滬教版暑假新九年級數(shù)學考點講與練第08講銳角的三角比(考點講與練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

一．銳角三角函數(shù)的定義
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
即sinA＝∠A的對邊除以斜邊=ac．
（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作csA．
即csA＝∠A的鄰邊除以斜邊=bc．
（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．
即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊=ab．
（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．
二．特殊角的三角函數(shù)值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°=12； cs30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cs45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cs60°=12； tan60°=3；
（2）應用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應用較多．
【考點剖析】
一．銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）
1．(2023秋?松江區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列結論一定成立的是（）
A．b＝ctanAB．b＝cctAC．b＝csinAD．b＝ccsA
2．(2023秋?永定區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，則sinB等于．
3．(2023春?浦東新區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四個選項，正確的是（）
A．tanB=34B．ctB=43C．sinB=45D．csB=45
4．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，那么AB＝．
5．(2023秋?寶山區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACBC=34，那么sinA的值是．
二．特殊角的三角函數(shù)值（共7小題）
6．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）30°的值等于33．
7．(2023秋?楊浦區(qū)期末）計算：cs245°﹣tan30°sin60°＝．
8．(2023秋?黃浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝．
9．(2023秋?徐匯區(qū)期末）計算：sin60°+3tan30°?cs60°1?2ct45°+ct30°．
10．(2023秋?普陀區(qū)期末）計算：4sin260°?2sin30°?ct45°tan60°?2cs45°．
11．(2023秋?黃浦區(qū)期末）計算：tan30°2cs30°+ct245°﹣sin245°．
12．(2023秋?靜安區(qū)期末）計算：tan45°sin60°?ct30°?(sin30°?1)2+2cs245°．
【過關檢測】
一．選擇題（共2小題）
1．(2023秋?閔行區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，那么∠A的三角函數(shù)值為35的是（）
A．sinAB．csAC．tanAD．ctA
2．(2023秋?松江區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列結論一定成立的是（）
A．b＝ctanAB．b＝cctAC．b＝csinAD．b＝ccsA
二．填空題（共6小題）
3．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）30°的值等于33．
4．(2023秋?寶山區(qū)期末）計算：sin230°+cs245°＝．
5．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）計算：3ct60°+2sin45°＝．
6．(2023秋?青浦區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．
7．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，那么AB＝．
8．(2023秋?黃浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝．
9.（青浦2020一模16）如圖，在菱形ABCD中，O、E分別是AC、AD的中點，聯(lián)結OE．如果AB=3，AC=4，那么ct∠AOE=______．

10．（虹口2020一模18）如圖7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，點E、F分別在邊AB、BC上，聯(lián)結EF，將△BEF沿著EF翻折，使BF的對應線段B’F經(jīng)過頂點A，交對角線BD于點P，當⊥AB時，AP的長為．

11.（閔行2020期末13）已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點B旋轉后，點D落在BC的延長線上的點E處，那么=______.
12．（虹口2020一模17）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，點D為邊AB上一動點，正方形 DEFG的頂點E、F都在邊BC上，聯(lián)結BG，tan∠DGB的值為．
三．解答題（共13小題）
13．(2023?徐匯區(qū)校級模擬）計算：
（1）sin260°﹣tan30°?cs30°+tan45°；（2）2sin30°2sin60°?tan45°?32cs60°．
14．(2023?閔行區(qū)校級一模）計算：3tan30°?1cs60°+8cs45°+(1?tan60°)2
15．(2023秋?金山區(qū)期末）計算：sin45°?tan45°cs260°+2cs30°?sin60°．
16．(2023秋?長寧區(qū)期末）計算：ct30°?2sin60°?tan45°sin30°+cs245°．
17．(2023?寶山區(qū)模擬）計算：|2sin45°﹣tan45°|+cs30°?tan60°?cs45°ct30°．
18．(2023?灌云縣模擬）計算：
（1）2sin30°+3cs60°﹣4tan45° （2）cs230°1+sin30°+tan260°
19．(2023秋?寶山區(qū)期中）求2sin60°?tan45°3ct60°+2cs60°?ct45°的值．
20．（2008秋?虹口區(qū)期末）求值：2cs230°?sin30°tan260°?4sin45°?4ct45°?cs45°
21.（靜安2020一模19）先化簡，再求值：，其中x=sin45°，y=cs60°．
22.(2023育才10月考21）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．
23.（浦東四署2019期中21）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8．點D是AB邊上一點，過點D作DE // BC，交邊AC于E．過點C作CF // AB，交DE的延長線于點F．
（1）如果，求線段EF的長；
（2）求∠CFE正弦值．
24.（嘉定2020一模25）已知：點P在△ABC內，且滿足∠APB=∠APC（如圖10），∠APB+∠BAC=180°，
求證：△PAB∽△PCA：
如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值；
當∠BAC=45°，△ABC為等腰三角形時，求tan∠PBC的值.
25．（虹口2020一模25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，點D為射線BC上一點，聯(lián)結AD，過點B作BE⊥AD分別交射線AD、AC于點E、F，聯(lián)結DF．過點A作AG∥BD，交直線BE于點G．
（1）當點D在BC的延長線上時（如圖13），如果CD=2，求tan∠FBC；
（2）當點D在BC的延長線上時（如圖13），設，，求y關于x的函數(shù)
關系式（不寫函數(shù)的定義域）；
（3）如果AG =8，求DE的長．
第08講銳角的三角比（核心考點講與練）
【基礎知識】
一．銳角三角函數(shù)的定義
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
即sinA＝∠A的對邊除以斜邊=ac．
（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作csA．
即csA＝∠A的鄰邊除以斜邊=bc．
（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．
即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊=ab．
（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．
二．特殊角的三角函數(shù)值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°=12； cs30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cs45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cs60°=12； tan60°=3；
（2）應用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應用較多．
【考點剖析】
一．銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）
1．(2023秋?松江區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列結論一定成立的是（）
A．b＝ctanAB．b＝cctAC．b＝csinAD．b＝ccsA
分析：根據(jù)余弦的定義解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
則csA=ACAB=bc，
∴b＝ccsA，
故選：D．
【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關鍵．
2．(2023秋?永定區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，則sinB等于 34 ．
分析：根據(jù)余弦的定義計算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，
則sinB=ACAB=68=34，
故答案為：34．
【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦是解題的關鍵．
3．(2023春?浦東新區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四個選項，正確的是（）
A．tanB=34B．ctB=43C．sinB=45D．csB=45
分析：根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．
【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理得：BC=AB2?AC2=52?42=3，
tanB=ACBC=43，
ctB=1tanB=34，
sinB=ACAB=45，
csB=BCAB=35，
故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，掌握ctB=1tanB是解題的關鍵．
4．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，那么AB＝ 16 ．
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，
∴AB=BCcsB=414=16，
故答案為：16．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關鍵．
5．(2023秋?寶山區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACBC=34，那么sinA的值是 45 ．
分析：根據(jù)題意設AC＝3k，則BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．
【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC=34，
可設AC＝3k，則BC＝4k，
由勾股定理可得，AB=AC2+BC2=5k，
∴sinA=BCAB=45，
故答案為：45．
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理是正確解答的關鍵．
二．特殊角的三角函數(shù)值（共7小題）
6．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）30°的正切值等于33．
分析：直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．
【解答】解：30°的正切值等于33．
故答案為：正切．
【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．
7．(2023秋?楊浦區(qū)期末）計算：cs245°﹣tan30°sin60°＝ 0 ．
分析：原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結果．
【解答】解：cs245°﹣tan30°sin60°=12?33×32=12?12=0，
故答案為：0．
【點評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
8．(2023秋?黃浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝ 60° ．
分析：根據(jù)∠B的正弦值即可判斷．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，
那么sinB=ACAB=32，
∴∠B＝60°，
故答案為：60°．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關鍵．
9．(2023秋?徐匯區(qū)期末）計算：sin60°+3tan30°?cs60°1?2ct45°+ct30°．
分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可．
【解答】解：sin60°+3tan30°?cs60°1?2ct45°+ct30°
=32+3×33×121?2×1+3
=32+323?1
=33?1
=3+32．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
10．(2023秋?普陀區(qū)期末）計算：4sin260°?2sin30°?ct45°tan60°?2cs45°．
分析：原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值．
【解答】解：原式=4×(32)2?2×12?13?2×22
=4×34?1?13?2
=3?1?13?2
=13?2
=3+2．
【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
11．(2023秋?黃浦區(qū)期末）計算：tan30°2cs30°+ct245°﹣sin245°．
分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可．
【解答】解：tan30°2cs30°+ct245°﹣sin245°
=332×32+1﹣（22）2
=13+1?12
=56．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
12．(2023秋?靜安區(qū)期末）計算：tan45°sin60°?ct30°?(sin30°?1)2+2cs245°．
分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可．
【解答】解：tan45°sin60°?ct30°?(sin30°?1)2+2cs245°
=132×3?|12?1|+2×（22）2
=23?12+1
=76．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
【過關檢測】
一．選擇題（共2小題）
1．(2023秋?閔行區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，那么∠A的三角函數(shù)值為35的是（）
A．sinAB．csAC．tanAD．ctA
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切，余切的定義判斷即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5，
∴csA=ACAB=35，
故選：B．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切，余切的區(qū)別是解題的關鍵．
2．(2023秋?松江區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列結論一定成立的是（）
A．b＝ctanAB．b＝cctAC．b＝csinAD．b＝ccsA
分析：根據(jù)余弦的定義解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
則csA=ACAB=bc，
∴b＝ccsA，
故選：D．
【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關鍵．
二．填空題（共10小題）
3．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）30°的正切值等于33．
分析：直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．
【解答】解：30°的正切值等于33．
故答案為：正切．
【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．
4．(2023秋?寶山區(qū)期末）計算：sin230°+cs245°＝ 34 ．
分析：由特殊銳角三角函數(shù)值，代入計算即可．
【解答】解：原式＝（12）2+（22）2
=14+24
=34，
故答案為：34．
【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確解答的前提．
5．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）計算：3ct60°+2sin45°＝ 3+2 ．
分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可解答．
【解答】解：3ct60°+2sin45°
＝3×33+2×22
=3+2，
故答案為：3+2．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
6．(2023秋?青浦區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝ 6 ．
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，
∴BC＝ACtan∠A＝3×2＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關鍵．
7．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，那么AB＝ 16 ．
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，
∴AB=BCcsB=414=16，
故答案為：16．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關鍵．
8．(2023秋?黃浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝ 60° ．
分析：根據(jù)∠B的正弦值即可判斷．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，
那么sinB=ACAB=32，
∴∠B＝60°，
故答案為：60°．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關鍵．
9.（青浦2020一模16）如圖，在菱形ABCD中，O、E分別是AC、AD的中點，聯(lián)結OE．如果AB=3，AC=4，那么ct∠AOE=______．

答案:；
解析：解：如圖，連接BD，在菱形ABCD中，O是AC的中點，∴O也是對角線的交點，且AC與BD垂直平分，∵O、E分別是AC、AD的中點，∴，∴，在中，，,∴，∴ct∠AOE=
.
10．（虹口2020一模18）如圖7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，點E、F分別在邊AB、BC上，聯(lián)結EF，將△BEF沿著EF翻折，使BF的對應線段B’F經(jīng)過頂點A，交對角線BD于點P，當⊥AB時，AP的長為．

答案:；
解析：解：如圖所示，若⊥AB，則，所以，設AF=4k，BF=5k,所以AB=3k=9，所以k=3，故AF=12，BF=15，又AD//BC，所以，所以，解得.
11.（閔行2020期末13）已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點B旋轉后，點D落在BC的延長線上的點E處，那么=______.
答案:
解析：解：由題意，得BD=BE=，，故答案為.
12．（虹口2020一模17）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，點D為邊AB上一動點，正方形 DEFG的頂點E、F都在邊BC上，聯(lián)結BG，tan∠DGB的值為．
答案:；
解析：解：設正方形DEFG的邊長為x，則由DE//AC，得，所以BE=2x，所以BF=3x，所以在Rt△GFB中，tan∠DGB=.
三．解答題（共13小題）
13．(2023?徐匯區(qū)校級模擬）計算：
（1）sin260°﹣tan30°?cs30°+tan45°；
（2）2sin30°2sin60°?tan45°?32cs60°．
分析：（1）代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的運算，可得答案．
（2）代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的運算，可得答案．
【解答】解：（1）原式=(32)2?33×32+1
=34?12+1
=54．
（2）原式=2×122×32?1?32×12
=13?1?34
=3+12?34
=32?14
【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值、實數(shù)的混合運算；熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關鍵．
14．(2023?閔行區(qū)校級一模）計算：3tan30°?1cs60°+8cs45°+(1?tan60°)2
分析：代入特殊角的三角函數(shù)值即可．
【解答】解：原式＝3×33?112+8×22+(1?3)2
=3?2+2+3?1
＝23?1．
【點評】考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于只記內容，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，代入求值即可．
15．(2023秋?金山區(qū)期末）計算：sin45°?tan45°cs260°+2cs30°?sin60°．
分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可．
【解答】解：sin45°?tan45°cs260°+2cs30°?sin60°
=22?1(12)2+2×32×32
＝22?4+32
＝22?52．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
16．(2023秋?長寧區(qū)期末）計算：ct30°?2sin60°?tan45°sin30°+cs245°．
分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．
【解答】解：ct30°?2sin60°?tan45°sin30°+cs245°
=3?2×32?112+(22)2
=3?（3?1）
＝1．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
17．(2023?寶山區(qū)模擬）計算：|2sin45°﹣tan45°|+cs30°?tan60°?cs45°ct30°．
分析：直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可．
【解答】解：原式＝|2×22?1|+32?3×223
=2?1+1?22
=2?12．
【點評】此題主要考查了特殊家的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．
18．(2023?灌云縣模擬）計算：
（1）2sin30°+3cs60°﹣4tan45°
（2）cs230°1+sin30°+tan260°
分析：（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而分別代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而分別代入求出答案．
【解答】解：（1）原式=2×12+3×12?4×1
=1+32?4
=?32；
（2）原式=(32)21+12+（3）2
=3432+3
=72．
【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．
19．(2023秋?寶山區(qū)期中）求2sin60°?tan45°3ct60°+2cs60°?ct45°的值．
分析：把各特殊角度的三角函數(shù)值代入進行計算即可．
【解答】解：原式=2×32?13×33+2×12×1
=3?13+1
＝2?3．
【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．
20．（2008秋?虹口區(qū)期末）求值：2cs230°?sin30°tan260°?4sin45°?4ct45°?cs45°
分析：分別把cs30°=32，sin30°=12，ct45°＝1，cs45°＝sin45°=22，tan60°=3代入原式計算即可．
【解答】解：原式=2×(32)2?12(3)2?4×22?4×1×22
=32?123?22?22
=13?22?22
＝3+22?22
＝3
【點評】此題比較簡單，只要熟知特殊角度的三角函數(shù)值即可．
21.（靜安2020一模19）先化簡，再求值：，其中x=sin45°，y=cs60°．
答案:；
解析：解：原式＝＝．當x=sin45°=，y=cs60°=時，原式＝．
22.(2023育才10月考21）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．
答案:；
解析：解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=BD?AD=4∴CD=2，∴．
23.（浦東四署2019期中21）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8．點D是AB邊上一點，過點D作DE // BC，交邊AC于E．過點C作CF // AB，交DE的延長線于點F．
（1）如果，求線段EF的長；
（2）求∠CFE正弦值．
答案:（1）4；（2）；
解析：解：（1）∵ DE // BC，∴ ．又∵ BC = 6，∴ DE = 2． ∵ DF // BC，CF // AB，∴ 四邊形BCFD是平行四邊形． ∴ DF = BC = 6．∴ EF = DF – DE = 4．（2）∵ 四邊形BCFD是平行四邊形， ∴ ∠B =∠F．在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8，利用勾股定理，得． ∴ ．∴ ．
24.（嘉定2020一模25）已知：點P在△ABC內，且滿足∠APB=∠APC（如圖10），∠APB+∠BAC=180°，
求證：△PAB∽△PCA：
如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值；
當∠BAC=45°，△ABC為等腰三角形時，求tan∠PBC的值.
答案:（1）見解析；（2）4；（3）2或或1；
解析：（1）∵∠APB+∠PBA+∠PBA=180°，∠APB+∠BAC=180°， ∴∠BAC=∠PAB+∠PBA
∴∠PBA=∠PAC ∵∠APB=∠APC ∴△PAB∽△PCA；（2）∵△PAB∽△PCA ∴ ∴；∵∠APB=120°， ∴∠BAC=60°，∵∠ABC=90°，∴， ∴；

（3）∵∠BAC=45° ∴∠APB=135°=∠APC∴∠BPC=90°，tan∠BPC=，∵∠BAC=45°，△ABC是等腰三角形，∴BA=BC，CA=CB ,AB=AC ，∴tan∠PBC=2或或1.

25．（虹口2020一模25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，點D為射線BC上一點，聯(lián)結AD，過點B作BE⊥AD分別交射線AD、AC于點E、F，聯(lián)結DF．過點A作AG∥BD，交直線BE于點G．
（1）當點D在BC的延長線上時（如圖13），如果CD=2，求tan∠FBC；
（2）當點D在BC的延長線上時（如圖13），設，，求y關于x的函數(shù)
關系式（不寫函數(shù)的定義域）；
（3）如果AG =8，求DE的長．
答案:
解析：（1）在Rt△BED中，∠EDB+∠EBD=90°,同理∠ADC+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠EBD即∠DAC=∠FBC，由sin∠ABC=可得tan∠ABC= ,在Rt△ABC中，AC=,
又∵CD=2,在Rt△ACD中，,∴,（2）∵AG∥BD, ∴,∴, ∴ ,∴,∵, ∴,∴, ∴,∴,由sin∠ABC=可得tan∠ABC=, ∴,∴,即;（3）①當點D在BC的延長線上時， ∵AG∥CB，∴，, ∴FC=1， ∴,∴，∴,②當點D在邊BC上時，∵AG∥CB， ∴ ∴，∴FC=3,∴, ，；綜上，.

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