2.了解極差、方差是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量,會在生活情境中利用方差解決問題.
1.掌握極差、方差的概念，會計算極差、方差;
1.平均數(shù):反映數(shù)據(jù)的平均水平;
2.中位數(shù):數(shù)據(jù)從小到大排列后,處于中間位置的數(shù)或中間 兩數(shù)的平均數(shù);
3.眾 數(shù):出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).
數(shù)據(jù)的集中趨勢僅僅是數(shù)據(jù)分布的一個特征，反映的是一組數(shù)據(jù)向其中心值聚集的程度.生活中除了關(guān)心數(shù)據(jù)的集中趨勢外，還需要關(guān)心數(shù)據(jù)之間的差異，考察數(shù)據(jù)的波動情況，即數(shù)據(jù)的離散程度.
問題1 下表是某市某一天在不同時間測得的氣溫情況：
這一天的氣溫日溫差多大？
解：這一天氣溫的最大值是34 ℃，最小值是25 ℃，所以溫差為34－25＝9(℃)．
我們把一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差叫做極差.
極差反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍，在一定程度上描述了一組數(shù)據(jù)的離散（波動）程度．
問題2 某市2022年、2023年3月上旬的日最高氣溫如下(單位℃)：
該市這兩年中，哪一年3月上旬的日最高氣溫比較穩(wěn)定？說說你的想法？
極差：2022年3月：20-11=9℃； 2023年3月：19-10=9℃.
兩組數(shù)據(jù)的極差相同，即波動的范圍相同.
氣溫的穩(wěn)定性如何更精確地描述呢？
將上面兩組數(shù)據(jù)繪制成圖：
觀察上圖發(fā)現(xiàn)氣溫的穩(wěn)定性與各個數(shù)據(jù)偏離中心值(平均數(shù))的程度有關(guān).
怎樣用數(shù)量來描述各個數(shù)據(jù)偏離中心值的程度呢？
嘗試一：把這些“差” 相加：
-2+(-1)+0+5+(-3)+(-4)+(-3)+1+3+4=0
-1+0+(-2)+(-5)+1+4+1+(-3)+2+3=0
嘗試二：把這些“差”取絕對值相加：
2+1+0+5+3+4+3+1+3+4=26
1+0+2+5+1+4+1+3+2+3=22
嘗試三：把這些“差”的平方相加：
4+1+0+25+9+16+9+1+9+16=90
1+0+4+25+1+16+1+9+4+9=70
上述各差的平方和的大小還與什么有關(guān)？
——與數(shù)據(jù)的個數(shù)有關(guān)！
進一步用各差平方和的平均數(shù)來衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.
來描述這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.記作s2
方差用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小.(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小)
例1 乒乓球的標(biāo)準(zhǔn)直徑為40mm．質(zhì)檢部門對A、B兩廠生產(chǎn)的乒乓球的直徑進行檢測，從A、B兩廠生產(chǎn)的乒乓球中各抽取了10只，測量結(jié)果如下（單位：mm）：
A廠：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；
B廠：40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，40.1，39.9，40.2，39.8，40.0．
(1)這兩組數(shù)據(jù)的極差分別是_____，______．
(2)這兩個廠家，哪個廠家生產(chǎn)的乒乓球質(zhì)量比較穩(wěn)定？
例2 某校九年級學(xué)生開展踢毽子活動，每班派5名學(xué)生參加，按團體總分排列名次，在規(guī)定時間內(nèi)每人踢100個以上（含100個）為優(yōu)秀.成績最好的甲班和乙班5名學(xué)生的比賽成績?nèi)缦卤恚▎挝唬簜€）：
經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，兩班5名學(xué)生踢毽子的總個數(shù)相等，此時有學(xué)生建議，可以通過考查數(shù)據(jù)中的其他信息作為參考.請你回答下列問題：
(1) 甲、乙兩班的優(yōu)秀率分別為?　60%?、?　40%?.?
(2) 甲、乙兩班比賽成績數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為?　100、?　99.?
(3)計算兩班比賽成績數(shù)據(jù)的方差.
(4) 根據(jù)以上三條信息，你認為應(yīng)該把團體第一名的獎狀給哪個班？請說明理由.
解：(4) 應(yīng)該把團體第一名的獎狀給甲班.　理由：∵ 甲班的優(yōu)秀率比乙班高；甲班成績的中位數(shù)比乙班高；甲班成績的方差比乙班小，成績比較穩(wěn)定，∴ 綜合評定甲班的成績比較好，應(yīng)該把團體第一名的獎狀給甲班.
比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的步驟:(1)計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(2)分別計算各自的方差:(3)得出結(jié)論：一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，即數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；一組數(shù)據(jù)的方差越小，說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，即數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.
可概括為“先平均，后求差，平方后，再平均”.
方差的意義：方差用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小(即這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小).方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定.說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小， 越穩(wěn)定. 說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小.
方差的適用條件：當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，才利用方差來判斷它們的波動情況．
在解決問題時，要先算平均數(shù)，當(dāng)平均值不同時，擇優(yōu)選?。划?dāng)平均數(shù)相同時，比較方差，選擇波動較小的一組數(shù)據(jù)．
來描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫作這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．
在有些情況下，需要用方差的算術(shù)平方根，即
4.極 差:反映數(shù)據(jù)變化范圍的大小,易受極端值影響;
5.方 差:反映數(shù)據(jù)波動的大小;
6.標(biāo)準(zhǔn)差:反映數(shù)據(jù)波動的大小,且與數(shù)據(jù)單位一致.
1.為了從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加全國數(shù)學(xué)競賽，李老師每個月對他們進行一次測驗，如圖是兩人賽前5次測驗成績的折線統(tǒng)計圖．(1)分別求出甲、乙兩名學(xué)生5次測驗成績的平均數(shù)、極差及方差；(2)請你從平均成績及方差的角度分析，李老師應(yīng)選派哪一名學(xué)生參加這次競賽．
(1)比較上面結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
(2)請你用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來解決以下的問題：已知數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)為X，方差為Y. 則①數(shù)據(jù)a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均數(shù)為____，方差為____. ②數(shù)據(jù)a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均數(shù)為_____，方差為____. ③數(shù)據(jù)3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均數(shù)為___，方差為____.
注意：要求方差，應(yīng)先求樣本的平均數(shù)，再代入公式求方差.
步驟為“先平均，后求差，平方后，再平均”.
1.要比較兩名同學(xué)在五次數(shù)學(xué)測驗中誰的成績比較穩(wěn)定，應(yīng)選用的統(tǒng)計量是( )
A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差
2. 5名同學(xué)目測同一本教科書的寬度時，產(chǎn)生的誤差如下(單位：cm)：0，2，－2，－1，1，則這組數(shù)據(jù)的極差為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 6名同學(xué)的年齡數(shù)據(jù)分別是13、14、15、14、14、15.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，正確的說法是( )
A. 平均數(shù)是14 B. 中位數(shù)是14.5 C. 方差是3 D. 眾數(shù)是14
5.設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，方差為s2，若s2＝0，則(　　)A．x＝0 B．x1＋x2＋…＋xn＝0C．x1＝x2＝…＝xn＝0 D．x1＝x2＝…＝xn
4.甲、乙兩人在相同的條件下，各射靶10次，經(jīng)過計算：甲、乙的平均數(shù)均是7，甲的方差是1.2，乙的方差是5.8，下列說法中不正確的是( )A. 甲、乙射中的總環(huán)數(shù)相同 B. 甲的成績較穩(wěn)定 C. 乙的成績較穩(wěn)定 D. 乙的成績波動較大
6.某芭蕾舞團新進一批女演員，她們的身高及其對應(yīng)人數(shù)情況如表所示：
那么，這批女演員身高的方差為 　 　，標(biāo)準(zhǔn)差為_________.
7.一組數(shù)據(jù)1，2，a，4，5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的方差是____.?
8. 數(shù)據(jù) -1，3，0 ，x 的極差是 5 ，則 x =________.
9. 一組數(shù)據(jù)的方差為s2，將這組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都除以2，所得新數(shù)據(jù)的方差是________．
10.甲、乙兩班舉行計算機打字比賽，參賽學(xué)生每分鐘打字的個數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如下表：
某同學(xué)分析上表后得出如下結(jié)論：①甲、乙兩班學(xué)生成績平均水平相同；②乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘打字個數(shù)≥150為優(yōu)秀)；③甲班成績的波動比乙班大.上述結(jié)論正確的有 .
11.為了研究甲、乙兩種農(nóng)作物的長勢，分別抽取了10株秧苗，測得苗高如下(單位：cm)：
甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；
乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11.
經(jīng)過計算后回答下面的問題：
（1）試比較兩種農(nóng)作物的平均高度；
（2）哪種農(nóng)作物長得比較整齊？
12.為了從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人去參加電腦知識競賽，在相同條件下對他們的電腦知識進行10次測驗，成績（單位：分）如下：
(2)利用以上信息，請從不同的角度對甲、乙兩名同學(xué)的成績進行評價.
解：從眾數(shù)看，甲成績的眾數(shù)為84分，乙成績的眾數(shù)是90分，乙的成績比甲好；從方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成績比乙相對穩(wěn)定；從甲、乙的中位數(shù)、平均數(shù)看，中位數(shù)、平均數(shù)都是84分，兩人成績一樣好；從頻率看，甲85分以上的次數(shù)比乙少，乙的成績比甲好.

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3.4 方差

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