1. 一質(zhì)點(diǎn)A沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其位移單位：與時(shí)間單位：之間的關(guān)系為，則質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)的瞬時(shí)速度為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入計(jì)算可得答案．
【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，
即質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)的瞬時(shí)速度為.
故選：C
2. 已知命題p：，，命題q：，，則（ ）
A. p和q都是真命題B. 和q都是真命題
C. p和都是真命題D. 和都是真命題
【正確答案】B
【分析】先判斷出命題，的真假，再結(jié)合命題的否定的概念可得結(jié)論．
【詳解】對(duì)于p而言，，故p是假命題，是真命題.
對(duì)于q而言，，，故q是真命題，是假命題.
綜上，和q都是真命題.
故選：B.
3. 已知直線(xiàn)與，若，則，之間的距離是（ ）
A B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用兩直線(xiàn)平行可得，即可根據(jù)平行線(xiàn)間距離公式求解.
【詳解】由于，故，解得，
故與，
故兩直線(xiàn)間距離為，
故選：C
4. 若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，然后計(jì)算求解即可．
【詳解】若1，a1，a2，4成等差數(shù)列，4＝1+3d，d＝1，
∴a1﹣a2＝﹣1．
又1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同）．
∴
故答案為A．
本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題，對(duì)于等比等差數(shù)列的 小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項(xiàng)和公比或者公差，其二是觀察各項(xiàng)間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).
5. 現(xiàn)從環(huán)保公益演講團(tuán)的6名教師中選出3名，分別到三所學(xué)校參加公益演講活動(dòng)，則甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的概率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】結(jié)合排列組合知識(shí)，以及古典概型概率公式即可求得解
【詳解】6名教師選出3人分別到三所學(xué)校的方法共有種.
甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的：
第一種情況：若丙去校，有種選法；
第二種情況，若丙不去校，則校有種選法，校有種選法，校有種選法，
共有種，
所以一共有種.
所以由古典概型可得，所求概率.
故選：D.
6. 已知銳角，角的對(duì)邊分別，且，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此求得的值，進(jìn)而求得B的大小.再利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)知，，
由正弦定理得，
即,
又，所以，所以，得，所以，
又，
即，又銳角，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范圍是.
故選：A
7. 已知是直線(xiàn)上一點(diǎn)，M，N分別是圓和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【正確答案】D
【分析】先由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，然后判斷兩圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系，求出圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)且經(jīng)過(guò)兩圓圓心時(shí)，取最小值，求解即可．
【詳解】圓，則圓心，
圓，則圓心，
兩圓心在直線(xiàn)的同側(cè).又圓心到直線(xiàn)的距離，
圓心到直線(xiàn)l的距離，
則兩圓在直線(xiàn)l的同側(cè)且與直線(xiàn)相離，如圖所示，設(shè)圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立；即的最小值為．
故選：D.
8. 北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球……依此類(lèi)推，最底層有 個(gè)小球，共有層，由“隙積術(shù)”可得 這 些 小 球 的 總 個(gè) 數(shù) 為 若由小球堆成的某個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積共8層，小球總個(gè)數(shù)為240，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】轉(zhuǎn)化題給條件為，再由皆為正整數(shù)分類(lèi)討論即可求解.
【詳解】由題意知，，于是得最底層小球的數(shù)量為，即，.
從而有，
整理得，
，
，
，，
由于皆為正整數(shù)，所以
（i）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
（iii）當(dāng)時(shí)，，
（iv）當(dāng)時(shí)，
只有符合題意，即的值為2.
故選：B.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查新文化背景下的數(shù)列問(wèn)題，確定是解決本題的關(guān)鍵.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的的6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列對(duì)二項(xiàng)式展開(kāi)式的說(shuō)法正確的是：（ ）.
A. 第3項(xiàng)的系數(shù)為40B. 第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10C. 不含常數(shù)項(xiàng)D. 系數(shù)和為32
【正確答案】BC
【分析】寫(xiě)成展開(kāi)式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)判斷A、B、C；令判斷D.
【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，
所以第3項(xiàng)的系數(shù)為，故A錯(cuò)誤；
第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故B正確；
令，解得，又，所以展開(kāi)式不含常數(shù)項(xiàng)，故C正確；
令可得系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 數(shù)列是遞增數(shù)列B.
C. 使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0D. 的最小值為
【正確答案】ACD
【分析】化簡(jiǎn)已知等式由函數(shù)的單調(diào)性可得A正確；取反例結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得B錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)已知等式可得C正確；結(jié)合等差數(shù)列的求和公式判斷為遞增數(shù)列，再討論的取值可得D正確；
【詳解】對(duì)于A，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；
對(duì)于B，若，
則，，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由可知無(wú)整數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列，且前n項(xiàng)和分別為和，
所以，
所以遞增，
所以最小值為時(shí)，為，故D正確；
故選：ACD.
11. 純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng)，產(chǎn)生頻率為的基音的同時(shí)，其各部分，如二分之一?三分之一?四分之一部分也在振動(dòng)，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù)，如等.這些音叫諧音，因?yàn)槠湔穹^小，我們一般不易單獨(dú)聽(tīng)出來(lái)，所以我們聽(tīng)到的聲音函數(shù)是.記，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 為的一條對(duì)稱(chēng)軸B. 的最小正周期為
C. 的最大值為D. 關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)可判斷選項(xiàng)B；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的方法及三角恒等變換即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，
則不為的一條對(duì)稱(chēng)軸，故選項(xiàng)A不正確；
因?yàn)椋?br>所以，
則的周期為，而的最小正周期為2π，故的最小正周期為2π，
故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)?br>所以
又因?yàn)?br>所以的周期為.
故只考慮函數(shù)在上的最大值即可.
令，得：或或或；
令，得：或者或；
所以函數(shù)在，，和上單調(diào)遞增；在，和上單調(diào)遞減.
又因?yàn)?，，?br>所以的最大值為，故選項(xiàng)C正確；
因?yàn)椋?br>所以，
則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD
三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比q的值是__________．
【正確答案】2
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義與性質(zhì)求解.
【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，聯(lián)立，解得或，
因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，即．
故2
13. 已知，為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_________．
【正確答案】
【分析】構(gòu)造代數(shù)式，利用基本不等式即可得到最小值.
【詳解】，
∵，且，為正實(shí)數(shù)，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取“=”，
∴，則.
故
14. 定義一種運(yùn)算，若函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是__________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)新定義，求得，根據(jù)不等式成立，化簡(jiǎn)得到即，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，即可求解.
【詳解】根據(jù)定義的一種運(yùn)算，
可得，
又由，即，
即
設(shè)，可得函數(shù)為單調(diào)的遞減函數(shù)，
且，所以，可得，
即，解得，
又由，解得，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案.
本題考查了函數(shù)的新定義的計(jì)算與應(yīng)用，其中解答中涉及到指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若在中，，求面積的最大值．
【正確答案】（1）；（2）．
【分析】（1）首先化簡(jiǎn)的表達(dá)式成為的形式，從而求出單調(diào)增區(qū)間；
（2）通過(guò)面積公式把變量統(tǒng)一到上，然后通過(guò)二次函數(shù)的知識(shí)求出答案即可．
【詳解】（1）
由可得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）
因?yàn)?br>所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
16. 已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【正確答案】（1），
（2），
【分析】（1）由等差等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系建立等式，求得公比和公差的值，從而寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（2）等差等比數(shù)列乘除得到的新數(shù)列利用錯(cuò)位相減即可得到新數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.
由，，可得，所以
由，，又，可得，解得，
從而的通項(xiàng)公式為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.因?yàn)椋?br>所以，
，
兩式相減得，
，
即，
17. 某人工智能研究實(shí)驗(yàn)室開(kāi)發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人，它能夠通過(guò)學(xué)習(xí)和理解人類(lèi)的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話(huà)．聊天機(jī)器人的開(kāi)發(fā)主要采用（人類(lèi)反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測(cè)試它時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則它的回答被采納的概率為80%，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，它的回答被采納的概率為40%．
（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問(wèn)題，聊天機(jī)器人的回答有5個(gè)被采納，現(xiàn)從這8個(gè)問(wèn)題中抽取4個(gè)，以X表示抽取的問(wèn)題中回答被采納的問(wèn)題個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為p，若聊天機(jī)器人的回答被采納的概率為70%，求p的值．
【正確答案】（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
（2）
【分析】（1）由題知X的所有取值為1，2，3，4，求出對(duì)應(yīng)的概率，可得其分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）利用全概率公式表示出回答被采納的概率，結(jié)合條件代入可得關(guān)于的方程，解方程即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題可知X的所有取值為1，2，3，4，
，
，
，
，
故X的分布列為：
則．
【小問(wèn)2詳解】
記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，記“輸入的問(wèn)題有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件B，記“回答被采納”為事件C，
由已知得，，，，PB=p，PA=1?p，
所以由全概率公式得，
解得．
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求Fx在處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求單調(diào)區(qū)間；
（3）若曲線(xiàn)y=fx與直線(xiàn)有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為
（3）
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)Fx的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線(xiàn)的方程；
（2）求導(dǎo)后，根據(jù)f′x的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可作出Fx的圖象，進(jìn)而得到，結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，其中，，
則，所以，，，
所以，F(xiàn)x在處的切線(xiàn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，
且，由f′x0，可得，解得.
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
【小問(wèn)3詳解】
解：由題意知：且，
與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
方程有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，即方程有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，
即方程有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，則Fx定義域?yàn)?,+∞，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可得Fx大致圖象如下圖所示，
令，則，
有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要條件為，
即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題根據(jù)曲線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而采用同構(gòu)的邏輯，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式進(jìn)一步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)不同函數(shù)值大小關(guān)系的比較問(wèn)題.
19. 已知半圓，圓，作圓與半圓，圓，軸均相切，點(diǎn)，且．
（1）求的周長(zhǎng)；
（2）證明：為等比數(shù)列；
（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)．
【正確答案】（1）2 （2）證明見(jiàn)解析
（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)的定義以及相切的性質(zhì)即可求解；
（2）由題意得遞推表達(dá)式，進(jìn)一步根據(jù)等比數(shù)列的定義驗(yàn)算即可證明；
（3）由分析可知只需證明即可，而可以用基本不等式證明當(dāng)時(shí)，，累加即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閳A，圓與軸均相切，且圓的圓心坐標(biāo)為，
所以圓的半徑為，圓的半徑為．
又圓，圓均與半圓相內(nèi)切，圓與圓相外切，
所以，，．
所以的周長(zhǎng)為：．
【小問(wèn)2詳解】
依題意，有，，，
得即
消去得，
整理，得，
兩邊同時(shí)減去，得．
依題意，易得，所以，即．
所以．
所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為．
【小問(wèn)3詳解】
由（2）得，．
令，則當(dāng)時(shí)，．
要證，即證，
即證．
當(dāng)時(shí)，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）
．
所以，
得證．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵在于得到只需證明即可，進(jìn)一步只需證明當(dāng)時(shí)，即可，由此即可順利得解.
X
1
2
3
4
P

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2024-2025學(xué)年重慶市開(kāi)州開(kāi)區(qū)高三上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市開(kāi)州開(kāi)區(qū)高三上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）
2024-2025學(xué)年重慶市涪陵區(qū)高三上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

2024-2025學(xué)年重慶市涪陵區(qū)高三上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
2024-2025學(xué)年重慶市高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）
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