滬教版暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第06講相似三角形中的“母子”型(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

“子母型”相似的圖形特點(diǎn)：有一個(gè)公共角，
一對(duì)完全重合的邊，
一對(duì)半重合的邊，
一對(duì)完全不重合的邊。
子母型的結(jié)論：AB2=AD·AB (重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023·上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）如圖D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，△ABC的內(nèi)角平分線AQ交DE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線交AB、AC于R、S，若，則DE=________．
2．(2023·上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．
二、解答題
3．(2023·上海市育才初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長(zhǎng)．
4．(2023·上海黃浦·九年級(jí)期中）直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，7），過(guò)點(diǎn)G和B作直線BG，連接AG，求∠AGB的正切值；
（3）在（2）的條件下，在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．(2023·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．
（1）求證：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．
6．(2023·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．
（1）求證：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1.(2023徐匯一模25題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線DE交邊AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作射線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時(shí)，求的值；
（2）求證：；
（3）當(dāng)時(shí)，求．

2.(2023虹口一模25題）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，點(diǎn)
D是邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，在射線AB上取一點(diǎn)E，使得∠ADE＝∠ABC．過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)
F．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：＝；
（2）在（1）題的條件下，設(shè)CD＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）記DE交射線AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEF∽△AGF時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

3(2023長(zhǎng)寧一模25題）已知, 在中, , 點(diǎn) 是射線上的動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn) 是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且 , 射線交射線于點(diǎn) ．
如圖 1, 如果 , 求的值；
（2）聯(lián)結(jié), 如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí), 聯(lián)結(jié), 求線段的長(zhǎng)．
4.【2023松江二?！咳鐖D，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過(guò)點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．
（1）求證：四邊形AFED是菱形；
（2）求證：AB2＝BG?BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．
第06講相似三角形中的“母子”型（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
“子母型”相似的圖形特點(diǎn)：有一個(gè)公共角，
一對(duì)完全重合的邊，
一對(duì)半重合的邊，
一對(duì)完全不重合的邊。
子母型的結(jié)論：AB2=AD·AB (重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023·上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）如圖D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，△ABC的內(nèi)角平分線AQ交DE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線交AB、AC于R、S，若，則DE=________．
答案:6
分析：由，且∠RAS=∠CAB，可證得△ARS∽△ACB，所以∠ARS=∠ACB，再由∠BAP=CAQ可證得△ARP∽△ACQ，，再由DE∥BC，可知，把BC的值代入可求得DE．
【詳解】解：∵，且∠RAS=∠CAB，
∴△ARS∽△ACB，
∴∠ARS=∠ACB，
又∵AQ為角平分線，
∴∠BAP=CAQ，
∴△ARP∽△ACQ，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∵BC=9，
∴，
∴DE=6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能利用條件兩次證得三角形相似，從而得到DE和BC的比值．
2．(2023·上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．
答案:；．
分析：由于F的位置不確定，需分情況進(jìn)行討論，（1）當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)（2）點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況，然后通過(guò)證兩三角形相似從而得到AG和CG的比，進(jìn)一步得到AG和AC的比．
【詳解】解：（1）點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，設(shè)EF與CD的延長(zhǎng)線交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴△CHG∽△AEG，
∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）點(diǎn)F在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)EF與CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想；其中相似三角形的性質(zhì)得出的比例式是解題關(guān)鍵，特別注意：求相似比不僅要認(rèn)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序．
二、解答題
3．(2023·上海市育才初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長(zhǎng)．
答案:
分析：根據(jù)題意由銳角三角函數(shù)可求∠A=∠BCD，可證△ACD∽△CBD，即可求CD的長(zhǎng)，由勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵CD⊥AB，
∴且，
∴sin∠A=sin∠BCD，
∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD
∴，
∴CD2=BD?AD=4
∴CD=2，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意求出CD的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．
4．(2023·上海黃浦·九年級(jí)期中）直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，7），過(guò)點(diǎn)G和B作直線BG，連接AG，求∠AGB的正切值；
（3）在（2）的條件下，在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案:（1），；（2）；（3）存在，，，，
分析：（1）對(duì)于，令x＝0，則y＝1，令y＝0，即＝0，解得x＝3，即可求解；
（2）證明AG2＝AB2＋BG2，則△ABG為直角三角形，即可求解；
（3）分△ABQ∽△AOB、△ABQ∽△BOA兩種情況，利用三角形相似邊的比例關(guān)系，即可求解．
【詳解】解：（1）對(duì)于，令x＝0，則y＝1，令y＝0，即＝0，解得x＝3，
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別（3，0）、（0，1）；
（2）由A、B、G的坐標(biāo)知，BG2＝22＋（7?1）2＝40，
同理AB2＝10，AG2＝50，
故AG2＝AB2＋BG2，
故△ABG為直角三角形，
則tan∠AGB＝；
（3）設(shè)直線BG的表達(dá)式為y＝kx＋b，則，
解得
故直線BG的表達(dá)式為y＝3x＋1，
設(shè)點(diǎn)Q（m，3m＋1），
①當(dāng)△ABQ∽△AOB時(shí)，
則，即，
解得m＝±，
∴，
②當(dāng)△ABQ∽△BOA時(shí)，
，即
解得：m＝±3，
∴，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）或（?，0）或（3，10）或（?3，?8）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
5．(2023·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．
（1）求證：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．
分析：（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問(wèn)題可求證；
（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問(wèn)題可求證．
【詳解】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
6．(2023·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．
（1）求證：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．
分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而B(niǎo)E=AB，
∴BE=CD，
而B(niǎo)E∥CD，
∴四邊形BECD為平行四邊形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB?AF，
∴AD：AB=AF：AD，
而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD=CN：CD，
∴MC?CD=MD?CN，
而CD=AB，
∴CM?AB=DM?CN．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1.(2023徐匯一模25題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線DE交邊AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作射線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時(shí)，求的值；
（2）求證：；
（3）當(dāng)時(shí)，求．

【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)D作DH⊥AB于H，
在中，，，設(shè)，，
∴，
∵D為AC中點(diǎn)，∴AD= AC= ，∴，
∴，
在Rt△AHD中，，
∴BH=AB－AH= －= ，
在Rt△BHD中，；
【小問(wèn)2詳解】證明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴，
∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即；
【小問(wèn)3詳解】解：由可設(shè)，，則DF=4k，
∵，∴ct∠BDE=ct∠A=，∴，
∴，又∠F=90°，
∴，
，
∵△DEB∽△ADB，∴即，
∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3．
2.(2023虹口一模25題）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，點(diǎn)
D是邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，在射線AB上取一點(diǎn)E，使得∠ADE＝∠ABC．過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)
F．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：＝；
（2）在（1）題的條件下，設(shè)CD＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）記DE交射線AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEF∽△AGF時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，∴，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴△ADF∽△ABC，∴，∴；
（2）解：∵∠ACB＝90°，tanB＝，∴tanB＝＝，
設(shè)AC＝3a，BC＝4a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3a）2+（4a）2＝102，
∴a＝2，∴AC＝6，BC＝8，∴AD＝＝，
由（1）得，∴，∴y＝，
當(dāng)x＝0時(shí)，此時(shí)DE⊥AB，由S△ABC＝得，10?DE＝6×8，
∴DE＝，∴x＞；
（3）解：如圖1，
當(dāng)G在線段AC上時(shí)，延長(zhǎng)AF交BC于M，作MN⊥AB于N，
∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∴AF＝AG，∴∠EAF＝∠GAF＝，
∵∠DAF＝∠BAC，∴∠DAC＝∠GAF，∵AC⊥BD，∴∠AMC＝∠ACD，
∴AM＝AD，∴CM＝CD，∵AM平分∠BAC，∴MN＝CM，
由S△ABC＝S△ABM+S△ACM得，，
∴16?CM＝48，∴CM＝3，∴CD＝3．
如圖2，
當(dāng)G點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，
∵∠AGF是∠AEF的外角，∴∠AGF＞∠AEF，∴這種情形不存在，∴CD＝3．
3(2023長(zhǎng)寧一模25題）已知, 在中, , 點(diǎn) 是射線上的動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn) 是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且 , 射線交射線于點(diǎn) ．
（1）如圖 1, 如果 , 求的值；
（2）聯(lián)結(jié), 如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí), 聯(lián)結(jié), 求線段的長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，
∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8；
∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED，
∴，∴．
（2）∵ 是以為腰的等腰三角形，∴AE＝OE，
∵OC＝OE，∴設(shè)AE＝OE＝OC=x，
由（1）得，△ABC∽△OEC，∴，∴，
解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；則的長(zhǎng)是為．
（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°，
∴A、B、O、E四點(diǎn)共圓，∴∠DBE＝∠AOD，∵，∴，
∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴，，∴，
設(shè)OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴，∴，
解得，，∴∴，
解得，，（舍去），則的長(zhǎng)是為．
4.【2023松江二?！咳鐖D，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過(guò)點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．
（1）求證：四邊形AFED是菱形；
（2）求證：AB2＝BG?BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．
分析：（1）由題目條件可證得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），進(jìn)而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四邊形AFED是菱形．
（2）根據(jù)條件可證得△ABG∽△CBA，即可證明結(jié)論．
（3）由條件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC?BC，得到點(diǎn)E是BC的黃金分割點(diǎn)，可得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四邊形AFED菱形．
（2）證明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，
∵四邊形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG?BC．
（3）解：如圖，
∵AB＝AC，∴∠ABG＝∠C，∵∠BAG＝∠C，∴∠ABG＝∠BAG，
∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，∴∠AGC＝2∠BAG，∵BG＝CE，∴BE＝CG，
∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴，
∵AB2＝BG?BC，AB＝BE，∴BE2＝EC?BC，∴點(diǎn)E是BC黃金分割點(diǎn)，
∴，∴，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，
∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定及黃金分割點(diǎn)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵．

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