滬教版暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第04講相似三角形中的“8”字模型(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

8字_平行型
條件：CD∥AB,
結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;
四邊形ABCD為一般梯形.
條件：CD∥AB,PD=PC.
結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)
ΔPAD?ΔPBC左右全等；
四邊形ABCD為等腰梯形；
8字_不平行型
條件：∠CDP=∠BAP.
結(jié)論：
ΔAPB～ΔDPC(上下相似);
ΔAPD～ΔBPC(左右相似);
【考點(diǎn)剖析】
一．選擇題（共2小題）
1．(2023秋?靜安區(qū)期末）已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么邊BC的長(zhǎng)是（）
A．8B．10C．6D．4
2．(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）
A．EF?BF＝DF?CFB．BE?CD＝BF?CF
C．AE?AB＝AD?ACD．AE?BE＝AD?DC
二．填空題（共2小題）
3．(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使AB∥CD，這條件可以是．
4．(2023秋?青浦區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與邊AD交于點(diǎn)E，∠AEC的角平分線與邊CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，與邊AB交于點(diǎn)F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝．
三．解答題（共1小題）
5．(2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．
（1）求證：AB2＝AC?AE；
（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若ABAC=32，求CDEF的值．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1．(2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A’ 、B’、 D’，當(dāng)A’ 落在邊CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，邊A’ D’ 與邊 AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長(zhǎng)度為_(kāi)___．
2．(2023·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．
（1）求證：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．
3．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．
（1）求HD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）
4．(2023·上海奉賢·二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，AC⊥BC，垂足為點(diǎn)C，且BC2＝CE?CA．
（1）求證：AD＝DE；
（2）過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)F，求證：CE2＝AE?AF．
第04講相似三角形中的“8”字模型（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
8字_平行型
條件：CD∥AB,
結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;
四邊形ABCD為一般梯形.
條件：CD∥AB,PD=PC.
結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)
ΔPAD?ΔPBC左右全等；
四邊形ABCD為等腰梯形；
8字_不平行型
條件：∠CDP=∠BAP.
結(jié)論：
ΔAPB～ΔDPC(上下相似);
ΔAPD～ΔBPC(左右相似);
【考點(diǎn)剖析】
一．選擇題（共2小題）
1．(2023秋?靜安區(qū)期末）已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么邊BC的長(zhǎng)是（）
A．8B．10C．6D．4
分析：根據(jù)相似三角形的判定定理得出△EAD∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．
【解答】解：如圖，
∵DE∥BC，
∴△EAD∽△CAB，
∴EDBC=ADAB，
∵ADDB=14，DE＝2，
∴ADAB=13，
∴2BC=13，
∴BC＝6．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出△EAD∽△CAB是解此題的關(guān)鍵．
2．(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）
A．EF?BF＝DF?CFB．BE?CD＝BF?CF
C．AE?AB＝AD?ACD．AE?BE＝AD?DC
分析：結(jié)合圖形利用8字模型相似三角形證明△EFB∽△DFC，然后利用等角的補(bǔ)角相等得出∠AEC＝∠ADB，最后證明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例逐一判斷即可．
【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，
∴△EFB∽△DFC，
∴EFDF=FBFC，
∴EF?FC＝DF?FB，
故A不符合題意：
∵△EFB∽△DFC，
∴BECD=BFFC，
∴BE?CF＝CD?BF，
故B不符合題意；
∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴△ABD∽△ACE，
∴ABAC=ADAE，
∴AB?AE＝AD?AC，
故C符合題意；
因?yàn)椋篈E，BE，AD，CD組不成三角形，也不存在比例關(guān)系，
故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共2小題）
3．(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使AB∥CD，這條件可以是 ∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180° ．
分析：利用平行線的判定定理找出內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的滿足條件即可．
【解答】解：∵內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，
∴當(dāng)∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB時(shí)，AB∥CD．
∵同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，
∴當(dāng)∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°時(shí)，AB∥CD．
綜上所述，添加一個(gè)條件使AB∥CD，這條件可以是：
∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°，
故答案為：∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，充分利用平行線的判定法則是解題的關(guān)鍵．
4．(2023秋?青浦區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與邊AD交于點(diǎn)E，∠AEC的角平分線與邊CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，與邊AB交于點(diǎn)F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝ 2?2 ．
分析：證明△AFE∽△BFG，得AE＝2BG，設(shè)BG＝a，則AE＝2a，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得CD＝DE＝AB＝32，CE＝CG=2CD=2×32=6，從而得結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△BFG，
∴AFBF=AEBG，
∵AF＝2BF，
∴AE＝2BG，
設(shè)BG＝a，則AE＝2a，
∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，
∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥CG，
∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，
∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，
∴CD＝DE＝AB＝32，CE＝CG=2CD=2×32=6，
∴a+2a+32=6，
∴a＝2?2，
∴GB＝2?2．
故答案為：2?2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用角平分線的定義和平行線得等腰是本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共1小題）
5．(2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．
（1）求證：AB2＝AC?AE；
（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若ABAC=32，求CDEF的值．
分析：（1）利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥CB，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用（1）的結(jié)論可得ABAE=ACAB=BCEB=23，先AC＝2a，AB＝3a，從而求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出ACAE的值，再根據(jù)已知設(shè)CD＝m，BD＝3m，從而求出BC，BE的長(zhǎng)，然后證明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性質(zhì)可得EH=94m，再證明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性質(zhì)可得BFEF=43，從而求出EF的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】（1）證明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB，
∴AB2＝AC?AE；
（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥CB，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∵△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB=BCEB=23，
∴設(shè)AC＝2a，AB＝3a，
∴3aAE=23，
∴AE=92a，
∴ACAE=2a92a=49，
∵BD＝3CD，
∴設(shè)CD＝m，則BD＝3m，
∴BC＝CD+BD＝4m，
∴4mEB=23，
∴EB＝6m，
∵EH∥CD，
∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，
∴△ACD∽△AEH，
∴ACAE=CDEH=49，
∴EH=94m，
∵EH∥BD，
∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，
∴△BDF∽△EHF，
∴BFEF=BDEH=3m94m=43，
∴EF=37BE=187m，
∴CDEF=m187m=718，
∴CDEF的值為718．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
題型二：（雙）8型相似
1．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A’ 、B’、 D’，當(dāng)A’ 落在邊CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，邊A’ D’ 與邊 AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長(zhǎng)度為_(kāi)___．
答案:
分析：由勾股定理可求A'C=5，可得A'D= A'C-CD=2，由△ECD∽△A'CB'，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出DE的長(zhǎng)，再由△A'DF∽△CDE求出DF的長(zhǎng)，最后在Rt△DFC中由勾股定理即可求出DF.
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4
∴由勾股定理可知：A'C=，
∴A'D= A'C-CD=2，
又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，
∴△ECD∽△A'CB'，
∴，代入數(shù)據(jù)：，
∴，
又A'F∥CE，
∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，
∴△A'DF∽△CDE，
，代入數(shù)據(jù)：，
∴，
在Rt△DFC中由勾股定理可知：
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題借助矩形的性質(zhì)考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解決此題的關(guān)鍵.
2．(2023·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．
（1）求證：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．
分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而B(niǎo)E=AB，
∴BE=CD，
而B(niǎo)E∥CD，
∴四邊形BECD為平行四邊形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB?AF，
∴AD：AB=AF：AD，
而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD=CN：CD，
∴MC?CD=MD?CN，
而CD=AB，
∴CM?AB=DM?CN．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．
3．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．
（1）求HD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）
答案:（1）2；（2）
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）由BE=EF可得與的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得與的值，-即可得四邊形AEFH的面積．
【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，
∴，=8，
∴，，
∴，，
∵BE=EF=FD，
∴，，
∴BG=AD=4，HD=BG，
∴HD=2；
（2）∵BE=EF，
∴=a，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴四邊形AEFH的面積=-=．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．(2023·上海奉賢·二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，AC⊥BC，垂足為點(diǎn)C，且BC2＝CE?CA．
（1）求證：AD＝DE；
（2）過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)F，求證：CE2＝AE?AF．
分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CBE＝∠CAB，根據(jù)等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，，得到，整理得到 CE2＝AE?EF，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AF＝EF，證明結(jié)論．
【詳解】
證明：（1）∵BC2＝CE?CA，
∴，又∠ECB＝∠BCA，
∴△BCE∽△ACB，
∴∠CBE＝∠CAB，
∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，
∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，
∴∠BEC＝∠DAE，
∵∠BEC＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE；
（2）過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)F，如圖，
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴∠DFE＝∠BCA＝90°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴CE2＝AE?EF，
∵AD＝DE，DF⊥AC，
∴AF＝EF，
∴CE2＝AE?AF．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

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