北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)全冊(cè)高分突破必練專題專項(xiàng)12相似三角形-手拉手旋轉(zhuǎn)型綜合應(yīng)用(2大類型)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

模型一：有公共頂點(diǎn)的直角三角形
模型二：有公共頂點(diǎn)的任意三角形
【類型1：有公共頂點(diǎn)的直角三角形】
【典例1】如圖1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE，tan∠BAC＝．
【問(wèn)題背景】如圖2，將△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接BE、AD，求證：△ADC∽△BEC；
【嘗試運(yùn)用】如圖3，當(dāng)△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，CH＝5，求AH﹣BH的值；
【拓展延伸】如圖3，若CD＝1，當(dāng)△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫出△ABH面積的最大值是．
【變式1】【問(wèn)題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接BF，DE，請(qǐng)直接寫出BF與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系：；
【類比探究】
（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．
①判斷線段BF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．
【類型2：有公共頂點(diǎn)的任意三角形】
【典例2】已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．
【變式2】如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．
【典例3】如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AE，連接DE交AB于點(diǎn)F．
（1）填空：若∠BAD＝20°，則∠BDF＝ °；
（2）若當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合），設(shè)BD＝x，BF＝y(tǒng)，
試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若＝，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)．
【變式3】（1）如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；
（2）如圖（2），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的長(zhǎng)．
（3）如圖（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，試證明△ADF∽△ECF，并求出的值．
1．如圖（1）以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），畫出ΔOB1C1；
（2）點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是．
2．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求：的值；
（2）將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．
4．如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．
（1）求證：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．
5．問(wèn)題背景：如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；
嘗試應(yīng)用：如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F．點(diǎn)D在BC邊上，，求的值．
6．如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，求證：（1）△ABC∽△ADE
（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE為多少
7．【問(wèn)題背景】如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：
①△ ≌△ ；
②△ ∽△ ．
【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
求證：△ACE∽△ABD．
【問(wèn)題解決】如圖3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC上，，求的值．
8．如圖，點(diǎn)B在線段CD上，在CD的同一側(cè)作兩個(gè)等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB＝∠BED＝90°，AD與CE，BE分別交于點(diǎn)P，M，連接PB．
（1）若AD＝k?CE，則k的值是；
（2）求證：△BMP∽△DME；
（3）若BC＝，PA＝3，求PM的長(zhǎng)．
9．如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α＜360°）．
（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)α＝0°時(shí)，的值為，直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為；
（2）拓展探究
試判斷：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明：
（3）問(wèn)題解決
當(dāng)△BDE旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ACD的面積．
專項(xiàng)12 相似三角形-手拉手旋轉(zhuǎn)型綜合應(yīng)用（2大類型）
模型一：有公共頂點(diǎn)的直角三角形
模型二：有公共頂點(diǎn)的任意三角形
【類型1：有公共頂點(diǎn)的直角三角形】
【典例1】如圖1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE，tan∠BAC＝．
【問(wèn)題背景】如圖2，將△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接BE、AD，求證：△ADC∽△BEC；
【嘗試運(yùn)用】如圖3，當(dāng)△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，CH＝5，求AH﹣BH的值；
【拓展延伸】如圖3，若CD＝1，當(dāng)△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫出△ABH面積的最大值是．
【解答】解：（1）∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CH交AH于點(diǎn)F，
則∠ACB＝∠FCH＝∠DCE＝90°，
∴∠ACF＝∠BCH，∠ACD＝∠BCE，
∵，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAF＝∠CBH，
∴△ACF∽△BCH，
∴，
∴AF＝，CF＝，
在Rt△CFH中，由勾股定理得：
FH＝＝，
∴AH﹣，
∴AH﹣BH的值為：；
（3）設(shè)BC交AH于G，
由（2）得：∠CAG＝∠HBG，
∵∠AGC＝∠BGH，
∴∠BHG＝∠ACG＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴點(diǎn)H在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)△ABH為等腰直角三角形時(shí)，△ABH面積的最大，
由（1）得AC＝2CD＝2，BC＝，
∴AB＝，
∴△ABH面積的最大值為AB×＝AB2＝，
故答案為：．
【變式1】【問(wèn)題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接BF，DE，請(qǐng)直接寫出BF與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系：；
【類比探究】
（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．
①判斷線段BF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．
【解答】解：（1）如圖②，BF與CD交于點(diǎn)M，與DE交于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，
∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，
∴∠CDE+∠DMF＝90°，
∴∠BND＝90°，
∴BF⊥DE，
故答案為：BF＝DE，BF⊥DE；
（2）①如圖③，，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ECF＝90°，
∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∵，
∴△BCF∽△DCE，
∴＝；
②如圖③，連接BD，
∵△BCF∽△DCE，
∴∠CBF＝∠CDE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝12，
∵CE＝6，，
∴＝，
∴CF＝8，BC＝16，
∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，
在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，
在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，
∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，
∴BD2+EF2＝400+100＝500，
∴DF2+BE2＝500．
【類型2：有公共頂點(diǎn)的任意三角形】
【典例2】已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．
【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
而∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC．
【變式2】如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．
【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，＝．
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵＝．
∴△ABC∽△ADE．
【典例3】如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AE，連接DE交AB于點(diǎn)F．
（1）填空：若∠BAD＝20°，則∠BDF＝ °；
（2）若當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合），設(shè)BD＝x，BF＝y(tǒng)，
試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若＝，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）∵AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴△AED是等邊三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BDF＝∠EAF，
∵∠BAD＝20°，
∴∠EAF＝40°，
∴∠BDF＝40°；
（2）∵∠EDA＝60°，
∴∠BDF+∠ADC＝120°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADC+∠DAC＝120°，
∴∠BDF＝∠DAC，
∴△BDF∽△CAD，
∴，
∵BF＝y(tǒng)，BD＝x，AB＝BC＝AC＝6，
∴，
∴；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于G，如圖，
∵BC＝6，，
∴BD＝2，CD＝4，
∵∠ACB＝60°，
∴CG＝2，DG＝2，
∴AG＝4，
∴AD＝，
∵△AED是等邊三角形，
∴AE＝AD＝．
【變式3】（1）如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；
（2）如圖（2），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的長(zhǎng)．
（3）如圖（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，試證明△ADF∽△ECF，并求出的值．
【解答】（1）證明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AD，兩條垂線交于M，連接BM，
∴∠BAD+∠DAM＝90°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
∴△ADM∽△CDB，
∴，
∵∠BDC＝∠ADM，
∴∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∴BM＝AC＝＝6，
∴AM＝，
∴AD＝AM＝；
（3）解：由（1）同理可得，△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∵∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴，
∵AD＝AE，
∴，
∴＝3．
1．如圖（1）以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），畫出ΔOB1C1；
（2）點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是．
【解答】解：（1）如圖，△OB1C1即為所求；
（2）觀察圖象可知，B1（﹣6，2），C1（﹣4，﹣2）．
故答案為：（﹣6，2），（﹣4，﹣2）．
2．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．
【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE．
證明：由（1）知△ABC∽△ADE，
∴，
∴AB×AE＝AC×AD，
∴，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求：的值；
（2）將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．
【解答】解（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝2，
∵點(diǎn)D、E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，
∴AE＝，BD＝，
∴；
（2）沒(méi)有變化，理由如下：
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
4．如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．
（1）求證：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：過(guò)A作AG⊥CD于G，
由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，
∴AG＝CG，
在Rt△ACG中，由勾股定理得：
∴CG＝AG＝3，
∴S＝＝．
5．問(wèn)題背景：如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；
嘗試應(yīng)用：如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F．點(diǎn)D在BC邊上，，求的值．
【解答】問(wèn)題背景
證明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
嘗試應(yīng)用
解：如圖1，連接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴＝3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝3．
6．如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，求證：（1）△ABC∽△ADE
（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE為多少
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵AC：BC＝3：4，
設(shè)AC＝3x，則BC＝4x，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5x，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠EAC＝∠DAB，，
∴△AEC∽△ADB，
∴，
即BD：CE＝5：3．
7．【問(wèn)題背景】如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：
①△ ≌△ ；
②△ ∽△ ．
【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
求證：△ACE∽△ABD．
【問(wèn)題解決】如圖3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC上，，求的值．
【解答】【問(wèn)題背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
故答案為：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．
【嘗試應(yīng)用】∵△ABC∽△ADE，
∴，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△ACE∽△ABD；
【問(wèn)題解決】連接CE，
由【嘗試應(yīng)用】知，△ABD∽△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
8．如圖，點(diǎn)B在線段CD上，在CD的同一側(cè)作兩個(gè)等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB＝∠BED＝90°，AD與CE，BE分別交于點(diǎn)P，M，連接PB．
（1）若AD＝k?CE，則k的值是；
（2）求證：△BMP∽△DME；
（3）若BC＝，PA＝3，求PM的長(zhǎng)．
【解答】（1）解：∵等腰直角△ABC和△BDE，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠EBD＝45°，DE＝BE，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE＝135°，
∴，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴AD＝CE＝k?CE，
∴k＝，
故答案為：；
（2）證明：∵△ABD∽△CBE，
∴∠BEC＝∠BDA，
∴點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)P四點(diǎn)共圓，
∴∠BPD＝∠BED＝90°，∠PBM＝∠EDM，
∴△BMP∽△DME；
（3）∵BC＝，
∴AB＝BC＝2，
∵sin∠ABP＝＝＝，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠PBM＝30°，
∵PB＝＝＝，
∴PM＝PB?tan∠PBM＝?＝1．
9．如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α＜360°）．
（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)α＝0°時(shí)，的值為，直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為；
（2）拓展探究
試判斷：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明：
（3）問(wèn)題解決
當(dāng)△BDE旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ACD的面積．
【解答】解：（1）∵△ABC與△BDE都是等腰直角三角形，
∴DE∥AC，
∴，
∴，
∵∠B＝45°，
∴直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為45°，
故答案為：；45；
（2）無(wú)變化，理由如下：
延長(zhǎng)AE，CD交于點(diǎn)F，CF交AB于點(diǎn)G，
∵△ABC與△BDE都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABE，
又∵，
∴△ABE∽△CBD，
∴，∠BAE＝∠BCD，
∴∠F＝180°﹣∠BAE﹣∠AGF＝180°﹣∠BCD﹣∠BGC＝∠ABC＝45°；
（3）如圖，當(dāng)DE在AB上方時(shí)，作AH⊥CD于H，
由A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上知，∠ADB＝90°，
∴AD＝，
由（2）知∠ADH＝45°，，
∴AH＝＝，CD＝，
∴S△ACD＝CD×AH＝＝12+，
當(dāng)DE在AB下方時(shí)，同理可得S△ACD＝×CD×AH＝＝12﹣，

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