蘇科版數(shù)學(xué)九上期末培優(yōu)訓(xùn)練專題05 類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16646" 【典型例題】 PAGEREF _Tc16646 \h 1
\l "_Tc25819" 【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開(kāi)平方法】 PAGEREF _Tc25819 \h 1
\l "_Tc30427" 【類型二當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)為偶數(shù)，可用配方法】 PAGEREF _Tc30427 \h 3
\l "_Tc31187" 【類型三若方程移項(xiàng)后一邊為0，另一邊能分解成兩個(gè)一次因式的積，可用因式分解】 PAGEREF _Tc31187 \h 8
\l "_Tc29109" 【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 PAGEREF _Tc29109 \h 11
\l "_Tc17569" 【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 PAGEREF _Tc17569 \h 18
\l "_Tc9562" 【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】 PAGEREF _Tc9562 \h 20
\l "_Tc6946" 【類型七完全平方式中的配方】 PAGEREF _Tc6946 \h 23
\l "_Tc17564" 【類型八判斷代數(shù)式的正負(fù)或求最值】 PAGEREF _Tc17564 \h 26
\l "_Tc28586" 【類型九比較兩個(gè)代數(shù)式的大小】 PAGEREF _Tc28586 \h 31
\l "_Tc24636" 【類型十利用配方法構(gòu)造非負(fù)數(shù)求值】 PAGEREF _Tc24636 \h 33
【典型例題】
【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開(kāi)平方法】
1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一元二次方程的兩根分別為．
【答案】，
【分析】運(yùn)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
，
∴，，
解得：，，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）方程的根是．
【答案】
【分析】直接利用開(kāi)方法求解即可.
【詳解】解：∵
∴
∴
∴
∴，
故答案為：，.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種方法是解題的關(guān)鍵.
3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．
【答案】
【分析】先開(kāi)平方，再分情況求解．
【詳解】解：兩邊開(kāi)平方，得
．
①當(dāng)時(shí)，．
②當(dāng)時(shí)，．
綜上所述，原方程的解是：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法，兩邊開(kāi)方后先將一邊加上絕對(duì)值，再分情況討論．
4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程：．
【答案】
【分析】直接將方程開(kāi)方求解即可．
【詳解】解：方程開(kāi)方得：或，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法，形如或的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法求解．
5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）用直接開(kāi)平方法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用直接開(kāi)平方法解答即可；
（2）用直接開(kāi)平方法解答即可．
【詳解】（1），
移項(xiàng)，得，
兩邊同時(shí)除以49，得，
開(kāi)方，得，
則方程的兩個(gè)根為，．
（2）
兩邊同時(shí)除以9，得，
開(kāi)方，得，
即或，
則方程的兩個(gè)根為，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用開(kāi)方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握開(kāi)方法.
6．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)直接開(kāi)平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．
【詳解】（1），
，
，
解得：．
（2），
，
∴，
即，
解得：或
∴原方程的根是．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：
(1) (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先移項(xiàng)，寫成的形式，然后利用數(shù)的開(kāi)方解答．
（2）方程兩邊直接開(kāi)方，再按解一元一次方程的方法求解．
【詳解】（1）解：移項(xiàng)得，，
開(kāi)方得，，
解得，．
（2）方程兩邊直接開(kāi)方得：
，或，
∴，或，
解得：，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．
8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法求解即可；
（2）利用直接開(kāi)平方法求解即可．
【詳解】解：（1）方程變形得
，
開(kāi)平方，得
，
∴；
（2）由原方程，得，
開(kāi)平方，得，
∴．
【點(diǎn)睛】考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程．解這類問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解．
【類型二當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)為偶數(shù)，可用配方法】
1．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤粲门浞椒ń夥匠虝r(shí)，將其配方為的形式，則．
【答案】
【分析】根據(jù)配方法進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：
∴
即
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）把方程用配方法化為的形式，則的值是．
【答案】
【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．
【詳解】解：，
，
，
．
，．
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，配方法的一般步驟：①把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；②把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：（用配方法）．
【答案】
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【詳解】解：，
，
，
，
，
所以．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程：．
【答案】
【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．
【詳解】解：，
∴ ．
∴．
∴．
∴．
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解方程：
【答案】，
【分析】移常數(shù)項(xiàng)，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將方程左邊配成完全平方式，再開(kāi)方求解.
【詳解】解：，
，
，
，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查用配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：（配方法）．
【答案】
【分析】先配方，再開(kāi)方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：，
配方得：，
即，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
7．（2023秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┯门浞椒ń夥匠蹋海?br>【答案】，
【分析】首先把移到等號(hào)右邊，然后再等式兩邊同時(shí)加上8，可得，然后再利用直接開(kāi)平方法解方程即可．
【詳解】解：，
，
，
則，，
解得：，
【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法解一元二次方程，關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解下列方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；
（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．
【詳解】（1）解：，
，
即，
∴，
解得：；
（2）解：，
，
即，
∴，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【類型三若方程移項(xiàng)后一邊為0，另一邊能分解成兩個(gè)一次因式的積，可用因式分解】
1．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（）
A．B．C．，D．，
【答案】C
【分析】利用因式分解法直接解方程即可．
【詳解】解：，
可得或，
解得：，．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的方法及根據(jù)每個(gè)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．
2．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）方程的根是（）
A．3和B．C．3D．和
【答案】A
【分析】先移項(xiàng)，再通過(guò)提公因式法因式分解，進(jìn)而求根．
【詳解】解：，
，
或，
或．
選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)計(jì)算技巧是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）方程的解為_(kāi)_______．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【詳解】解：
分解因式得：，
∴或，
解得：，，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握因式分解法解一元二次方程．
4．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）方程的解為_(kāi)______．
【答案】
【分析】先移項(xiàng)，再分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】移項(xiàng)得，
，
∴，
∴
解得．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．
5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：．
【答案】，
【分析】先移項(xiàng)再利用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程－因式分解法，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式．
6．（2023秋·廣東湛江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列方程：．
【答案】，．
【分析】用因式分解法解方程即可．
【詳解】解:
∴
∴或
∴，
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，用合適的方法解方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）解方程：
【答案】，
【分析】移項(xiàng)，然后用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：移項(xiàng)整理得：，
因式分解得：，即，
∴或，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．
8．（2023·陜西西安·?？级＃┙夥匠蹋海?br>【答案】，
【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：
，．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解解方程是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·江蘇蘇州·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）解方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
或，
，．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，常見(jiàn)的解法有：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法，靈活選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．
【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】
1．（2023秋·青海西寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：
【答案】，．
【分析】將方程轉(zhuǎn)化為一般形式運(yùn)用公式法求解即可．
【詳解】解：，
，
，，，
，
則，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．（用求根公式法）
【答案】，
【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式即可得到方程的解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，；
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法（公式法），熟記求根公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）用公式法解下列方程：．
【答案】，．
【分析】先寫出各項(xiàng)的系數(shù)，再利用求根公式求解即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟記求根公式，注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)．
4．（2023秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：
【答案】或
【分析】先整理方程，然后利用公式法解方程，即可得到答案．
【詳解】，
整理方程，得：，
∵，
∴，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法解方程．
5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）用公式法解方程：．
【答案】
【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握公式法解一元二次方程，是解題的關(guān)鍵．注意，先求判別式．
6．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）公式法解方程：．
【答案】，
【分析】先求出的值，再利用公式法求出x的值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求根公式，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．
7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：
【答案】，
【分析】根據(jù)題意先求出，再代入求根公式，即求出即可．
【詳解】解：，
方程的系數(shù)分別是，，，
∴，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查公式法求一元二次方程的解，掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解方程：
(1)． (2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解；
（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．
【詳解】（1）
∵，，；
∴，
∴，
（2）
方程整理得：．
∵，，，，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是公式法解一元二次方程時(shí)要化成一般形式．
9．（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀?）我們發(fā)現(xiàn)，利用配方法解一元二次方程的步驟是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法．
（2）小明在用公式法解方程時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)如下：
，，，（第一步）
．（第二步）
∴．（第三步）
∴，．（第四步）
小明解答過(guò)程是從第______步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是．
（3）請(qǐng)你寫出此題正確的解答過(guò)程．
【答案】（1）；（2）一，方程沒(méi)有化成一般式；（3），，正確的解答過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)配方法解一元二次方程，即可求得；
(2)根據(jù)公式法解一元二次方程，即可解答；
(3)用公式法解此方程，即可求解．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，
由原方程得：，
得，
得，
故，
故，
故答案為：；
（2）由原方程得：，
，，，
∴小明解答過(guò)程是從第一步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是方程沒(méi)有化成一般式．
故答案為：一，方程沒(méi)有化成一般式；
（3）方程化為，
，，，
．
∴．
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，熟練掌握和運(yùn)用利用配方法解一元二次方程的方法是解決本題的關(guān)鍵．
【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】
1．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)校考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】根據(jù)因式分解法求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，常見(jiàn)的解法有：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法，選擇合適的解法解方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．
【答案】
【分析】利用因式分解法解方程．
【詳解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）解一元二次方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：
∴，
∴或，
解得，；
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·北京海淀·九年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）解方程：
【答案】,
【分析】首先移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)，再根據(jù)因式分解法求解一元二次方程，即可得到答案．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法求一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．
5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
或，
解得：，．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】
1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝
(2)
【分析】（1）利用換元法，先設(shè)，然后根據(jù)解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到該方程的解；
（2）利用換元法，先設(shè)，然后根據(jù)解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到該方程的解
【詳解】（1）解：
設(shè)
則
或
解得，
∴或
∴或
解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；
（2）解：
設(shè)，
則
，
或，
解得，，
或，
或，
解得，
【點(diǎn)睛】本題考查換元法在一元二次方程的求解中的應(yīng)用，掌握該方法是解題關(guān)鍵．
2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀下列材料，再參照例子解答問(wèn)題：
已知，求的值；
解：設(shè)，則原方程可變形為．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
【答案】6
【分析】設(shè)，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：設(shè)，則原方程可變形為，即
∴，
解得：；
又∵
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．理解并掌握題目給出的解方程的方法，是解題的關(guān)鍵．注意：．
3．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）閱讀材料，解答問(wèn)題．
解方程：．
解：把視為一個(gè)整體，設(shè)，
則原方程可化為．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫換元法，達(dá)到簡(jiǎn)化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．
請(qǐng)仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）把看做一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為，．
(2)把看做整體，設(shè)，則原方程可化為，解得，．
【詳解】（1）解：
把看做一個(gè)整體，設(shè)
則原方程可化為
解得，
∴或者
∴，
（2）解：
把看做整體，設(shè)
則原方程可化為
解得，
∴，
【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解二元一次方程的方法，熟練運(yùn)用換元法將次是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）（換元法）解方程：
解：設(shè)則原方程可化為
解得：
當(dāng)時(shí)，，解得
當(dāng)時(shí)，，解得
∴原方程的根是，
根據(jù)以上材料，請(qǐng)解方程：
(1)．
(2)
【答案】(1)原方程的根是；
(2)原方程的根是．
【分析】(1)設(shè)，則原方程可化為，解得的值，即可得到原方程的根；
(2)設(shè)，則原方程可化為，解得的值，檢驗(yàn)后即可得到原方程的根．
【詳解】（1）設(shè)，則原方程可化為
解得∶
當(dāng)時(shí)，，解得
當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解
原方程的根是；
（2）設(shè)，則原方程可化為
去分母，可得
解得
當(dāng)時(shí)，，解得
當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解
經(jīng)檢驗(yàn)∶都是原方程的解
原方程的根是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用換元法解一元二次方程以及分式方程，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．
【類型七完全平方式中的配方】
1．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果是一個(gè)完全平方式，那么_________．
【答案】或
【分析】根據(jù)完全平方公式即可解答．
【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，
∴，
∴，
故答案為或；
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如果是一個(gè)完全平方式，那么________
【答案】4或或
【分析】由于為完全平方公式，則可為平方項(xiàng)，也可為2倍乘積項(xiàng)，分情況討論即可得到答案．
【詳解】解：∵是完全平方式，
當(dāng)和為平方項(xiàng)時(shí)，即，
∴；
當(dāng)和為平方項(xiàng)時(shí)，即，
∴；
當(dāng)和為平方項(xiàng)時(shí)，即，
∴．
故填：4或或．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·福建漳州·七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤羰峭耆椒焦剑瑒t的值為_(kāi)_______．
【答案】5或
【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．
【詳解】解：多項(xiàng)式是完全平方式，
，
解得：或，
故答案為：5或．
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
4．（2023春·江蘇徐州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：
教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題及求代數(shù)式最大、最小值等問(wèn)題．
【知識(shí)理解】
(1)若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)k的值為_(kāi)_____；
A．4 B．8 C． D．
(2)若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)m的值為_(kāi)_____；
(3)配方：______；______；
【知識(shí)運(yùn)用】
(4)通過(guò)配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式有最小值，則最小值為_(kāi)_____；
(5)已知，則______，______．
【答案】(1)C；
(2)4；
(3)，；
(4)3
(5)，；
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（2）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（3）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（4）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（5）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，
∴，
故選：C；
（2）解：∵多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，
∴，
故答案為：4；
（3）解：由題意可得，
，
，
故答案為：，；
（4）解：∵，
∴，
∴最小值為：3；
（5）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，；
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．
【類型八判斷代數(shù)式的正負(fù)或求最值】
1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是（）
A．8B．C．D．9
【答案】A
【分析】由已知得，注意x的取值范圍，代入再配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，且即，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，掌握完全平方公式及確定x的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
2．（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（）
A．的最大值是0B．的最小值是
C．當(dāng)時(shí)，為正數(shù)D．當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)
【答案】B
【分析】利用配方法表示出，以及時(shí)，用含的式子表示出，確定的符號(hào)，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴
；
∴當(dāng)時(shí)，有最小值；
當(dāng)時(shí)，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正數(shù)；
故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查整式加減運(yùn)算，配方法的應(yīng)用．熟練掌握合并同類項(xiàng)，以及配方法，是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)校考期中）多項(xiàng)式的最小值是_____．
【答案】3
【分析】利用完全平方公式把多項(xiàng)式化成一個(gè)偶次方加常數(shù)的形式，偶次方為0時(shí)，代數(shù)式有最小值．
【詳解】解：
，
∵，
∴
∴的最小值是3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握如何化為完全平方式．
4．（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）閱讀材料：
求的最小值．
解：，
∵即的最小值為0，
∴的最小值為4．
解決問(wèn)題：
(1)若a為任意實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的最小值為．
(2)求的最大值．
(3)拓展：
①不論x，y為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值．（填序號(hào)）
A．總不小于1 B．總不大于1 C．總不小于6 D．可為任何實(shí)數(shù)
②已知，求．
【答案】(1)
(2)5
(3)①A；②
【分析】（1）對(duì)式子利用配方法求解即可；
（2）對(duì)式子利用配方法求解即可；
（3）①對(duì)式子中的利用配方法求解即可；
②對(duì)式子進(jìn)行配方，求得的值，然后代入求值即可．
【詳解】（1）解：，
∵，
∴的最小值為；
故答案為：；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
即的最大值為5；
（3）解：①，
∵，，
∴的最小值為，故A正確．
故選：A．
②∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，完全平方公式變形計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的應(yīng)用．
5．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式
②，利用配方法求M的最小值：
解：
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，M有最小值5
請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：
(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式；
(2)用配方法因式分解；
(3)若，求M的最小值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可；
（2）利用配方法分解因式即可；
（3）利用配方法得到，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值．
【詳解】（1）解：，
故答案為：16；
（2）解：
；
（3）解：
∵，
∴當(dāng)時(shí)，M有最小值．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解?配方法等，熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【類型九比較兩個(gè)代數(shù)式的大小】
1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）若，，則A、B的大小關(guān)系為（）
A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A＝B
【答案】A
【分析】利用做差法求出，然后利用偶數(shù)次冪的非負(fù)性即可得出，即可得出，從而得出正確選項(xiàng)．
【詳解】解：
∵，，
∴，
∴，即，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，考查了通過(guò)做差法判斷式子的大小，熟練掌握配方法是本題的關(guān)鍵所在．
2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）若代數(shù)式，，則的值（）
A．一定是負(fù)數(shù)B．一定是正數(shù)C．一定不是負(fù)數(shù)D．一定不是正數(shù)
【答案】B
【分析】此題可直接用多項(xiàng)式減去多項(xiàng)式，然后化簡(jiǎn)，最后把得出的結(jié)果與零比較確定的正負(fù)．
【詳解】解：由于，，
則
所以一定是正數(shù)．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，解題的關(guān)鍵是需注意整式的加減運(yùn)算；另外題中含有的配方得完全平方式的思想，同學(xué)們也需要靈活掌握．
3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則A B（填＞，＜或＝）．
【答案】

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