滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊期末復(fù)習(xí)訓(xùn)練重難點(diǎn)03二次函數(shù)綜合（7種題型）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：特殊三角形問題
1．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求的面積．
2．（2020·上?！ざ＃┤鐖D，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，過點(diǎn)C（0，3）的直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）確定b，c的值；
（2）寫出點(diǎn)B，Q，P的坐標(biāo)（其中Q，P用含t的式子表示）；
（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．
3．（2022·上海市奉賢區(qū)匯賢中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸上的B、C兩點(diǎn)，設(shè)該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD交x軸于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求∠DCB的正切值；
（3）如果點(diǎn)F在y軸上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
4．（2022·上海虹口·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接交拋物線的對稱軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)連接、，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是對稱軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果是以為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．（2022·上海普陀·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線的一個(gè)動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，直線交y軸于點(diǎn)F．
①用m的代數(shù)式表示直線的截距；
②在的面積與的面積相等的條件下探究：在y軸右側(cè)存在這樣一條直線，滿足：以該直線上的任意一點(diǎn)及點(diǎn)C、F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積都等于面積，試用規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)符合條件的直線．
題型二：面積問題
1．（2021·上海寶山·三模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求的值；
（3）設(shè)P是這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣1），B（1，2）
（1）求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；
（2）該拋物線對稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積．
3．（2021·上海市奉賢區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C（c，-4），聯(lián)結(jié)AB、AC、BC．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式和c的值；
（2）求△ABC的面積；
（3）在y軸上找一個(gè)點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），使得∠AMC＝90°，并將△AMC沿直線AC翻折，得到△ANC，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
4．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學(xué)校一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱．拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)為，將該拋物線與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)記為．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如果點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得拋物線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離都等于點(diǎn)到直線的距離？如果存在，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請簡述理由．
5．（2022·上海松江·九年級期末）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
(1)求這條拋物線的表達(dá)式；
(2)直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．
①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；
②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求ABC的面積．
6．（2022·上?！ひ荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（3，1）、C（﹣2，6），與y軸交于點(diǎn)A，對稱軸為直線x＝1．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)求△ABM的面積；
(3)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且∠PMB＝∠ABM，試直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
7．（2022·上海·位育中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB＝2，拋物線與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求∠ACB的正切值；
(3)若點(diǎn)D在拋物線上，且S△BCD＝3，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)．
8．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對稱軸與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，交拋物線的對稱軸于點(diǎn).
(1)求的面積；
(2)聯(lián)結(jié)，交軸于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，若，求拋物線的表達(dá)式；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).
9．（2021·上海市新涇中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線（）經(jīng)過點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，拋物線的頂點(diǎn)為．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)、、、AB，求四邊形的面積；
（3）如果點(diǎn)E在軸的正半軸上，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
10．（2022·上海市婁山中學(xué)九年級期中）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）．與點(diǎn)C（0，4）．與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如果D是拋物線上一點(diǎn)，AD與線段BC相交于點(diǎn)E，且AD將四邊形ABDC分成面積相等的兩部分，求的值；
(3)如果P是x軸上一點(diǎn)，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．
題型三：線段周長問題
1．（2022·上海·九年級單元測試）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、、都不重合）．
(1)求拋物線解析式；
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線PB與直線AC相交于點(diǎn)M，且存在這樣的點(diǎn)P，使得，試確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
2．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學(xué)校一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱．拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)為，將該拋物線與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)記為．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如果點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得拋物線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離都等于點(diǎn)到直線的距離？如果存在，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請簡述理由．
3．（2021·上海市民辦上寶中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PEx軸，交直線AB于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，在拋物線上有一點(diǎn)F，使得∠CBF＝∠OAC，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
(3)如圖2，當(dāng)△PDE的周長為+8時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
4．（2022·上海閔行·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線的對稱軸沿x軸的正方向平移，平移后交x軸于點(diǎn)D，交線段于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線的垂線，垂足為點(diǎn)G.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)以點(diǎn)G為圓心，為半徑畫；以點(diǎn)E為圓心，為半徑畫.當(dāng)與內(nèi)切時(shí).①試證明與的數(shù)量關(guān)系；②求點(diǎn)F的坐標(biāo).
題型四：角度問題
1．（2021·上海市民辦新北郊初級中學(xué)九年級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2＋2mx＋3m2（m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（用含有m的代數(shù)式表示）
(2)連接CD，BC．
①若CB平分∠OCD，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
②連接AC，若CB平分∠ACD，求二次函數(shù)的表達(dá)式．
2．（2022·上海虹口·九年級期中）如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y=x﹣5經(jīng)過點(diǎn)B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M．
①當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過拋物線上一動點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí)，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
3．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、、，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)該拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式；
（2）在（1）題的條件下，點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)，且位于第三象限，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如果拋物線的頂點(diǎn)位于內(nèi)，求的取值范圍．
4．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）已知直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C（0,4），拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，-2），點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），過點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長；
（3）將△BDP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△且旋轉(zhuǎn)角∠PB=∠OAC，當(dāng)點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)落在y軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
5．（2022·上海·二模）將拋物線，與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）∠ACB與∠ABD是否相等？請證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
題型五：特殊四邊形問題
一、解答題
1．（2021·上海寶山·九年級期末）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A(4，0)，B(﹣1，3)兩點(diǎn)，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接BC、BD．
(1)求該拋物線的表達(dá)式以及對稱軸；
(2)點(diǎn)E在線段BC上，當(dāng)∠CED＝∠OBD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)M在對稱軸上，點(diǎn)N在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)O、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求這個(gè)平行四邊形的面積．
2．（2022·上海崇明·九年級期末）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)M(m，0)為線段OA上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．
(1)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)如果以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求m的值；
(3)如果以B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
3．（2021·上海徐匯·二模）如圖，已知拋物線y＝x2+m與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+4與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E在x軸上，以CD為對角線作?CEDF．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在∠ABO的平分線上時(shí)，求上述拋物線的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，如果?CEDF的頂點(diǎn)F正好落在y軸上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)E是BO的中點(diǎn)，且?CEDF是菱形，求m的值．
4．（2022·上海徐匯·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且AB＝4．
(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)E是二次函數(shù)圖像上一個(gè)動點(diǎn)，作直線軸交拋物線于點(diǎn)F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為G，如果四邊形DEGF是正方形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)若射線AC與射線BD相交于點(diǎn)H，求∠AHB的大?。?br>5．（2022·上海市奉賢區(qū)華亭學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)Q為線段DE上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AC．
(1)求這條拋物線的表達(dá)式及對稱軸；
(2)當(dāng)∠ACO=∠QOE時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)∠ACO=∠QOC時(shí)，判斷四邊形ACQO的形狀；
(4)（附加題）當(dāng)∠ACO=∠AQE時(shí)，求∠BQE的余切值；
(5)（附加題）當(dāng)∠ACO=∠CBQ時(shí)，判斷△BCQ的形狀．
題型六：相似三角形問題
一、解答題
1．（2022·上海靜安·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
(1)求直線AB的表達(dá)式；
(2)求tan∠ABD的值；
(3)設(shè)線段BD與軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在軸上，且與相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
2．（2022·上海徐匯·九年級期末）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C為線段OA上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，交該拋物線于點(diǎn)E．
(1)求直線AB的表達(dá)式，直接寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)以B，E，D為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時(shí)，求與的面積之比．
3．（2022·上海嘉定·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、兩點(diǎn)在直線上，如圖．二次函數(shù)的圖像也經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，并與軸相交于點(diǎn)，如果軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖像的對稱軸與交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，如果以點(diǎn)、、所組成的三角形與相似，且相似比不為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)是，求的值．
4．（2021·上海市文來中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且與y軸交于點(diǎn)A．
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交線段OA的延長線于點(diǎn)Q，如果，求證：；
(3)若點(diǎn)F是線段AB（不包含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F關(guān)于AC的對稱點(diǎn)恰好在上述拋物線上，求直線的解析式．
5．（2022·上海理工大學(xué)附屬初級中學(xué)一模）已知矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線與邊BC相交于點(diǎn)D．
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)若拋物線經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，試確定此拋物線的解析式；
(3)在（2）中的拋物線的對稱軸與直線AD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P在對稱軸上，且△PAM與△ABD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
6．（2022·上海青浦·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)聯(lián)結(jié)BC、BD，求∠CBD的正切值；
(3)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
7．（2022·上海市羅山中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=2，∠AOB=1200．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）連接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
8．（2022·上海崇明·二模）如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對稱軸為直線．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交直線BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．
(1)求拋物的解析式；
(2)當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段EF的長度：
(3)如果將沿直線CE翻折，點(diǎn)F恰好落在y軸上點(diǎn)N處，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
9．（2022·上海·虹口實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且其頂點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)求的正切值；
(3)點(diǎn)在拋物線上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(4)連接，延長交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，如果與是相似三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型七：其他問題
一、填空題
1．（2022·上海·九年級單元測試）若拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為B，且滿足頂點(diǎn)A在拋物線上，頂點(diǎn)B在拋物線上，則稱拋物線與拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，已知頂點(diǎn)為M的拋物線與頂點(diǎn)為N的拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，直線MN與軸正半軸交于點(diǎn)D，如果，那么頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為_________
二、解答題
2．（2022·上海松江·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線上方，過點(diǎn)作軸、軸，分別交直線于點(diǎn)、．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值．
3．（2022·上海奉賢·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B頂點(diǎn)為C．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為D，如果，求平移的距離；
(3)設(shè)拋物線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，將拋物線向左平移3個(gè)單位，如果點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)Q落在內(nèi)，求m的取值范圍．
4．（2022·上海民辦永昌學(xué)校九年級期中）已知：拋物線經(jīng)過，,．
(1)求：拋物線的解析式；
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，把翻折，使點(diǎn)P落在線段AB上（不與A、B重合），記作，折痕為EF，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
(3)當(dāng)點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動但不與A、B重合時(shí)，能否使的一邊與x軸垂直？若能，請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請你說明理由．
5．（2022·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x﹣4與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)B（12，0），聯(lián)結(jié)BC．
(1)求該拋物線解析式；
(2)求∠ACB的正弦值；
(3)如圖，點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)，直線AD交y軸于點(diǎn)E，交線段BC于點(diǎn)F．若△ECA∽△EFC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
6．（2022·上海虹口·九年級期末）已知開口向上的拋物線與y軸的交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，直線AB與OC交于點(diǎn)D．
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；
(3)當(dāng)時(shí)，求OD的長．
7．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（3，0），C（0，1）．將矩形OABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．設(shè)直線BB′與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C′、M、N．解答下列問題：
（1）求出該拋物線所表示的函數(shù)解析式；
（2）在拋物線上有一點(diǎn)E，且點(diǎn)E在C′的左側(cè)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，若△EFM與△MON相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P（C′點(diǎn)除外），使得∠PMN＝∠OMN，若存在，寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，不存在，寫出理由．
8．（2022·上海徐匯·九年級階段練習(xí)）如圖所示，拋物線的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)時(shí) ，
①求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
②如果點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M是該拋物線對稱軸上的點(diǎn)，當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，求a的值．

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