一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，．若，則（ ）
A．1B．C．12D．
4．已知，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．已知圓錐PO的底面半徑為，軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)（且）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，若為偶函數(shù)；且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，則的值是（ ）
A．2B．3C．5D．8
8．是定義在上的函數(shù)，，且對任意，滿足，，則（ ）
A．2015B．2016C．2017D．2018
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．有三個零點B．是的極小值點
C．的圖象關(guān)于點對稱D．當時，
10．李明每天7：00從家里出發(fā)去學校，有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明計劃7：34前到校，應選擇坐公交車
D．李明計劃7：40前到校，應選擇騎自行車
11．已知中，，，E，F(xiàn)分別在線段BA，CA上，且，．現(xiàn)將沿EF折起，使二面角的大小為．以下命題正確的是（ ）
A．若，，則點到平面的距離為
B．存在使得四棱錐有外接球
C．若，則棱錐體積的最大值為
D．若，三棱錐的外接球的半徑取得最小值時，
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則 ．
13．如下圖，用4種不同顏色標注地圖中的6個區(qū)域，相鄰省顏色不同，有 種不同的涂色方式.
14．已知正數(shù)滿足，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上有且僅有個零點，求的取值范圍.
16．如圖，在三棱柱中，為正三角形，四邊形為菱形.
(1)求證：平面；
(2)若，且為的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.
17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足
(1)設(shè)，，過B作BD垂直AC于點D，點E為線段BD的中點，求的值；
(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍．
18．已知M為圓上一個動點，垂直x軸，垂足為N，O為坐標原點，的重心為G.
(1)求點G的軌跡方程；
(2)記（1）中的軌跡為曲線C，直線與曲線C相交于A，B兩點，點，若點恰好是的垂心，求直線的方程.
19．龍泉游泳館為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務，顧客可選擇A和B兩個套餐之一，并在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是該游泳館在App平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．
經(jīng)計算可得.
(1)因為優(yōu)惠券購買火爆，App平臺在第10天時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導致當天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，已知銷售量y和日期t呈線性關(guān)系，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程結(jié)果中的數(shù)值用分數(shù)表示；
(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐可以用一張優(yōu)惠券，B套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為，求；
(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列.
①求的最值；
②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時，，（是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．
參考公式.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】，∴．
故選：B．
2．【正確答案】D
【詳解】由得：，即，
所以.
故選：D
3．【正確答案】C
【分析】解法一：由的坐標，求得的坐標，利用向量垂直的坐標表示式列出方程求解即得；解法二：先由化簡，再代入的坐標計算即得.
【詳解】解法一：由，，得．
由，得，即，解得．
解法二：由，得，即，
將代入，得，解得．
故選C．
4．【正確答案】C
【詳解】因為，，
所以，解得，
所以，
故選：C
5．【正確答案】B
【詳解】軸截面為等腰三角形，底邊長為，設(shè)圓錐的高為，
則，解得，
故圓錐的體積為.
故選：B
6．【正確答案】C
【詳解】由函數(shù) ，
因為函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則滿足，
解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：C．
7．【正確答案】A
【詳解】，為偶函數(shù)，
所以，，，，
當x∈0,π，，因為在區(qū)間0,π內(nèi)僅有兩個零點，
所以，得，則.
故選：A
8．【正確答案】D
【詳解】解：
三是相加得：，
又，
則，當且僅當時等號成立，
，
故選：D.
9．【正確答案】BD
【詳解】A. ，得和1，所以函數(shù)有2個零點，故A錯誤；
B.，得和，
當或時，，當時，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以是的極小值，故B正確；
C.，不恒等于4，故C錯誤；
D.當時，單調(diào)遞增，，所以，故D正確.
故選：BD
10．【正確答案】BCD
【詳解】A.由條件可知，，根據(jù)對稱性可知，故A錯誤；
B., ，所以，故B正確；
C. =，所以，故C正確；
D. ，，所以，故D正確.
故選：BCD
11．【正確答案】ACD
【詳解】，，易知平面ABC,平面，
易知面
故點到平面的距離為即為點到平面的距離，
因為，所以，所以，
所以為二面角的平面角，
又為平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，
所以平面，又在平面內(nèi)，
所以平面平面，
所以到平面ABC的距離即為到，
A選項：，，即，三角形等邊三角形，
可得：到的距離為，故A正確；
B選項：由于直角梯形不可能共圓，所以四棱錐無外接球，所以B錯誤；
C選項：由題意可知，，，
,
，
由基本不等式可知：，
當且僅當，即時取得最大值，
所以,
所以當，時，體積取到最大值，故正確；
D選項：由題意可知，，，
，也即兩兩垂直，
可以依次構(gòu)造長方體，長方體的體對角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球半徑為r，
則，，
所以時，取得最小值，此時，所以D正確．
故選：ACD
12．【正確答案】
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式列式求得，再利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則有,解得：，
所以.
故答案為.
13．【正確答案】120
【詳解】當陜西和貴州相同，陜西和貴州4種顏色，重慶3種顏色，四川有2種顏色，湖北有2種顏色，湖南有1種顏色，則共有種方法，
當陜西和貴州不同，湖北和貴州相同，則陜西有4種顏色，重慶3種顏色，貴州和湖北有2種顏色，湖南有2種顏色，四川有1種顏色，則共有種方法，
當陜西和貴州不同，湖北和貴州不同，則陜西有4種顏色，重慶3種顏色，貴州有2種顏色，湖北有1種顏色，湖南有1種顏色，四川有1種則共有種方法，
綜上可知有種方法.
故120
14．【正確答案】1
【詳解】由，得，
記，其中，
原不等式化為，所以，
所以，即．
所以，
當且僅當，即時取“”，所以的最小值為1．
故1．
15．【正確答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）因為函數(shù)，則，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，由可得，
若，則；若，則.
當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（2）當時，由，可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
函數(shù)的定義域為，，
由，可得，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)的極大值為，且，，如下圖所示：

由圖可知，當時，
直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
16．【正確答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）設(shè)與交于點G，連接，
則由為正三角形可得，
又由四邊形為菱形可得，
因為，平面，
所以平面.
（2）由（1）可得，
又，，平面，所以平面，
取中點，連接，則由為正三角形可得，
因為，所以，
又平面，平面，所以，
取中點，連接，則，故且，
故可建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
由上是平面的一個法向量，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，則，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
17．【正確答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出，進而由余弦定理求出，利用三角形面積公式得，利用平面向量基本定理及數(shù)量積運算法則得到答案；
（2）由正弦定理得到，利用銳角三角形，求得，進而求出，由面積公式求得.
【詳解】（1），由正弦定理得：
，
所以，
因為，所以，
所以，即，
因為，所以，
因為，，由余弦定理得：，
因為，所以，
其中，
所以，
因為點E為線段BD的中點，所以，
由題意得：，
所以.
（2）由（1）知：，又，
由正弦定理得：，
所以，
因為為銳角三角形，所以，解得：，
則，，，
故，
面積為
故面積的取值范圍是.
18．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)為的重心，得，代入，化簡即可求解.
（2）根據(jù)垂心的概念求得，設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，并利用，得，將韋達定理代入化簡即可求解.
【詳解】（1）設(shè)，則，因為為的重心，
故有，解得，代入，化簡得，
又，故，所以的軌跡方程為.
（2）因為為的垂心，故有，
又，所以，故設(shè)直線的方程為，
與聯(lián)立消去，得，
由，得，
設(shè)，則，
由，得，所以，
所以，
所以，化簡得，
解得（舍去）或（滿足），故直線的方程為.
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)①最大值為，最小值為；②證明見解析
【分析】（1）計算出新數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)值，代入公式求出的值，進而得到y(tǒng)關(guān)于t的回歸方程；
（2）由題意可知，其中，構(gòu)造等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求解；
（3）①分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；
②利用數(shù)列收斂的定義，準確推理、運算，即可得證．
【詳解】（1）剔除第10天的數(shù)據(jù)，可得，
，
則，
所以，
可得，所以；
（2）由題意知，其中，
所以，
又由，
所以是首項為1的常數(shù)列，即，
所以，
又因為，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
故，所以；
（3）①當為偶數(shù)時，單調(diào)遞減，
最大值為；
當為奇數(shù)時，單調(diào)遞增，最小值為，
綜上可得，數(shù)列的最大值為，最小值為；
②證明：對任意總存在正整數(shù)，其中表示取整函數(shù)，
當時，，
所以數(shù)列收斂.日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
銷售量千張
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4

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