàn)?，所以?br>即或，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，因?yàn)?，則，，
則根據(jù)正弦定理有， 故B正確；
對(duì)C，設(shè)，.
則，
，
所以
，
當(dāng)時(shí)，三角形的面積取得最大值，故C正確；
對(duì)D，由題意可知，，
由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，
化簡(jiǎn)得，即，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，則D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知，，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、利用向量垂直求參數(shù)、向量垂直的坐標(biāo)表示
【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解即可.
【詳解】向量，，則，，
由向量與垂直，得，所以.
故答案為：
13．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，，，則 .
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】先由二倍角公式和余弦定理得，從而解得.
【詳解】根據(jù)題意，，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理，，
即解得或（舍），
所以.
故答案為：2
14．在平行四邊形中，，，點(diǎn)在邊上，滿足，若，點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出的長(zhǎng)，由此得到的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出向量，，求得的表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)得出最小值.
【詳解】若，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，所以，
∵，，∴，
∵，∴
所以，，
所以，是關(guān)于的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
15．已知向量在同一平面上，且.
(1)若，且，求向量的坐標(biāo)；
(2)若，且與垂直，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)或
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、利用向量垂直求參數(shù)、向量模的坐標(biāo)表示
【分析】（1）設(shè)，利用平面向量的模長(zhǎng)公式可求得實(shí)數(shù)的值，即可得出向量的坐標(biāo)；
（2）求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）因?yàn)?，設(shè)，其中，
則，解得，
因此，或.
（2）因?yàn)?，則，
，
因?yàn)椋瑒t，
解得.
16．已知平面向量，且.
(1)求與的夾角的值；
(2)當(dāng)取得最小值時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算、已知數(shù)量積求模
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件得到，然后利用數(shù)量積的定義求夾角；
（2）將表示為的函數(shù)，然后求該函數(shù)的最小值.
【詳解】（1）由，可得，
又，所以，又，所以；
（2）因?yàn)椋?br>所以.
所以的最小值為，且取到最小值時(shí).
17．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知的周長(zhǎng)為．
(1)求；
(2)若的平分線交于點(diǎn)，且，求的邊上的高．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）依題意可得，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；
（2）利用三角形面積之間的關(guān)系得到與的關(guān)系，即可求出的值，即可求出，再由等面積法計(jì)算可得.
【詳解】（1）由題意可知，，
由正弦定理可知，，
即，
整理得，．
由余弦定理可知，．
又，故．
（2）由，得，
所以，
又，所以，
由，且，得，
解得或（舍去），
所以．
設(shè)的邊上的高為，則，解得．
故的邊上的高為．
18．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且
(1)求；
(2)若，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和差公式求解即可；
（2）利用正弦定理結(jié)合兩角和差公式求解即可.
【詳解】（1）在中，，
由正弦定理得，
，
，
且，
即.
（2）且，
.
由正弦定理得，
的周長(zhǎng)為.
19．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量.作：，當(dāng)不共線時(shí)，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為當(dāng)共線時(shí)，規(guī)定．
(1)分別根據(jù)下列已知條件求；
①；
②；
(2)若向量，求證：；
(3)記，且滿足，求的最大值.
【答案】(1)5；0
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
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【分析】（1）由題意，根據(jù)新定義即可求解；
（2）由新定義可證得，，即可證明；
（3）設(shè)，并表示出，由新定義和三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，，且?br>所以；
又，，所以；
（2）因?yàn)橄蛄?，且向量?br>則，
所以，
同理，
所以；
（3）設(shè)為銳角時(shí)，由，得或，
當(dāng)為銳角，為銳角時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取到最大值；
當(dāng)為鈍角時(shí)，由，得，
當(dāng)為鈍角，，
，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，
所以取得最大值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

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