1．直線l：的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．1C．D．
3．空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點是（ ）
A．B．C．D．
4．正四面體的棱長為2，點D是的重心，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)，為不重合的兩條直線，，為不重合的兩個平面，下列命題錯誤的是（ ）
A．若且，則B．若且，則
C．若且，則D．若且，則
6．已知向量，，且，，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)點，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點，將△ADM沿DM翻折．在翻折過程中，當(dāng)二面角A—BC—D的平面角最大時，其正切值為
A．B．C．D．
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
9．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，
C．當(dāng)，平行時，兩直線的距離為D．直線過定點，直線過定點
10．有個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，，，，，，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，則（ ）
A．（丙）B．（?。〤．乙與丙相互獨立D．甲與丁相互獨立
11．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得，阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A、B的距離之比為定值λ且的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，點P滿足，設(shè)點P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．C的方程為
B．在C上存在點D，使得D到點（1，1）的距離為9
C．在C上存在點M，使得
D．C上的點到直線的最大距離為9
12．如圖，棱長為2的正方體中，?分別為棱?的中點，為面對角線上一個動點，則下列選項中正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值.
B．存在線段，使平面平面.
C．為上靠近的四等分點時，直線與所成角最小.
D．若平面EFG與棱AB，BC有交點，記交點分別為M，N，則的取值范圍是.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知圓錐的高為1，軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
14．已知直線，動直線被圓截得弦長的最小值為 ．
15．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中給出了一個求三角形面積的公式，其中a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊．若中，，且，則面積S的最大值為________．
16．如圖，正的外接圓半徑為，點是劣弧上的一動點，則的最小值為 ．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．在中，角的對邊分別為.
(1)求角；
(2)若的面積為，求的周長.
18．已知圓C：．
(1)過點作圓C的切線l，求切線l的方程；
(2)過點的直線m與圓C交于A，B兩點，，求直線m的方程．
19． 如圖，在三棱柱中，平面，，，且為線段的中點，連接，，.
(1)證明：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
20．某工廠生產(chǎn)一種汽車的元件，該元件是經(jīng)過A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分別為，已知每道工序的加工都相互獨立，三道工序加工都合格的元件為一等品；恰有兩道工序加工合格的元件為二等品；其他的為廢品，不進(jìn)入市場．
（1）生產(chǎn)一個元件，求該元件為二等品的概率；
（2）從該工廠生產(chǎn)的這種元件中任意取出3個元件進(jìn)行檢測，求至少有2個元件是一等品的概率．
21．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，且，，分別為和的中點，為棱上的點.
(1)證明：；
(2)當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最?。?br>22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：，過點且斜率為k的直線l與圓O交于不同的兩點A，B，點.
（1）若直線l的斜率，求線段AB的長度；
（2）設(shè)直線QA，QB的斜率分別為，，求證：為定值，并求出該定值；
（3）設(shè)線段AB的中點為M，是否存在直線l使，若存在，求出直線l的方程，若不存在說明理由.
1．C
【分析】
根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系即可求解.
【詳解】解：由題意得：
直線l的方程：可化為
直線l的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，則
又
所以
故選：C
2．C
【分析】
應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，則.
故選：C
3．B
【分析】
根據(jù)對稱的性質(zhì)即可求解.
【詳解】點關(guān)于xOz平面的對稱點是,
故選：B
4．D
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義計算即可.
【詳解】因為點D是的重心,
正四面體的棱長為2，
.
故選：D.
5．C
【分析】根據(jù)線面平行、面面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直、面面垂直的判定分析判斷即可.
【詳解】對于A，當(dāng)且時，，所以A正確，
對于B，當(dāng)且時，過作平面，交于直線，則∥，因為，所以，因為，所以，所以B正確，
對于C，當(dāng)且時，，可能平行，可能異面，可能相交，故C錯誤，
對于D，當(dāng)且時，則，所以D正確，
故選：C
6．C
【分析】
先求得，然后根據(jù)投影向量的知識求得正確答案.
【詳解】由兩邊平方得，
所以向量在向量方向上的投影向量為.
故選：C
7．D
【分析】以為一邊作正方形，然后把問題轉(zhuǎn)化為正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，從而求出的取值范圍.
【詳解】以為一邊作正方形，若對角線與圓有交點，則滿足條件的存在，此時正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，即，
所以，所以，所以.

故選：D.
8．B
【分析】取的中點，的中點為，則折疊后有平面，在四棱錐中過點作的垂線，垂足為，再過作的垂線，垂足為，連接，則為二面角的平面角，可用的三角函數(shù)表示的正切值，利用導(dǎo)數(shù)可求其最大值．
【詳解】
取的中點，的中點為，因為為等腰三角形，
故，同理， ，所以有平面．
因為平面，故平面平面．
在四棱錐中過點作的垂線，垂足為，再過作的垂線，垂足為，連接．
因為，平面，平面平面，故平面．
因為平面，故，
又，，故平面，
又平面，故，所以為二面角的平面角．
設(shè)，則，，
，
所以，其中．
令，則，令且，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以，故，故選B．
二面角的平面角的大小或最值的計算，應(yīng)先構(gòu)造二面角的平面角，然后在可解的三角形（最好是直角三角形）中討論該角．注意最值的計算可以通過目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性討論得到．
9．BC
【分析】
選項A，當(dāng)時和重合；選項B：當(dāng)時，，，故；選項C，當(dāng)，平行時，，根據(jù)平行線間的距離公式可得；選項D，： 定點坐標(biāo)為可判斷錯誤.
【詳解】選項A：當(dāng)時，：即，：即，
故和重合，A錯誤；
選項B：當(dāng)時，：即，：即，
直線的斜率為，直線的斜率為，
因，故，B正確；
選項C：當(dāng)，平行時，可得，得或，
當(dāng)時，由A選項知和重合，
當(dāng)時，：，：，
故兩平行的距離為，故C正確；
選項D：直線：即，故當(dāng)時，，
故直線的定點坐標(biāo)為，
：即，故當(dāng)時，得，
故直線過定點，故D錯誤；
故選：BC
10．AD
【分析】
利用古典概型的概率計算各事件概率，再根據(jù)獨立事件概率的關(guān)系依次判斷即可.
【詳解】依題意基本事件總數(shù)為個，
“第一次取出的球的數(shù)字是”的基本事件有個，
“第二次取出的球的數(shù)字是”的基本事件有個，
“兩次取出的球的數(shù)字之和為”的基本事件有共個，
“兩次取出的球的數(shù)字之和為”的基本事件有共個，
所以（丙），（?。?；（甲）（乙），故A正確，B錯誤；
又同時滿足事件甲、丁的基本事件有共個，同時滿足事件乙、丙的基本事件有共個，
所以（乙丙）（乙）（丙），所以乙與丙不相互獨立，故C錯誤；
所以（甲?。祝ǘ。?，所以甲與丁相互獨立，故D正確；
故選：AD.
11．ABD
【分析】對A：設(shè)點，由兩點的距離公式代入化簡判斷；對B：根據(jù)兩點間的距離公式求得點（1，1）到圓上的點的距離的取值范圍，由此分析判斷；對C：設(shè)點，求點M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對D：結(jié)合點到直線的距離公式求得C上的點到直線的最大距離，由此分析判斷.
【詳解】對A：設(shè)點，
∵，則，整理得，
故C的方程為，A正確；
對B：的圓心，半徑為，
∵點（1，1）到圓心的距離，則得D到點（1，1）的距離的取值范圍為，且，
∴在C上存在點D，使得D到點（1，1）的距離為9，B正確；
對C：設(shè)點，
∵，則，整理得，
∴點M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，
又∵，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點，
∴在C上不存在點M，使得，C不正確；
對D：∵圓心到直線的距離為，
∴C上的點到直線的最大距離為，D正確；
故選：ABD.
12．ACD
【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項的正誤；以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷BC選項的正誤；設(shè)則，則，根據(jù)的范圍可判斷D選項的正誤．
【詳解】對于A選項，因為平面，平面平面，
所以，點到平面的距離等于，
的面積為，
所以，，A選項正確；
對于BC選項，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、
、、，、，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
設(shè)，可得點，其中，
則，
所以，解得，
故平面與平面不平行，B選項錯誤，
，，
設(shè)直線與所成角為，
則
，
當(dāng)時，取得最大值，此時最小，C選項正確；
對于D選項，延長和并相交于點，作交于，
P在線段上，此時PN與的交點即為G，連接交于，如圖所示：
設(shè)則，所以
則
由于，得，所以，D正確．
故選：ACD
關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是空間向量及函數(shù)思想的應(yīng)用.
13．
【分析】根據(jù)圓錐的高為1，圓錐的軸截面為等腰直角三角形可求得底面半徑和母線長，即可求得答案.
【詳解】圓錐的高為1，軸截面是等腰直角三角形.
則圓錐的底面直徑為2，母線長為 ，
故該圓錐的側(cè)面積為 ，
故
14．
【分析】
先由圓的方程確定圓心和半徑，由直線方程確定直線過定點；再利用直線與圓的位置關(guān)系判斷過點且與垂直的弦的弦長最短；最后結(jié)合弦長公式即可求解.
【詳解】由圓可得：圓心，半徑.
由直線可得：直線過定點.
因為
所以點在圓內(nèi)，直線與圓相交，
則過點且與垂直的弦的弦長最短，且弦長的最小值為.
故
15．
【分析】由利用正弦定理邊角互化可得，再由給出的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解
【詳解】由可得，
所以，
所以，
所以，
當(dāng)時，．
故
16．##
【分析】由圓的性質(zhì)可知是的角平分線，故可知與同向共線，再由平方可得的模為1，原式可化為換求的最小值.
【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，
，是與同向的單位向量，
設(shè)，原式可化為,
由外接圓半徑可知，，
,
當(dāng)時，有最小值，
即的最小值為.
故
17．(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理、三角恒等變換化簡已知條件，從而求得.
（2）利用三角形的面積求得，進(jìn)而求得，根據(jù)余弦定理求得，從而求得的周長.
【詳解】（1）由得，
，
，
由正弦定理得，
，
.
（2）的面積為，即，得，
，
，
，
由余弦定理可得，
，
三角形的周長為.
18．(1)
(2)或．
【分析】
（1）得到圓C的方程，從而得到在圓C上，且不存在，從而得到切線l的方程；
（2）直線m斜率存在時，設(shè)出m為，根據(jù)弦長得到圓心C到直線m的距離，列出方程，求出，得到方程，考慮直線m斜率不存在時，得到，得到答案.
【詳解】（1）
因為圓C：，圓心，半徑．
因為點滿足圓C的方程，所以點P在圓C上，
因為不存在，所以圓C在點P處的切線斜率為0，
所以，切線l的方程為y＝2；
（2）
當(dāng)直線m斜率存在時，設(shè)m為，即：．
因為圓心C到直線m的距離，即，
所以直線m的方程為；
當(dāng)直線m斜率不存在時，m為x＝0也符合條件；
綜上，所求為或．
19．(1)證明見解析；
(2).
【分析】
（1）通過證明面，即可由線面垂直證明線線垂直；
（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點和向量的坐標(biāo)，求得兩個平面的法向量，再求兩平面夾角的余弦值即可.
【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以；
因為，所以；
因為，面，所以面；
又因為平面，所以.
（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：
則，，，，，，，
，，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，不妨??；
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，不妨?。?br>設(shè)平面與平面夾角為，
則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
20．（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)事件的獨立性、互斥事件的概率運(yùn)算公式，即可求得答案；
（2）求出生產(chǎn)一個元件為一等品的概率， 至少有2個元件是一等品分為2減為一等品和三件為一等品兩種情況，即可得解.
【詳解】解：（1）不妨設(shè)一個元件經(jīng)A、B、C三道工序加工合格的事件分別為A、B、C，
則，
設(shè)事件D為“生產(chǎn)一個元件，該元件為二等品”，
根據(jù)事件的獨立性、互斥事件的概率運(yùn)算公式，
所以生產(chǎn)一個元件，該元件為二等品的概率為．
（2）生產(chǎn)一個元件，該元件為一等品的概率．
設(shè)事件E為“任意取出3個元件進(jìn)行檢測，至少有2個元件是一等品”，
則．
所以至少有2個元件是一等品的概率為．
21．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；
（2）利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值，利用二次函數(shù)求解最大值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）因為平面，平面，平面，
所以，，又，故以B為坐標(biāo)原點，
分別以BA，BC，所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
則，，，
由題設(shè)（），因為，
所以，所以；
（2）設(shè)平面的法向量為，
因為，所以，即，
令，則，又平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則.
當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為，
所以，此時.
22．(1) 2 ; (2) 定值為0，證明見答案; (3) 存在，
【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離以及勾股定理可得.
（2）聯(lián)立直線與圓，根據(jù)韋達(dá)定理以及斜率公式可得.
（3）設(shè)點，由，以及韋達(dá)定理、中點公式可解得，再根據(jù)判別式可得答案．
【詳解】(1) 直線l的斜率,則直線l的方程為：
圓心到直線l的距離為.
所以.
(2)設(shè)直線l的方程為，
由,有 (*)
，
所以 ,。
.
所以為定值0.
(3) 設(shè)點，由(2)有 ,
所以
又，即.
所以.
即.
則有.
整理得. 得
,得.
則滿足條件
所以滿足條件的直線l為..
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于難題.

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