1．已知等邊△AOB和△COD．
求證：AC＝BD．
2．如圖，等邊△ABC，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE．連接CE．求證：BD＝CE．
3．以△ABC的AB，AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD與BE相交于O，連結(jié)AO，如圖①所示．
（1）求證：BE＝CD；
（2）判斷∠AOD與∠AOE的大小，并說明理由．
（3）在EB上取點(diǎn)F，使EF＝OC，如圖②，請(qǐng)直接寫出∠AFO與α的數(shù)量關(guān)系．
4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，過點(diǎn)C作CD⊥CP，垂足為C，令CD＝CP，連接DP，BD，求∠BPC的度數(shù)．
5．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形．
（1）如圖1，線段BD與AE是否相等？若相等，加以證明；若不相等，請(qǐng)說明理由．
（2）如圖1，若 B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，求∠BOE的度數(shù)．
（3）如圖2，若 B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的長(zhǎng)．
6．如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BC的中點(diǎn)，BE⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AE上，且AF＝BE，連接CF、CE．
求證：（1）∠CAF＝∠CBE；
（2）△CEF是等邊三角形．
7．（1）如圖1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)為點(diǎn)A，△ABC固定不動(dòng)，△AMN可以繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，將△AMN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在BC邊上，連接CN．
直接寫出圖中的全等三角形： ；直接寫出線段CN，CM，CB之間滿足的等量關(guān)系為： ；
②如圖2，試探索線段MA，MB，MC之間滿足的等量關(guān)系，并完整地證明你的結(jié)論；
（2）如圖3，P是等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAC＝90°，連接PA，PB，PC，將△BAP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CAQ，連接PQ．已知PA＝2，PB＝3，若∠PQC＝90°，求PC的長(zhǎng)．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，連接DA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E．
（1）求證：△OBC≌△ABD．
（2）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，∠CAD的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出∠CAD的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說明理由．
（3）以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)和CD的長(zhǎng)度．
9．已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度數(shù)；
（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
①請(qǐng)你直接寫出∠AEB的度數(shù)為多少度？
②探索線段CM、AE、BE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
10．如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．
（1）求證：EB＝GD；
（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB＝3，AG＝，求EB的長(zhǎng)．
11.點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCFG，連接AF、BD．
（1）如圖①，AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為 ， ；
（2）將正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），
①如圖②，第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；
②若AC＝4，BC＝，當(dāng)正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，求DB的長(zhǎng)度．
專題07 手拉手模型綜合應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）
1．已知等邊△AOB和△COD．
求證：AC＝BD．
【解答】證明：∵△AOB和△COD是等邊三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD．
2．如圖，等邊△ABC，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE．連接CE．求證：BD＝CE．
【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD 和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
3．以△ABC的AB，AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD與BE相交于O，連結(jié)AO，如圖①所示．
（1）求證：BE＝CD；
（2）判斷∠AOD與∠AOE的大小，并說明理由．
（3）在EB上取點(diǎn)F，使EF＝OC，如圖②，請(qǐng)直接寫出∠AFO與α的數(shù)量關(guān)系．
【解答】（1）證明：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
又∵AD＝AB，AC＝AE，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC；
（2）解：∠AOD＝∠AOE，理由如下：
過點(diǎn)A作AM⊥DC于點(diǎn)M，AN⊥BE于點(diǎn)N，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ADC，
又∵AD＝AB，
∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM＝AN，
∵AM⊥OD，AN⊥OE，
∴∠AOD＝∠AOE；
（3）解：∵△AOD≌△AEB，
∴∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，
又∵EF＝CO，
∴△AEF≌△ACO（SAS），
∴∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，
∴∠AFO＝∠AOF＝∠AOD．
又∵∠DAB＝∠DOB＝α，
∴2∠AFO＝180°﹣α．
4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，過點(diǎn)C作CD⊥CP，垂足為C，令CD＝CP，連接DP，BD，求∠BPC的度數(shù)．
【解答】解：∵CD⊥CP，
∴∠PCD＝90°，
∵PC＝CD＝2，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝2，∠CPD＝∠CDP＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
又∵∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP和△BCD中，
，
∴△ACP≌△BCD（SAS），
∴BD＝PA＝3，
∵PB＝1，
∴PB2+PD2＝12+（2）2＝9，
∵PA2＝32＝9，
∴PA2＝PB2+PD2，
∴∠BPD＝90°，
∵∠CPD＝45°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°．
5．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形．
（1）如圖1，線段BD與AE是否相等？若相等，加以證明；若不相等，請(qǐng)說明理由．
（2）如圖1，若 B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，求∠BOE的度數(shù)．
（3）如圖2，若 B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）BD＝AE，理由如下：
∵△ABC和△DCE都是等邊三角形．
∴BC＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）由△BCD≌△ACE得，∠BDC＝∠AEC，
∵∠BOE＝∠ODE+∠DEO＝∠CDE+∠DEC＝60°+60°＝120°，
∴∠BOE的度數(shù)是120°；
（3）∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝90°，
∵CD＝DE＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝5，
由（1）同理得，△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE＝5．
6．如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BC的中點(diǎn)，BE⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AE上，且AF＝BE，連接CF、CE．
求證：（1）∠CAF＝∠CBE；
（2）△CEF是等邊三角形．
【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
又∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，
∴∠CAF＝∠CBE；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴CA＝CB，
在△CAF和△CBE中，
，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，
∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等邊三角形．
7．（1）如圖1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)為點(diǎn)A，△ABC固定不動(dòng)，△AMN可以繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，將△AMN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在BC邊上，連接CN．
直接寫出圖中的全等三角形： ；直接寫出線段CN，CM，CB之間滿足的等量關(guān)系為： ；
②如圖2，試探索線段MA，MB，MC之間滿足的等量關(guān)系，并完整地證明你的結(jié)論；
（2）如圖3，P是等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAC＝90°，連接PA，PB，PC，將△BAP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CAQ，連接PQ．已知PA＝2，PB＝3，若∠PQC＝90°，求PC的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）①∵∠BAM+∠MAC＝90°，∠CAN+∠MAC＝90°，
∴∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中：
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∵BM+CM＝CB，
∴CN+CM＝CB，
故答案為：△BAM≌△CAN，CN+CM＝CB；
②MB2+MC2＝2MA2；證明如下：
同理①可證△BAM≌△CAN，
∴∠ACN＝∠B＝45°，
即∠BCN＝90°，
∴CN2+MC2＝MN2，
在R△MAN中，MN2＝MA2+AN2＝2MA2，
∴MB2+MC2＝2MA2；
（2）由旋轉(zhuǎn)知△BAP≌△CAQ，
∴PA＝QA＝2，∠PAQ＝∠BAC＝90°，CQ＝BP＝3，
∴△PAQ為等腰直角三角形，
∴PQ2＝PA2+QA2＝22+22＝8，
∵∠PQC＝90°，
∴PC2＝PQ2+QC2＝8+32＝17，
∴PC＝．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，連接DA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E．
（1）求證：△OBC≌△ABD．
（2）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，∠CAD的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出∠CAD的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說明理由．
（3）以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)和CD的長(zhǎng)度．
【解答】（1）證明：∵△OAB和△BCD是等邊三角形，
∴∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝AB，BC＝BD，
∴∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；
（2）解：點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，∠CAD的度數(shù)不會(huì)變化，理由如下，
∵△AOB是等邊三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOA＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，∠CAD的度數(shù)一直為60°．
（3）解：∵∠BOC＝∠BAD＝60°，∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠AEO＝30°，
∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC為腰，
∵OA＝1，∠AEO＝30°，∠AOE＝90°，
∴AC＝AE＝2OA＝2，
∴OA＝OA+AC＝1+2＝3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，則AH＝OA＝AO＝，∠ABH＝30°，
∴BH＝＝，CH＝AH+AC＝+2＝，
∴BC＝＝，
∴CD＝BC＝．
9．已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度數(shù)；
（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
①請(qǐng)你直接寫出∠AEB的度數(shù)為多少度？
②探索線段CM、AE、BE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【解答】（1）證明：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵點(diǎn)A、D、E在同一直線上，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；
（3）解：①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC＝180﹣45＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②AE＝BE+2CM．
理由：如圖2，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，
∴CM＝DM＝EM，
∴DE＝DM+EM＝2CM，
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴BE＝AD，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
10．如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．
（1）求證：EB＝GD；
（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB＝3，AG＝，求EB的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠EAG＝∠DAB＝90°，
∵∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，
∴∠GAD＝∠EAB，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：BE⊥GD，理由如下：如圖，設(shè)DG與AE的交點(diǎn)為P，
∵△GAD≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AGD，
∵∠EPH＝∠APG，
∴∠EHG＝∠EAG＝90°，
∴EB⊥GD；
（2）解：如圖2，連接BD，BD與AC交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，AB＝3，
∴DB＝AB＝3，DO＝BO＝，
∵AG＝，
∴GO＝AO+AG＝，
∴DG＝＝＝，
∴BE＝DG＝．
11.點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCFG，連接AF、BD．
（1）如圖①，AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為 ， ；
（2）將正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），
①如圖②，第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；
②若AC＝4，BC＝，當(dāng)正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，求DB的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為AF＝BD，AF⊥BD，理由如下：
延長(zhǎng)AF交BD于H，如圖①所示：
∵四邊形ACDE和四邊形BCFG是正方形，
∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACF＝∠DCB＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°，
在△ACF和△DCB中，
，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，
∵∠DFH＝∠AFC，
∴∠CDB+∠DFH＝∠CAF+∠AFC＝90°，
∴∠DHF＝90°，
∴AF⊥BD；
故答案為：AF＝BD，AF⊥BD；
（2）①第（1）問的結(jié)論仍然成立，理由如下：
設(shè)AF交CD于點(diǎn)M，如圖②所示：
∵四邊形ACDE和四邊形BCFG是正方形，
∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACD＝∠FCB＝90°，
∴∠CAF+∠AMC＝90°，
∴∠ACD+∠DCF＝∠FCB+∠DCF，
即∠ACF＝∠BCD，
在△ACF和△DCB中，
，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，
∵∠DMH＝∠AMC，
∴∠CDB+∠DMH＝∠CAF+∠AMC＝90°，
∴∠DHM＝90°，
∴AF⊥BD；
②分兩種情況：
a、如圖③所示：連接CG交BF于O，
∵四邊形BCFG是正方形，
∴CB＝BG，BF⊥CG，∠BGF＝90°，OB＝OF＝OC＝OG，
∴BF＝CG＝BC＝2，OB＝OF＝OC＝BF＝1，
∴AO＝＝＝，
∴AF＝AO+OF＝+1，
由（2）得：AF＝DB，
∴DB＝+1；
b、如圖④所示：連接CG交BF于O，
同上得：OB＝OF＝OC＝BF＝1，
∴AO＝＝＝，
AF＝AO﹣OF＝﹣1，
由（2）得：AF＝DB，
∴DB＝﹣1；
綜上所述，當(dāng)正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，DB的長(zhǎng)度為+1或﹣1．

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專題07 手拉手模型綜合應(yīng)用（能力提升）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國通用）

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