一、單選題（本大題共8小題）
1．若復(fù)數(shù)滿足，則可以為（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則等于（ ）
A．2B．4050C．D．
4．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．20B．25C．30D．35
5．若為銳角，已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)為，則（ ）
A．0B．C．2025D．4050
7．已知圓，直線，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.若使得四邊形為正方形的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．或B．或5C．3或D．3或5
8．已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，分別為的內(nèi)切圓圓心，則的周長是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．關(guān)于直線對稱
D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象
10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．若直線的斜率為1，則
D．面積的最小值為
11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．在上是增函數(shù)
B．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，則
C．若，不等式恒成立，則的取值范圍為
D．若，且，則的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù) .
13．點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
14．若數(shù)列滿足對任意都有，則稱數(shù)列為上的“凹數(shù)列”.已知，若數(shù)列為上的“凹數(shù)列”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．記的內(nèi)角的對邊分別為.已知為邊的中點(diǎn)，且.
(1)求證：；
(2)若，求的面積.
16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)若，求；
(2)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求首項(xiàng)的取值范圍.
17．某校高三年級(jí)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，各位同學(xué)的成績，現(xiàn)規(guī)定：成績在的同學(xué)為“成績頂尖”，在的同學(xué)為“成績優(yōu)秀”，低于90分的同學(xué)為“不及格”.
(1)已知高三年級(jí)共有2000名同學(xué)，分別求“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)（小數(shù)按四舍五入取整處理）；
(2)現(xiàn)在要從“成績頂尖”的甲乙同學(xué)和“成績優(yōu)秀”的丙丁戊己共6位同學(xué)中隨機(jī)選4人作為代表交流學(xué)習(xí)心得，在已知至少有一名“成績頂尖”同學(xué)入選的條件下，求同學(xué)丙入選的概率：
(3)為了了解班級(jí)情況，現(xiàn)從某班隨機(jī)抽取一名同學(xué)詢問成績，得知該同學(xué)為142分.請問：能否判斷該班成績明顯優(yōu)于或者差于年級(jí)整體情況，并說明理由.
（參考數(shù)據(jù)：若，則，）
18．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0，其左頂點(diǎn)A?2,0，離心率.
(1)求雙曲線方程及漸近線方程；
(2)過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，與漸近線分別交于點(diǎn)，直線分別與直線交于.
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：以為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).
19．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足.求證：的前項(xiàng)和滿足.
答案
1．【正確答案】A
【分析】借助復(fù)數(shù)的性質(zhì)設(shè)，結(jié)合題意計(jì)算即可得.
【詳解】設(shè)，，則，故有，
即有，選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)符合要求，故A正確，
B、C、D選項(xiàng)不符合要求，故B、C、D錯(cuò)誤.
故選A.
2．【正確答案】B
【詳解】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，
可得，解得且，
因?yàn)槭堑恼孀蛹?br>所以“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.
故選：B.
3．【正確答案】A
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，得，
即，解得，
所以.
故選：A.
4．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即取等號(hào)，
故最小值為25，
故選：B
5．【正確答案】D
【詳解】由為銳角，則，，
由，解得，，
所以.
故選：D.
6．【正確答案】C
【詳解】由，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
因，則
，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
又函數(shù)的定義域?yàn)榍液偷慕稽c(diǎn)有奇數(shù)個(gè)，故是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，即，
另外2024個(gè)交點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對稱，即，
故.
故選：C.
7．【正確答案】C
【詳解】由可知圓心C0,1，半徑為2，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，且邊長為圓的半徑2，所以，
所以直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，即，
所以圓心到直線的距離為，
所以，解得或．
故選：C.
8．【正確答案】A
【詳解】由橢圓，知，所以.
所以，所以過作垂直于軸的直線為，
可得，
由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，
的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸，垂足為.
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，在中，
由等面積法得，，
由橢圓的定義可知，，由，
所以，解得，
在中，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以一定在上，即軸上，
令圓半徑為，
在中，由等面積法得，，
由橢圓的定義可知，，
所以，解得，
所以，
所以，
所以的周長是.
故選：A.
9．【正確答案】ACD
【詳解】對于AB，由題意知，，
所以，，
又，即，所以；
即，又因?yàn)?，所以?br>故，所以A正確，B錯(cuò)誤；
對于C，令,則，
存在著當(dāng)時(shí)，使其對稱軸為，故C正確；
對于D，將圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后得到，故D正確；
故選：ACD.
10．【正確答案】BC
【詳解】對于A，易知拋物線即為，所以焦點(diǎn)，
由題意可知過點(diǎn)的直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，整理可得，，
由韋達(dá)定理可得，即A錯(cuò)誤；
對于B，由焦半徑公式可得，
因此
，即B正確；
對于C，若直線的斜率為1，即，
則，可得C正確；
對于D，易知，點(diǎn)到直線的距離為，
所以的面積為，
當(dāng)時(shí)，面積的最小值為，即D錯(cuò)誤.
故選：BC
11．【正確答案】BCD
【詳解】因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，f′x>0；當(dāng)時(shí)，f′x0；當(dāng)時(shí)，?′x>0；
可知?x在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且.
可得，所以的取值范圍為，故C正確；
對于選項(xiàng)D：若，且，
由圖象可知：，
則，即，可得，
且，即，可得，
又因?yàn)椋?br>且，在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
則，
構(gòu)建，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
所以的最大值為，故D正確；
故選：BCD.
12．【正確答案】?2
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，
所以，且且
所以.
故答案為.
13．【正確答案】/
【詳解】設(shè)，則，整理得到，
設(shè)該圓的圓心為，則，半徑為，
而，圓的半徑為，，
故圓與圓相離，故的最小值為，
當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)且在之間時(shí)取最小值.
而的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在之間時(shí)取最小值，
故的最小值為，
故
14．【正確答案】
【詳解】若數(shù)列為上的“凹數(shù)列”，則，即，
可得，
整理可得，即，
因?yàn)?，令，可得?br>當(dāng)時(shí)，，可得，
原題意等價(jià)于對任意恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，
可知的最大值為，
可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
15．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：由，得
即，
因?yàn)椋?br>由正弦定理得，，
則，即.
（2）在中，由余弦定理得，①
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
則，
即，
即，②
聯(lián)立①②，得，解得，
所以，
所以的面積為.

16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，則，
可得，
若，則，
可知是以首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
則，所以.
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則，
兩式相減可得，則，
若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，解得，
且，解得，
綜上所述：首項(xiàng)的取值范圍為.
17．【正確答案】(1)“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)分別為人、人
(2)
(3)班級(jí)成績由于年級(jí)成績
【詳解】（1）由已知，
“成績優(yōu)秀”的概率為：
.
“不及格”的概率為：
，
所以“成績優(yōu)秀”的人數(shù)為人，
“不及格”的人數(shù)為人.
（2）設(shè)事件：至少一名“成績頂尖”同學(xué)入選，事件：丙入選，
則，
（3）由條件知年級(jí)中，
而在該班隨機(jī)抽查中，同學(xué)成績在一次隨機(jī)事件中就發(fā)生了，
這說明班級(jí)成績由于年級(jí)成績.
18．【正確答案】(1)；
(2)（i）;（ii）證明見解析;定點(diǎn)為.
【詳解】（1）依題意，，則得，
則雙曲線方程為，其漸近線方程為：，即；
（2）
（i）顯然當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不能為0，故可設(shè)其方程為為，
代入雙曲線方程，消元整理得：，
則由,解得.
設(shè)點(diǎn)，則，
于是，，
又由解得，即圖中；
由解得，即圖中.
則，
于是，
因，則，
即的取值范圍為；
（ii）因，則直線方程為：，令，則得，即；
同理直線方程為：,令，則得,即.
根據(jù)圖象的對稱性可知以為直徑的圓必經(jīng)過軸上的一定點(diǎn)，設(shè)為，
則,代入坐標(biāo)，可得（*），
因，
，
則，
代入（*），可得，解得或.
即以為直徑的圓過定點(diǎn)和.
19．【正確答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）由，，
則，
當(dāng)時(shí)，，令，得，
所以函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，即，
由于，設(shè)方程的兩根為，
則，所以，
所以函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，即，
當(dāng)，即時(shí)，設(shè)方程的兩根為，
則，，
所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，方程無解，
所以函數(shù)無極值點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn).
（2）當(dāng)時(shí)，，，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
由，可得，
所以，則，，
可得，所以.
設(shè)，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，則，
所以
，
所以，
則，
所以，
則.
綜上所述，.

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