一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．“”，是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
3．若，，且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．已知，則下列不等關(guān)系中不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
6．已知為第一象限角，且，則（ ）
A．9B．3C．D．
7．已知函數(shù)，，函數(shù)，若為偶函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．武漢外校國慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（ ）種
A．114B．120C．126D．132
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列關(guān)于概率統(tǒng)計的知識，其中說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位數(shù)是1
B．已知隨機變量，若，，則
C．若一組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，n）的對應(yīng)樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為
D．若事件M，N的概率滿足，且，則M與N相互獨立
10．已知函數(shù)在上有且僅有4個零點，則（ ）
A．
B．令，存在，使得為偶函數(shù)
C．函數(shù)在上可能有3個或4個極值點
D．函數(shù)在上單調(diào)遞增
11．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時，直線是曲線的切線
B．若有三個不同的零點，則
C．存在，使得為曲線的對稱軸
D．當(dāng)時，在處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個交點
三、填空題（本大題共3小題）
12．的展開式中的常數(shù)項為 .（用數(shù)字作答）
13．已知函數(shù)，m為正的常數(shù)，則的零點之和為 ．
14．?dāng)S一個質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)不小于3得2分，向上的點數(shù)小于3得1分，反復(fù)擲這個骰子，（1）恰好得3分的概率為 ；（2）恰好得n分的概率為 ．（用與n有關(guān)的式子作答）
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的面積為，且滿足,設(shè)和的夾角為，
(1)求的取值范圍；
(2)求函數(shù)的值域．
16．已知數(shù)列的前項和滿足.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
17．已知橢圓的離心率為，其左，右焦點分別為，，點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且，，其中O為坐標(biāo)原點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點，且斜率為的動直線l交橢圓于A，B兩點，求弦AB的垂直平分線在軸上截距的最大值.
18．駕駛員考試（機動車駕駛員考試）是由公安局車管所舉辦的資格考試，只有通過駕駛員考試才能取得駕照，才能合法的駕駛機動車輛．考試內(nèi)容和合格標(biāo)準(zhǔn)全國統(tǒng)一，根據(jù)不同準(zhǔn)駕車型規(guī)定相應(yīng)的考試項目．機動車駕駛?cè)丝荚噧?nèi)容分為道路交通安全法律、法規(guī)和相關(guān)知識考武科目（以下簡稱“科目一”）、場地駕駛技能考試科目（以下簡稱“科目二”）、道路駕駛技能和安全文明駕駛常識考試科目（以下簡稱“科目三”）．申請人科目一、科目二、科目三考試均合格后，就可以領(lǐng)取駕駛證．某駕校經(jīng)統(tǒng)計，駕駛員科目一考試平均通過的概率為，科目二：平均通過的概率為，科目三平均通過的概率為．該駕校王教練手下有4名學(xué)員參加駕駛員考試．
(1)記這4名學(xué)員參加駕駛員考試，通過考試并領(lǐng)取駕駛證的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差；
(2)根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)員在學(xué)完固定的學(xué)時后，每增加一天學(xué)習(xí)，沒有通過考試拿到駕駛證的概率會降為原來的0.4，請問這4名學(xué)員至少要增加多少天的學(xué)習(xí)，才能保證這4名學(xué)員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證?（我們把概率超過0.99的事件稱為必然事件，認(rèn)為在一次試驗中必然事件一定會發(fā)生）
參考數(shù)據(jù)：，
19．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)已知有兩個極值點.
(i)求的取值范圍；
(ii)若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】由，可得，所以，
所以.
故選：B
2．【正確答案】A
【詳解】若，則，因此，
當(dāng)，時，，
所以“”，是“”的充分不必要條件.
故選：A
3．【正確答案】B
【詳解】因為，所以，
由于，所以，
由于，所以.
故選：B
4．【正確答案】C
【詳解】都是銳角，則，
，A正確；
，B正確；
時，，
，，，C錯誤；
，D正確．
故選：C．
5．【正確答案】A
【詳解】因為，所以，即，又，即，
又，所以，所以；
因為，所以，所以，所以
所以.
故選：A.
6．【正確答案】B
【詳解】由題意知為第一象限角，且，
故，解得或（舍去），
則，
故選：B
7．【正確答案】D
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，可的圖象關(guān)于對稱，所以，
由，可得，
即，所以函數(shù)關(guān)于對稱，
又因為，所以是定義在上的偶函數(shù)，
所以，
所以，即，
所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
所以，
則.
故選：D.
8．【正確答案】A
【詳解】因為有三位老師值班7天，且每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，
所以必有一人值班3天，另兩人各值班2天.
第一類：值班3天在、、、、、時，共有種不同的值班方法；
第二類：值班3天在、時，共有種不同的值班方法；
第三類：值班3天在時，共有種不同的值班方法；
第四類：值班3天在時，共有種不同的值班方法；
綜上可知三位老師在國慶節(jié)7天假期共有種不同的值班方法.
故選：A
9．【正確答案】ABD
【詳解】對于選項A，8個數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，
所以第25百分位數(shù)應(yīng)該是第二個與第三個的平均數(shù)，故A正確；
對于選項B，因為，，，
所以，解得，故B正確；
對于選項C，因為樣本點都在直線上，說明是負(fù)相關(guān)且線性相關(guān)性很強，
所以相關(guān)系數(shù)為，故C錯誤.
對于選項D，由，可得，
即，即，所以M與N相互獨立，故D正確；
故選：ABD.
10．【正確答案】ABD
【詳解】
對于A， ，， 因為在上有且僅有4個零點，
所以，解得，∴，故A正確；
對于B，，
為偶函數(shù)，則，即，
∵∴取，為偶函數(shù),滿足題意，故B正確；
對于C，x∈0,π，，
∵，，
∴函數(shù)在上可能有4個或5個極值點， 故C不正確；
對于D，若，則，
∵，∴，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增. 故D正確；
故選：ABD.
11．【正確答案】ABD
【詳解】A選項，當(dāng)時，，
令解得，且，
此時在處的切線方程為，即，正確.
B選項，，
要使有三個零點，則，
若有三個不同的零點，
則
，
通過對比系數(shù)可得，正確.
C選項，若存在，使得為曲線的對稱軸，
則，即，
即，
即，此方程不恒為零，
所以不存在符合題意的，使得為曲線的對稱軸，錯誤.
D選項，當(dāng)時，，
則，
所以在處的切線方程為，
，
由，
消去得①，
由于，
，
所以①可化為，
提公因式得，
化簡得，
進一步因式分解得，解得，
由于，所以，
所以，所以，
所以當(dāng)時，在處的切線與函數(shù)y=fx的圖象有且僅有兩個交點，正確.
故選：ABD
12．【正確答案】50
【詳解】因為，考慮中的常數(shù)項與項.由通項公式，即，故當(dāng)時，中的常數(shù)項為，當(dāng)時，中的項系數(shù)為，故的展開式中的常數(shù)項為
故
13．【正確答案】
【詳解】函數(shù)的定義域為，
由，得，令函數(shù)，
，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，

直線與函數(shù)的圖象有4個交點，令其橫坐標(biāo)從左到右依次為，
觀察圖象得，所以的零點之和為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】（1）擲一個質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)不小于3的概率,
擲一個質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)小于3的概率.
因為一次得2分，另一次得1分或三次得1分時恰好得3分，
所以恰好得3分的概率等于.
（2）令表示“恰好得n分”的概率，不出現(xiàn)分的唯一情況是得到分以后再擲出一次不小于3的情況，
因為“不出現(xiàn)分”的概率是，所以“恰好得到分”的概率是.
因為“擲一次得2分”的概率是，所以有，
即，則構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，即，則，，
所以，
又，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
即，.
故恰好得n分的概率為.
故（1）；（2）.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題，
可得，
又，
所以，
得到或，
因為，
所以.
（2）
，
因為，
故，
故可得.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，.
當(dāng)時，由，得，
則.
因為，所以.
（2）方法一：由（1）可得.
則，①
則，②
①-②，得
，
從而.
方法二：由（1）可得，令，則
令，且，
則，
整理得，
則解得
故.
.
17．【正確答案】（1）（2）
【詳解】(1)由題知,,
設(shè),又,
,
,
,從而,,
故橢圓C的方程為;
(2)設(shè)直線l的方程為,,,
聯(lián)立方程:,消去y得:,
顯然,
又,,
,
則AB的中點坐標(biāo)為,
當(dāng)AB的斜率k為零時,AB的垂直平分線為y軸,橫截距為0;
當(dāng)時,AB垂直平分線的方程為:,
令,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,那么,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,
所以當(dāng)時,弦AB的垂直平分線在x軸上的截距有最大值,為.
18．【正確答案】(1)分布列見解析，，
(2)6
【分析】（1）根據(jù)題意可知，分步計算即可；
（2）增加k（k為正整數(shù)）天學(xué)習(xí)后，每位學(xué)員通過考試拿到駕駛證的概率為，若這4名學(xué)員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證，有，利用用對數(shù)運算求解不等式.
【詳解】（1）1名學(xué)員通過考試并領(lǐng)取駕駛證的概率為，根據(jù)題意可知，
X的取值分別為0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
故X的分布列為：
，；
（2）增加k（k為正整數(shù)）天學(xué)習(xí)后，
每位學(xué)員通過考試拿到駕駛證的概率為，
若這4名學(xué)員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證，有，
有，有，有，
又由
．
可得，
故這4名學(xué)員至少要增加6天的學(xué)習(xí)，才能保證這4名學(xué)員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證．
19．【正確答案】(1)
(2)（ = 1 \* rman i）；（ = 2 \* rman ii）
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）(i)分析可知原題意等價于有兩個不同的正實數(shù)根，結(jié)合基本不等式分析求解；(ii)設(shè)有兩個不同的正實數(shù)根，根據(jù)單調(diào)性可知的極值點，結(jié)合零點代換可得，構(gòu)建，結(jié)合單調(diào)性分析可得，則，即可得取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，則，，
可得，，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）(i)由題意可知：的定義域為，，
令，可得，原題意等價于有兩個不同的正實數(shù)根，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
可知，所以的取值范圍；
(ii)由（i）可知：有兩個不同的正實數(shù)根，，
不妨設(shè)，可知，
當(dāng)時，；當(dāng)或時，；
可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以為的極小值點，為的極大值點，
對于的極值點，則，
可得，
設(shè)，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，可知，則，
又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以的極大值的取值范圍是.X
0
1
2
3
4
P

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